1. 如图，$AB// CD// EF$，则图中相似三角形有 （）

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

1.B

【分析】
首先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。接下来结合图中三组平行线$AB// CD$、$CD// EF$、$AB// EF$，按顺序找出对应的相似三角形即可，查找时注意避免漏数或者多数。
【解析】
根据相似三角形的平行判定定理：
1. 由$AB// CD$，可得$△ ECD ∽ △ EAB$；
2. 由$CD// EF$，可得$△ ACD ∽ △ AEF$；
3. 由$AB// EF$，可得$△ ABD ∽ △ EFD$。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查利用平行线判定相似三角形，解题时需按顺序梳理各组平行线对应的相似三角形，避免漏数，是对相似三角形基础判定的考查。
【难度系数】
0.7

2.如图,在四边形ABCD中,E为边BC的中点,连接AE、DE.若∠B=∠C=∠AED,则下列结论中,错误的是（）

A.∠AEB=∠CDE
B.AB+CD=BC
C.△ABE∽△AED
D.$DE^2=AD· DC$

2.B

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质推导相等的角，先证明△ABE∽△ECD，再结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质，以及E是BC中点的条件，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的结论。
【解析】
1. 推导等角证明△ABE∽△ECD：
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE，
又
∵∠AEC=∠AED+∠DEC，且已知∠B=∠AED，
∴∠BAE=∠DEC，
又
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECD（AA相似判定），
∴∠AEB=∠CDE，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：
∵E为BC中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
由△ABE∽△ECD可得$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}$，即$AB·CD=BE·EC=\frac{1}{4}BC^2$，
该式仅能得到AB与CD的乘积和BC的关系，无法推出AB+CD=BC，举例：若AB=1，CD=4，BE=EC=2，满足$AB·CD=BE·EC$，但$AB+CD=5≠BC=4$，故B选项结论错误，符合题意。
3. 验证C选项：
由△ABE∽△ECD得$\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{EC}$，结合EC=BE，可得$\frac{AB}{AE}=\frac{BE}{ED}$，
又
∵∠B=∠AED，
∴△ABE∽△AED（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），故C选项结论正确，不符合题意。
4. 验证D选项：
由△ABE∽△ECD、△ABE∽△AED，可得△AED∽△ECD，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DE}{CD}$，交叉相乘得$DE^2=AD·DC$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用类题目，解题核心是先通过角的和差关系找到相等的角，证明基础的相似三角形，再以此为依据推导其他相似关系和边的等量关系，注意判断边的和差关系时可通过举反例验证。
【难度系数】
0.65

3. 如图,在$△ ABC$中,点D、M在AB上,点E、N分别在BC、AC上,且$DE// AC$,$MN// BC$,$DE$交$MN$于点O.图中与$△ ABC$相似的三角形有对,把它们表示出来:.

3. 3 $△ AMN∽ △ ABC,△ DBE∽ △ ABC,△ DMO∽ △ ABC$

【分析】
解题时先回忆相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。首先从已知的两组平行条件入手：①由MN//BC可直接得到第一对相似三角形；②由DE//AC可直接得到第二对相似三角形；③再看MN和DE相交形成的△DMO，结合两组平行的性质推导角相等，即可得到第三对相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
1. 已知$MN// BC$，根据相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ AMN ∽ △ ABC$；
2. 已知$DE// AC$，同理可得$△ DBE ∽ △ ABC$；
3. 由$MN// BC$，可得$∠ DMO=∠ B$；由$DE// AC$，可得$∠ MDO=∠ A$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ DMO ∽ △ ABC$。
综上，与$△ ABC$相似的三角形共有3对。
【答案】
3；$△ AMN∽ △ ABC$，$△ DBE∽ △ ABC$，$△ DMO∽ △ ABC$
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要结合已知平行条件，按顺序找相似三角形，避免漏解，核心是熟练掌握平行与相似的关联以及两角法判定相似的规则。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$P$是$△ ABC$内一点,且$∠ APB=∠ APC=135°$.
求证:$△ CPA ∽ △ APB$.

4. 证明:$\because ∠ ACB=90°,AC=BC$,
$\therefore ∠ CAB=45°$,即$∠ CAP+∠ PAB=45°$.
$\because ∠ APC=135°,\therefore ∠ CAP+∠ ACP=45°$,
$\therefore ∠ ACP=∠ PAB$.
$\because ∠ APB=∠ APC=135°,\therefore △ CPA∽ △ APB$.

【分析】
要证明△CPA∽△APB，可优先使用两角对应相等的相似三角形判定定理。已知∠APC=∠APB=135°，已有一组对应角相等，因此只需再推导一组对应锐角相等即可。首先由△ABC是等腰直角三角形，可得∠CAB=45°，即∠CAP与∠PAB的和为45°；再结合三角形内角和为180°，在△APC中可推出∠CAP与∠ACP的和也为45°，通过等量代换即可得到另一组相等的对应角，从而完成相似的证明。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，AC=BC，
∴ ∠CAB=45°，即$∠ CAP+∠ PAB=45°$。
∵ ∠APC=135°，在△APC中，根据三角形内角和为180°，可得$∠ CAP+∠ ACP=180°-135°=45°$，
∴ $∠ ACP=∠ PAB$。
又
∵ $∠ APB=∠ APC=135°$，
∴ △CPA∽△APB。
【答案】
△CPA∽△APB，得证。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是通过角的和差关系推导得到相等的对应角，熟练掌握相似三角形的判定定理和特殊三角形的性质就能顺利解决这类问题。
【难度系数】
0.8

5 如图，P是等腰三角形ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似。满足这样条件的直线最多有 （）

A.2条
B.3条
C.4条
D.5条

5.B

【分析】
要解决本题，需结合相似三角形的判定定理，分类讨论过点P的截线情况，排除重合直线后统计符合要求的数量：
首先考虑平行类截线：根据“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似”，可得到2条符合要求的平行线；再考虑非平行类截线：通过构造相等角，结合公共角用两角对应相等的判定得到相似三角形，且该截线与前述平行线不重合；尝试构造其他非平行截线时会和已有直线重合，最终统计总数量即可。
【解析】
我们分情况讨论所有符合条件的直线：
1. 过点P作直线$l_1// BC$，交AC于点D：
∵$l_1// BC$，
∴$∠ APD=∠ B$，$∠ ADP=∠ C$，由两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ APD∽△ ABC$，符合要求，为第1条直线。
2. 过点P作直线$l_2// AC$，交BC于点E：
∵$l_2// AC$，
∴$∠ BPE=∠ A$，$∠ BEP=∠ C$，由两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ BPE∽△ BAC$，符合要求，为第2条直线。
3. 过点P作直线$l_3$，交AC于点F，使$∠ APF=∠ C$：
在$△ APF$和$△ ACB$中，$∠ A$为公共角，$∠ APF=∠ C$，由两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ APF∽△ ACB$，且$l_3$与$l_1、l_2$均不重合，符合要求，为第3条直线。
其余构造的截线均会与上述3条直线重合，无新增符合条件的直线。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型应用题型，需要同学们分类讨论所有可能的截线情况，注意避免重复计数，能很好地考查对相似判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65

6.如图,点A、E、F、C在同一条直线上,$AD// BC$,$BE$的延长线交$AD$于点$G$,且$BG// DF$,则下列结论错误的是（）

A.$\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{AE}{AF}$
B.$\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{EG}{DF}$
C.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AG}{AD}$
D.$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{DF}{BE}$

6.C

【分析】
首先根据题目给出的两组平行线（$BG// DF$、$AD// BC$），结合公共角、同位角相等可得到多组相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质，逐个验证四个选项中的比例式是否成立，即可找出错误的结论。
【解析】
1. 由$BG// DF$，可得$∠ AGE=∠ ADF$，又$∠ A$是$△ AEG$和$△ AFD$的公共角，因此$△ AEG ∽ △ AFD$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{EG}{DF}$，因此A、B选项结论正确。
观察C选项：$\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{AE}{AF}$，而$AF＜AC$，显然$\dfrac{AE}{AF}≠\dfrac{AE}{AC}$，因此C选项结论错误。
2. 由$AD// BC$，可得$∠ A=∠ C$；由$BG// DF$，可得$∠ DFA=∠ BEC$，因此$△ AFD ∽ △ CEB$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{DF}{BE}$，因此D选项结论正确。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题解题的核心是通过平行线找到对应的相似三角形，明确相似三角形的对应边，再结合比例性质判断式子是否成立，需注意不要混淆相似三角形的对应边关系。
【难度系数】
0.7