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7. 如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE，AF⊥BE于点F，AF的延长线交BC于点G，连接DF，则图中相似三角形有 （
A.4对
B.6对
C.8对
D.5对
B
）A.4对
B.6对
C.8对
D.5对
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的AA判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似。首先结合矩形的性质得到直角、平行线等条件，再利用AF⊥BE的垂直条件，通过同角的余角相等推导角相等的关系，先找到有公共角或等角的直角三角形，再逐一确认相似关系，最后统计相似三角形的对数即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABG = ∠C = 90°，AB//CD，
∴ ∠ABF = ∠BEC。
∵ AF⊥BE，
∴ ∠AFB = ∠BFG = 90°。
1. 证△ABG∽△BCE：
∵ ∠BAG + ∠ABF = 90°，∠CBE + ∠BEC = 90°，且∠ABF=∠BEC，
∴ ∠BAG = ∠CBE，
又
∵ ∠ABG = ∠C = 90°，
∴ △ABG∽△BCE（AA）。
2. 证△ABF∽△BCE：
∵ ∠BAF = ∠CBE（已证），∠AFB = ∠C = 90°，
∴ △ABF∽△BCE（AA）。
3. 证△BFG∽△BCE：
∵ ∠FBG = ∠CBE，∠BFG = ∠C = 90°，
∴ △BFG∽△BCE（AA）。
由此可得△ABG、△BCE、△ABF、△BFG四个三角形两两相似，两两组合共有$\frac{4×3}{2}=6$对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，余角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要善于利用图形中的直角和等角关系，使用AA判定定理快速找到相似三角形，计数时要注意避免重复和遗漏。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆相似三角形的AA判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似。首先结合矩形的性质得到直角、平行线等条件，再利用AF⊥BE的垂直条件，通过同角的余角相等推导角相等的关系，先找到有公共角或等角的直角三角形，再逐一确认相似关系，最后统计相似三角形的对数即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABG = ∠C = 90°，AB//CD，
∴ ∠ABF = ∠BEC。
∵ AF⊥BE，
∴ ∠AFB = ∠BFG = 90°。
1. 证△ABG∽△BCE：
∵ ∠BAG + ∠ABF = 90°，∠CBE + ∠BEC = 90°，且∠ABF=∠BEC，
∴ ∠BAG = ∠CBE，
又
∵ ∠ABG = ∠C = 90°，
∴ △ABG∽△BCE（AA）。
2. 证△ABF∽△BCE：
∵ ∠BAF = ∠CBE（已证），∠AFB = ∠C = 90°，
∴ △ABF∽△BCE（AA）。
3. 证△BFG∽△BCE：
∵ ∠FBG = ∠CBE，∠BFG = ∠C = 90°，
∴ △BFG∽△BCE（AA）。
由此可得△ABG、△BCE、△ABF、△BFG四个三角形两两相似，两两组合共有$\frac{4×3}{2}=6$对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，余角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要善于利用图形中的直角和等角关系，使用AA判定定理快速找到相似三角形，计数时要注意避免重复和遗漏。
【难度系数】
0.6
8.我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线.如图,嘉淇在两条横线上画出△ABC,且AB、AC与中间的另外两条横线交于D、F、E、G四点,连接CD交FG于点H.若HG=2,则BC的长为
12
.答案
8.12
解析
【分析】
首先利用格线平行且等距的性质，结合平行线分线段成比例定理得到AB、AC被平行线截得的线段的比例关系；再通过平行线判定相似三角形，得到FG与BC的比例关系；接着结合三角形中位线的性质得到FH与BC的比例关系；最后根据FG=FH+HG，代入已知HG=2列方程求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ 练习本上的横线平行且等距
∴ 直线AB被四条平行格线截得的线段满足$AD:DF:FB=1:1:1$，同理$AE:EG:GC=1:1:1$
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{AD+DF}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{DB}=\frac{DF}{DF+FB}=\frac{1}{2}$
∵ $FG// BC$
∴ $∠ AFG=∠ ABC$，$∠ AGF=∠ ACB$
∴ $△ AFG ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{FG}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，即$FG=\frac{2}{3}BC$ ①
在$△ DBC$中，F是DB的中点，且$FH// BC$（$FG// BC$）
根据平行线分线段成比例可得H是DC的中点，即FH是$△ DBC$的中位线
∴ $FH=\frac{1}{2}BC$ ②
∵ $FG=FH+HG$，且$HG=2$
将①②代入得：$\frac{2}{3}BC=\frac{1}{2}BC+2$
两边同乘6得：$4BC=3BC+12$
解得：$BC=12$
【答案】
12
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行线、相似三角形、三角形中位线的综合应用题，解题核心是从平行等距的格线中挖掘出线段的比例关系，结合几何性质建立方程求解，对综合运用几何知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用格线平行且等距的性质，结合平行线分线段成比例定理得到AB、AC被平行线截得的线段的比例关系；再通过平行线判定相似三角形，得到FG与BC的比例关系；接着结合三角形中位线的性质得到FH与BC的比例关系；最后根据FG=FH+HG，代入已知HG=2列方程求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ 练习本上的横线平行且等距
∴ 直线AB被四条平行格线截得的线段满足$AD:DF:FB=1:1:1$，同理$AE:EG:GC=1:1:1$
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{AD+DF}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{DB}=\frac{DF}{DF+FB}=\frac{1}{2}$
∵ $FG// BC$
∴ $∠ AFG=∠ ABC$，$∠ AGF=∠ ACB$
∴ $△ AFG ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{FG}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，即$FG=\frac{2}{3}BC$ ①
在$△ DBC$中，F是DB的中点，且$FH// BC$（$FG// BC$）
根据平行线分线段成比例可得H是DC的中点，即FH是$△ DBC$的中位线
∴ $FH=\frac{1}{2}BC$ ②
∵ $FG=FH+HG$，且$HG=2$
将①②代入得：$\frac{2}{3}BC=\frac{1}{2}BC+2$
两边同乘6得：$4BC=3BC+12$
解得：$BC=12$
【答案】
12
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是平行线、相似三角形、三角形中位线的综合应用题，解题核心是从平行等距的格线中挖掘出线段的比例关系，结合几何性质建立方程求解，对综合运用几何知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$△ ABC$中,点$E$在$AC$上,$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$,$F$为$BE$的中点,$AF$的延长线交$BC$于$D$,则$\frac{BD}{DC}=$
$\dfrac{1}{3}$
.答案
9.$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要求$\frac{BD}{DC}$的比值，已知$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$和F是BE中点，可通过作平行线构造全等三角形和相似三角形求解：过点E作EH//BC交AD于H，先利用F是BE中点证明△BFD和△EFH全等，得到BD=EH；再证明△AEH和△ACD相似，结合已知的线段比例求出EH与DC的比值，即可得到$\frac{BD}{DC}$的值。
【解析】
解：过点E作$EH// BC$，交AD于点H，
∴$∠ HEF=∠ DBF$，$∠ EHF=∠ BDF$，
∵F为BE的中点，
∴$BF=EF$，
在$△ BFD$和$△ EFH$中：
$\begin{cases}∠ DBF=∠ HEF \\∠ BDF=∠ EHF \\BF=EF\end{cases}$
∴$△ BFD≌△ EFH(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=EH$，
∵$EH// BC$，
∴$△ AEH∽△ ACD$，
∴$\frac{EH}{DC}=\frac{AE}{AC}$，
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AE+EC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EH}{DC}=\frac{1}{3}$，
又
∵$BD=EH$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，比例线段
【点评】
本题是求线段比值的常见题型，解题核心是合理作出平行线辅助线，通过全等转化相等线段、通过相似关联已知比例和所求比例，考查学生对全等、相似性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{BD}{DC}$的比值，已知$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$和F是BE中点，可通过作平行线构造全等三角形和相似三角形求解：过点E作EH//BC交AD于H，先利用F是BE中点证明△BFD和△EFH全等，得到BD=EH；再证明△AEH和△ACD相似，结合已知的线段比例求出EH与DC的比值，即可得到$\frac{BD}{DC}$的值。
【解析】
解：过点E作$EH// BC$，交AD于点H，
∴$∠ HEF=∠ DBF$，$∠ EHF=∠ BDF$，
∵F为BE的中点，
∴$BF=EF$，
在$△ BFD$和$△ EFH$中：
$\begin{cases}∠ DBF=∠ HEF \\∠ BDF=∠ EHF \\BF=EF\end{cases}$
∴$△ BFD≌△ EFH(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=EH$，
∵$EH// BC$，
∴$△ AEH∽△ ACD$，
∴$\frac{EH}{DC}=\frac{AE}{AC}$，
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AE+EC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EH}{DC}=\frac{1}{3}$，
又
∵$BD=EH$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，比例线段
【点评】
本题是求线段比值的常见题型，解题核心是合理作出平行线辅助线，通过全等转化相等线段、通过相似关联已知比例和所求比例，考查学生对全等、相似性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,AD=CD,E、F分别是CD、AD的中点,BE与CF相交于点M,求证:DE²=BE·ME. 
答案
10. 证明:如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G.
易证 $AD// EG// BC$,
$\therefore \dfrac{AG}{BG}=\dfrac{DE}{EC}.\because E$ 为 CD 的中点,$\therefore DE=EC,\therefore AG=BG,\therefore AE=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ EBA,\therefore ∠ DAB-∠ EAB=∠ CBA-∠ EBA$
$\therefore ∠ DAE=∠ CBE$. 易证 $△ ADE≌ △ CDF$,
$\therefore ∠ DAE=∠ DCF,\therefore ∠ CBE=∠ DCF$,
$\therefore △ MEC∽ △ CEB,\therefore CE^2=BE· ME$.
$\because CE=DE,\therefore DE^2=BE· ME$.
解析
【分析】
要证明等积式$DE^2=BE·ME$，通常先将其转化为比例式$\frac{DE}{BE}=\frac{ME}{DE}$，结合已知E是CD中点，$DE=CE$，可转化为证明$CE^2=BE·ME$，即证$\frac{CE}{BE}=\frac{ME}{CE}$，只需证明$△ MEC∽△ CEB$即可。要证两三角形相似，需找两组对应角相等：首先构造辅助线$EG⊥AB$，利用平行线分线段成比例得到E在AB的垂直平分线上，推出$AE=BE$，得到角相等；再结合E、F是中点、$AD=CD$的条件证明$△ ADE≌△ CDF$，得到角的等量关系，最终推出$△ MEC$和$△ CEB$的两组对应角相等，完成相似证明后即可推导结论。
【解析】
证明：过点E作$EG⊥AB$，垂足为G。
∵$∠ BAD=90°$，$AD// BC$，
∴$AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
∴$AD// EG// BC$，根据平行线分线段成比例，得$\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{DE}{EC}$。
∵E为CD的中点，
∴$DE=EC$，
∴$AG=BG$，即EG是AB的垂直平分线，
∴$AE=BE$，$∠ EAB=∠ EBA$。
∵$∠ DAB=∠ CBA=90°$，
∴$∠ DAB-∠ EAB=∠ CBA-∠ EBA$，即$∠ DAE=∠ CBE$。
∵F是AD中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AD$，又
∵$AD=CD$，E是CD中点，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD=DF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDF \\DE=DF\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF$（SAS），
∴$∠ DAE=∠ DCF$，
∴$∠ CBE=∠ DCF$。
在$△ MEC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ MCE=∠ CBE \\∠ MEC=∠ CEB（公共角）\end{cases}$
∴$△ MEC∽△ CEB$（AA），
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{ME}{CE}$，即$CE^2=BE·ME$。
又
∵$CE=DE$，
∴$DE^2=BE·ME$。
【答案】
10. 证明:如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G.
易证 $AD// EG// BC$,
$\therefore \dfrac{AG}{BG}=\dfrac{DE}{EC}.\because E$ 为 CD 的中点,$\therefore DE=EC,\therefore AG=BG,\therefore AE=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ EBA,\therefore ∠ DAB-∠ EAB=∠ CBA-∠ EBA$
$\therefore ∠ DAE=∠ CBE$. 易证 $△ ADE≌ △ CDF$,
$\therefore ∠ DAE=∠ DCF,\therefore ∠ CBE=∠ DCF$,
$\therefore △ MEC∽ △ CEB,\therefore CE^2=BE· ME$.
$\because CE=DE,\therefore DE^2=BE· ME$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何证明类题型，核心考查等积式的证明思路，需将等积式转化为比例式后通过证明三角形相似求解，解题过程中需要合理构造辅助线推导角的等量关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$DE^2=BE·ME$，通常先将其转化为比例式$\frac{DE}{BE}=\frac{ME}{DE}$，结合已知E是CD中点，$DE=CE$，可转化为证明$CE^2=BE·ME$，即证$\frac{CE}{BE}=\frac{ME}{CE}$，只需证明$△ MEC∽△ CEB$即可。要证两三角形相似，需找两组对应角相等：首先构造辅助线$EG⊥AB$，利用平行线分线段成比例得到E在AB的垂直平分线上，推出$AE=BE$，得到角相等；再结合E、F是中点、$AD=CD$的条件证明$△ ADE≌△ CDF$，得到角的等量关系，最终推出$△ MEC$和$△ CEB$的两组对应角相等，完成相似证明后即可推导结论。
【解析】
证明：过点E作$EG⊥AB$，垂足为G。
∵$∠ BAD=90°$，$AD// BC$，
∴$AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
∴$AD// EG// BC$，根据平行线分线段成比例，得$\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{DE}{EC}$。
∵E为CD的中点，
∴$DE=EC$，
∴$AG=BG$，即EG是AB的垂直平分线，
∴$AE=BE$，$∠ EAB=∠ EBA$。
∵$∠ DAB=∠ CBA=90°$，
∴$∠ DAB-∠ EAB=∠ CBA-∠ EBA$，即$∠ DAE=∠ CBE$。
∵F是AD中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AD$，又
∵$AD=CD$，E是CD中点，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD=DF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDF \\DE=DF\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF$（SAS），
∴$∠ DAE=∠ DCF$，
∴$∠ CBE=∠ DCF$。
在$△ MEC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ MCE=∠ CBE \\∠ MEC=∠ CEB（公共角）\end{cases}$
∴$△ MEC∽△ CEB$（AA），
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{ME}{CE}$，即$CE^2=BE·ME$。
又
∵$CE=DE$，
∴$DE^2=BE·ME$。
【答案】
10. 证明:如图,过点 E 作 $EG⊥ AB$,垂足为 G.
易证 $AD// EG// BC$,
$\therefore \dfrac{AG}{BG}=\dfrac{DE}{EC}.\because E$ 为 CD 的中点,$\therefore DE=EC,\therefore AG=BG,\therefore AE=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ EBA,\therefore ∠ DAB-∠ EAB=∠ CBA-∠ EBA$
$\therefore ∠ DAE=∠ CBE$. 易证 $△ ADE≌ △ CDF$,
$\therefore ∠ DAE=∠ DCF,\therefore ∠ CBE=∠ DCF$,
$\therefore △ MEC∽ △ CEB,\therefore CE^2=BE· ME$.
$\because CE=DE,\therefore DE^2=BE· ME$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何证明类题型，核心考查等积式的证明思路，需将等积式转化为比例式后通过证明三角形相似求解，解题过程中需要合理构造辅助线推导角的等量关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
11 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,∠CAB=∠ACB,过点 B 作 BE⊥AB 交 AC 于点 E.
(1)求证:△ABO∽△BEO;
(2)若 AB=5,AC=8,求 EO 的长.
(1)求证:△ABO∽△BEO;
(2)若 AB=5,AC=8,求 EO 的长.
答案
11. (1)证明:$\because ∠ CAB=∠ ACB$,
$\therefore AB=CB,\therefore □ ABCD$ 是菱形,
$\therefore AC⊥ BD,\therefore ∠ AOB=∠ BOE=90°$.
$\because BE⊥ AB,\therefore ∠ EBA=90°$,
$\therefore ∠ BEO+∠ BAO=∠ ABO+∠ BAO=90°$,
$\therefore ∠ BEO=∠ ABO,\therefore △ ABO∽ △ BEO$.
(2)解:在菱形 ABCD 中,$AC⊥ BD,OA=OC$.
$\because AB=5,AC=8,\therefore AO=4$,
$\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
由(1)知$△ ABO∽ △ BEO$,
$\therefore \dfrac{BO}{EO}=\dfrac{AO}{BO}$,即$\dfrac{3}{EO}=\dfrac{4}{3}$,解得 $EO=\dfrac{9}{4}$.
$\therefore AB=CB,\therefore □ ABCD$ 是菱形,
$\therefore AC⊥ BD,\therefore ∠ AOB=∠ BOE=90°$.
$\because BE⊥ AB,\therefore ∠ EBA=90°$,
$\therefore ∠ BEO+∠ BAO=∠ ABO+∠ BAO=90°$,
$\therefore ∠ BEO=∠ ABO,\therefore △ ABO∽ △ BEO$.
(2)解:在菱形 ABCD 中,$AC⊥ BD,OA=OC$.
$\because AB=5,AC=8,\therefore AO=4$,
$\therefore BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
由(1)知$△ ABO∽ △ BEO$,
$\therefore \dfrac{BO}{EO}=\dfrac{AO}{BO}$,即$\dfrac{3}{EO}=\dfrac{4}{3}$,解得 $EO=\dfrac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABO∽△BEO，首先从已知∠CAB=∠ACB入手，可推出AB=BC，因此平行四边形ABCD是菱形，根据菱形对角线互相垂直的性质可得∠AOB=∠BOE=90°；再结合BE⊥AB的条件，利用同角的余角相等可推出∠BEO=∠ABO，根据两角对应相等的两个三角形相似即可完成证明。
(2)求EO的长度时，首先利用菱形对角线互相平分的性质算出AO的长度，再在Rt△ABO中用勾股定理求出BO的长度，最后利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求解EO。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠CAB=∠ACB$，
$\therefore AB=CB$，
$\therefore □ ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥BD$，即$∠AOB=∠BOE=90°$。
$\because BE⊥AB$，
$\therefore ∠EBA=90°$，
$\therefore ∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°$，
$\therefore ∠BEO=∠ABO$，
$\therefore △ABO∽△BEO$。
(2)解：
在菱形$ABCD$中，$AC⊥BD$，$OA=OC$。
$\because AC=8$，
$\therefore AO=\dfrac{1}{2}AC=4$，
在$Rt△ABO$中，$AB=5$，$AO=4$，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由(1)知$△ABO∽△BEO$，
$\therefore \dfrac{BO}{EO}=\dfrac{AO}{BO}$，
代入$BO=3$，$AO=4$得：$\dfrac{3}{EO}=\dfrac{4}{3}$，
解得$EO=\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABO ∽ △ BEO$；(2) $EO$的长为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
菱形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形与相似三角形的知识考查，解题时先通过角的等量关系判定菱形得到垂直条件，再结合余角性质得到相似所需的等角，最后利用相似性质求解线段长度，是几何综合类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABO∽△BEO，首先从已知∠CAB=∠ACB入手，可推出AB=BC，因此平行四边形ABCD是菱形，根据菱形对角线互相垂直的性质可得∠AOB=∠BOE=90°；再结合BE⊥AB的条件，利用同角的余角相等可推出∠BEO=∠ABO，根据两角对应相等的两个三角形相似即可完成证明。
(2)求EO的长度时，首先利用菱形对角线互相平分的性质算出AO的长度，再在Rt△ABO中用勾股定理求出BO的长度，最后利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求解EO。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠CAB=∠ACB$，
$\therefore AB=CB$，
$\therefore □ ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥BD$，即$∠AOB=∠BOE=90°$。
$\because BE⊥AB$，
$\therefore ∠EBA=90°$，
$\therefore ∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°$，
$\therefore ∠BEO=∠ABO$，
$\therefore △ABO∽△BEO$。
(2)解：
在菱形$ABCD$中，$AC⊥BD$，$OA=OC$。
$\because AC=8$，
$\therefore AO=\dfrac{1}{2}AC=4$，
在$Rt△ABO$中，$AB=5$，$AO=4$，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由(1)知$△ABO∽△BEO$，
$\therefore \dfrac{BO}{EO}=\dfrac{AO}{BO}$，
代入$BO=3$，$AO=4$得：$\dfrac{3}{EO}=\dfrac{4}{3}$，
解得$EO=\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) 已证$△ ABO ∽ △ BEO$；(2) $EO$的长为$\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
菱形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合特殊四边形与相似三角形的知识考查，解题时先通过角的等量关系判定菱形得到垂直条件，再结合余角性质得到相似所需的等角，最后利用相似性质求解线段长度，是几何综合类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
