1. 计算:$2^1 -1=1,2^2 -1=3,2^3 -1=7,2^4 -1=15,2^5 -1=31,···$. 归纳各计算结果中个位数字的规律,猜测 $2^{2025} -1$ 的个位数字是.

1. 1

2.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b)^n$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：$(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4$.
【应用体验】已知$(x+2)^4 = x^4 +mx^3 +24x^2 +32x +16$,则$m$的值为.

2. 8

3.（教材复习题改编）如图①，一张正方形桌子可坐4人，两张这样的桌子按图②所示的方式拼接，可坐6人，现将若干张这样的桌子按图③所示的方式拼接起来.
（1）若将四张桌子按照这样的方式拼起来，则可以坐人；将n张桌子按照这样的方式拼起来，则可以坐人.（用含n的式子表示）
（2）如果有18个人参加聚会，那么需要几张桌子按如图所示的方式拼接？如果有29个人呢？请说明理由.

3. 解:(1)10;(2n+2);
(2)因为 2×8+2=18,
所以 n=8,即需要 8 张桌子进行拼接.
如果有 29 个人,需要 14 张桌子进行拼接,理由如下:
因为 2×13+2=28,2×14+2=30,
所以当 n=13 时,座位不够,当 n=14 时,坐不满,
所以要让这 29 个人都有座位,需要 14 张桌子进行拼接.

4. 万唯原创 中考新考法·综合与实践，根据信息完成下列任务：
探究不规则图形的面积
素材1 如图①中由四个相邻点围成正方形的面积是一个单位面积. 将多边形分割成若干个小正方形和三角形,分别计算面积后相加.
任务1 将图②中多边形进行分割,并求出其面积.
素材2 设在这个多边形内部的点数为$a$个,多边形边界上的点数为$b$个,多边形的面积为$S$.该多边形的面积$S$与$a,b$的值有关.
任务2 请补全下列表格,并总结出不规则图形面积的计算方法.
| | $a$ | $b$ | $\frac{1}{2}b$ | $S$ |
|----------|-----|-----|----------------|-----|
| 图② | 5 | 9 | | |
| 图③ | | | | |
| 图④ | | | | |
| 总结: | μlticolumn{4}{c}{} |
任务3 若存在一个面积为15个平方单位的多边形.当这个多边形内部的点数为3个时,求这个多边形边界上的点数.

4. 解:任务1:将多边形分割如所示,该多边形的面积=$2×3+\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×1×2=8.5$.
任务2:补全表格如下:
| | $a$ | $b$ | $\frac{1}{2}b$ | $S$ |
|----------|-----|-----|----------------|-----|
| 图② | 5 | 9 | 4.5 | 8.5 |
| 图③ | 1 | 4 | 2 | 2 |
| 图④ | 3 | 10 | 5 | 7 |
| 总结: | μlticolumn{4}{c}{$S=a+\frac{1}{2}b-1$} |
任务3:根据任务2可得 $S=a+\frac{1}{2}b-1$,因为 $S=15$,
$a=3$,所以 $15=3+\frac{1}{2}b-1$,
所以 $b=26$,即这个多边形边界上的点数为 26 个.