8. 如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过$A(-3,0),B(5,0)$两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,当$∠ DCO+∠ DBO=180°$时,$a=$.

8. $-\frac{1}{2}$ 解析: 过点 $D$ 作 $DM⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $M$,过点 $D$ 作 $DN⊥ x$ 轴交 $x$ 轴于点 $N$,
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过 $A(-3,0)$,$B(5,0)$ 两点,
∴ $\begin{cases}9a-3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2a,\\c=-15a,\end{cases}$
∴ $y=ax^2-2ax-15a$,
∴ $C(0,-15a)$,$D(1,-16a)$.又
∵ $∠DCO+∠DBO=180°$,$∠DCO+∠DCM=180°$,
∴ $∠DCM=∠DBO$.
∵ $DM⊥ y$ 轴,$DN⊥ x$ 轴,
∴ $∠DMC=∠DNB=90°$,
∴ $△ DMC∽△ DNB$,
∴ $\frac{DM}{DN}=\frac{MC}{NB}$,
∴ $\frac{1}{-16a}=\frac{-16a-(-15a)}{5-1}$,解得 $a=\pm\frac{1}{2}$.
∵ 抛物线图象开口向下,
∴ $a=-\frac{1}{2}$.

9. 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0, $\sqrt{3}$),以点C为顶点的抛物线$y=ax^2+bx+c$恰好经过x轴上A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式.

9. (1)过点 $C$ 作 $CE⊥ OB$ 交 $OB$ 于点 $E$,由抛物线的对称性可知 $AE=BE$,由四边形 $ABCD$ 是菱形可得 $△ AOD≌△ BEC$,
∴ $OA=EB=EA$.设菱形的边长为 $2m$,则 $OA=m$,$AD=2m$.在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$,解得 $m=1$ 或 $m=-1$(舍去),
∴ $DC=AB=2$,$OA=1$,$OB=3$,
∴ $A$,$B$,$C$ 三点的坐标分别为 $(1,0)$,$(3,0)$,$(2,\sqrt{3})$.
(2)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$,将点 $A$ 的坐标 $(1,0)$ 代入,得 $a=-\sqrt{3}$,
∴ 抛物线的函数表达式为 $y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$.
一题多解 设这个抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+bx+c$,由已知抛物线经过 $A(1,0)$,$B(3,0)$,$C(2,\sqrt{3})$ 三点,得 $\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\4a+2b+c=\sqrt{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\sqrt{3},\\b=4\sqrt{3},\\c=-3\sqrt{3},\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为 $y=-\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x-3\sqrt{3}$.

10. 已知抛物线 $ L: y = ax^2 - \frac{1}{2}x - 2 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A,B $ 两点(点 $ B $ 在点 $ A $ 的左侧),点 $ A $ 的坐标是 $ (4,0) $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $,将抛物线 $ L $ 绕点 $ (2,0) $ 旋转 $ 180° $ 得到抛物线 $ L_1 $.
(1) 求抛物线 $ L_1 $ 的函数表达式;
(2) 将抛物线 $ L_1 $ 向左或向右平移,得到抛物线 $ L_2 $, $ L_2 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A',B' $ 两点(点 $ B' $ 在点 $ A' $ 的左侧),与 $ y $ 轴相交于点 $ C' $,要使 $ S_{△ A'B'C'} = 2S_{△ ABC} $,求所有满足条件的抛物线 $ L_2 $ 的函数表达式.

10. (1) 把 $(4,0)$ 代入抛物线 $L$ 的函数表达式,得 $16a-\frac{1}{2}×4-2=0$,解得 $a=\frac{1}{4}$,
∴ $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{9}{4}$,则抛物线的顶点坐标为 $(1,-\frac{9}{4})$,顶点关于点 $(2,0)$ 的对称点为 $(3,\frac{9}{4})$,
∴ 抛物线 $L_1$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{4}(x-3)^2+\frac{9}{4}$.
(2) 当 $x=0$ 时,$y=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{9}{4}=-2$,
∴ 抛物线 $y=\frac{1}{4}(x-1)^2-\frac{9}{4}$ 与 $y$ 轴的交点为 $C(0,-2)$,由题可知 $|AB|=|A'B'|$,要使 $S_{△ A'B'C'}=2S_{△ ABC}$,则 $L_2$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-4)$,令 $y=-\frac{1}{4}(x-3)^2+\frac{9}{4}=-4$,解得 $x=8$ 或 $x=-2$,
∴ 只需将抛物线向右平移2个单位长度或向左平移8个单位长度,
∴ $L_2$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{4}(x-3-2)^2+\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}(x-5)^2+\frac{9}{4}$ 或 $y=-\frac{1}{4}(x-3+8)^2+\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}(x+5)^2+\frac{9}{4}$.

11. 新题型 新定义 “厚德楼”“博文楼”分别是某校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易》：“天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物.”“博文”出自《论语》：“君子博学于文，约之以礼.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博文点”.函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博文点”的函数称为“厚德博文函数”.
(1)函数$y=3x-2$是一个“厚德博文函数”，求出该函数图象上的“厚德点”和“博文点”；
(2)已知二次函数$y=a(x-h)^2+k$图象可以由二次函数$y=-x^2$的图象平移得到，二次函数$y=a(x-h)^2+k$图象的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博文点”$P(3,m)$，求该二次函数的表达式；
(3)已知二次函数$y=2(x-c)^2+d$（$c,d$为常数，$c≠0$）图象的顶点为$M$，与$y$轴交于点$N$，经过点$M,N$的直线$l$上存在无数个“厚德点”.当$m-1≤x≤m$时，函数$y=2(x-c)^2+d$有最小值$\frac{35}{2}$，求$m$的值.

11. (1)由题意得 $y=x$,即 $3x-2=x$,解得 $x=1$,
∴ “厚德点”为点 $(1,1)$,当 $x+y=0$ 时,即 $3x-2+x=0$,解得 $x=\frac{1}{2}$,
∴ “博文点”为点 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
(2)二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 图象可以由二次函数 $y=-x^2$ 的图象平移得到,
∴ $a=-1$,则抛物线的函数表达式为 $y=-(x-h)^2+k$.
∵ 抛物线的顶点就是一个“厚德点”,即 $h=k$,
∴ 抛物线的函数表达式为 $y=-(x-h)^2+h$.
∵ 函数图象还经过一个“博文点”$P(3,m)$,即 $m=-3$,将点 $(3,-3)$ 的坐标代入抛物线的函数表达式,得 $-3=-(3-h)^2+h$,解得 $h=1$ 或 $h=6$,即抛物线的函数表达式为 $y=-(x-1)^2+1$ 或 $y=-(x-6)^2+6$.
(3)由题意得,点 $M(c,d)$,当 $x=0$ 时,$y=2(x-c)^2+d=2c^2+d$,即点 $N$ 的坐标为 $(0,2c^2+d)$.设直线 $MN$ 的函数表达式为 $y=kx+2c^2+d$,将点 $M$ 的坐标代入得 $d=kc+2c^2+d$,解得 $k=-2c$,
∴ 直线 $MN$ 的函数表达式为 $y=-2cx+2c^2+d$.
∵ 经过点 $M,N$ 的直线 $l$ 上存在无数个“厚德点”,即 $y=x$,则直线 $MN$ 和直线 $y=x$ 重合,
∴ $-2c=1$ 且 $2c^2+d=0$,解得 $c=-\frac{1}{2}$,$d=-\frac{1}{2}$,
∴ 抛物线的函数表达式为 $y=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}$.
∵ 当 $m-1≤x≤m$ 时,函数 $y=2(x-c)^2+d$ 有最小值 $\frac{35}{2}$,且抛物线在顶点处的最小值为 $-\frac{1}{2}$,
∴ $x=-\frac{1}{2}$ 不可能在 $x=m-1$ 和 $x=m$ 之间.若 $m＜-\frac{1}{2}$,当 $x=m$ 时,函数取得最小值,即 $2(m+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=\frac{35}{2}$,解得 $m_1=-\frac{7}{2}$,$m_2=\frac{5}{2}$(不合题意,舍去).若 $m-1＞-\frac{1}{2}$,当 $x=m-1$ 时,函数取得最小值,即 $2(m-1+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}=\frac{35}{2}$,解得 $m_1=\frac{7}{2}$,$m_2=-\frac{5}{2}$(不合题意,舍去).综上所述,$m=\pm\frac{7}{2}$.