1. (教材习题改编)有一种游戏的规则如下:你任意想一个数,将这个数乘4,加上16,除以4,最后减去你所想的这个数,结果均为4,这是为什么?请解释其中的道理.

解:假设这个数为a,
根据规则可以列式为(4a+16)÷4−a=a+4−a=4.
所以无论最初想的数是多少,按照这样的运算顺序进行计算,最终结果都为4.

2. (2025北京大峪中学期末改编)密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学,与数学有密切关系.26个小写英文字母$a,b,c,\dots,z$依次对应自然数$1,2,3,\dots,26$,给出密文与明文之间的关系如下:当密文中的数字$x$为奇数时,明文中对应字母的序号为$x+1$;当密文中的数字$x$为偶数时,明文中对应字母的序号为$\frac{x}{2}$.则密文“1 2 14”破译成用小写英文字母表示的明文是什么？

解:由条件可知,当x=1时,为奇数,明文序号=1+1=2,对应字母b;
当x=2时,为偶数,故明文序号=$\frac{2}{2}$=1,对应字母a;
当x=14时,为偶数,故明文序号=$\frac{14}{2}$=7,对应字母g.
所以密文“1 2 14”破译成用小写英文字母表示的明文是bag.

3. 万唯原创（教材随堂练习改编）如图，现3个袋子中装有足够多且数量相等的小球，进行如下所示的操作：

小华说：“不论袋子中装有多少个小球（足够多），这3步结束后中袋小球的数量是13个，是个定值”，请你判断小华的说法正确吗？并解释其中的道理。

解:小华的说法正确,其中的道理如下:
设3个袋子每袋装a个小球,
第1步完成后,中袋有小球(a+5)个,左袋有小球(a-5)个,
第2步完成后,中袋有小球(a+5)+3=(a+8)个,
第3步完成后,中袋有小球(a+8)-(a-5)=a+8-a+5=13(个),
所以这3步结束后中袋小球的数量是13个,是个定值.

4. (2025 广东深圳宝安中学期末)


【信息理解】
(1)填空:
①$\overline{3x}$可表示为;
②若$\overline{2y}+\overline{y3}=45$,则$y=$.
(2)$\overline{ab}-\overline{ba}$的运算结果能被9整除,请说明其中的道理.
【迁移运用】
(3)小明利用运算程序设计了一个数学魔术,邀请小天参与体验.
步骤1:小明写下一个两位数$\overline{mn}$;
步骤2:小天将一个两位数$\overline{ab}$输入如图所示的运算程序,得到运算结果后,再将该结果减去$\overline{mn}$;
步骤3:小明在未运用运算程序的情况下,直接说出了最终结果为四位数$\overline{abcd}$.
请推测两位数$\overline{cd}$与$\overline{mn}$之间的数量关系,并简要说明理由.

解:(1)①30+x;②2;
(2)因为$\overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$,
所以$\overline{ab}-\overline{ba}$能被9整除;
(3)说理如下:将$\overline{ab}$输入运算程序,
得$[(10a+b)×2+2]×50=1\ 000a+100b+100$,
减去$\overline{mn}$,得$1\ 000a+100b+100-10m-n$,
而四位数$\overline{abcd}$可以表示为$1\ 000a+100b+10c+d$,
所以$1\ 000a+100b+100-10m-n=1\ 000a+100b+10c+d$,
即$100-10m-n=10c+d$,
所以$(10c+d)+(10m+n)=100$,
即$\overline{cd}+\overline{mn}=100$.