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12阅读下列材料,并按要求完成相应的任务.
若两个三角形中有一组角相等或互补,则称这两个三角形为共角三角形.小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系:已知△ABC和△ADE为共角三角形,当∠BAC=∠DAE或∠BAC+∠DAE=180°(∠BAC≠∠DAE)时, $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
小明的证明过程(部分)如下:
证明:分以下三种情况讨论.
a.当∠BAC=∠DAE,且△ABC是直角三角形时,如图1,点D、E分别在AB、AC边上,
则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AD · AE}{\frac{1}{2}AB · AC}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
b.当∠BAC=∠DAE且△ABC不是直角三角形时,如图2,点D、E分别在AB、AC边上,过点C、E分别作CG⊥AB于G,EH⊥AB于H,则∠AGC=∠AHE=90°.
∵∠BAC=∠DAE,∴△AEH∽△ACG,∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{CG}$,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AD · EH}{\frac{1}{2}AB · CG}=\frac{AD}{AB} · \frac{EH}{CG}=\frac{AD}{AB} · \frac{AE}{AC}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
c.当∠BAC+∠DAE=180°(∠BAC≠∠DAE)时,如图3,过点C、E分别作CM⊥AB于M,EN⊥AD交DA的延长线于N,则∠AMC=∠ANE=90°.
任务:
(1)请将图3的证明过程补充完整;
(2)如图4,在平行四边形ABCD中,点E在AB边上,且BE=2AE,F是BC边的中点.若$S_{△ ADE}=3$,则$S_{△ BEF}=$
若两个三角形中有一组角相等或互补,则称这两个三角形为共角三角形.小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系:已知△ABC和△ADE为共角三角形,当∠BAC=∠DAE或∠BAC+∠DAE=180°(∠BAC≠∠DAE)时, $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
小明的证明过程(部分)如下:
证明:分以下三种情况讨论.
a.当∠BAC=∠DAE,且△ABC是直角三角形时,如图1,点D、E分别在AB、AC边上,
则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AD · AE}{\frac{1}{2}AB · AC}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
b.当∠BAC=∠DAE且△ABC不是直角三角形时,如图2,点D、E分别在AB、AC边上,过点C、E分别作CG⊥AB于G,EH⊥AB于H,则∠AGC=∠AHE=90°.
∵∠BAC=∠DAE,∴△AEH∽△ACG,∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{CG}$,
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AD · EH}{\frac{1}{2}AB · CG}=\frac{AD}{AB} · \frac{EH}{CG}=\frac{AD}{AB} · \frac{AE}{AC}=\frac{AD · AE}{AB · AC}$.
c.当∠BAC+∠DAE=180°(∠BAC≠∠DAE)时,如图3,过点C、E分别作CM⊥AB于M,EN⊥AD交DA的延长线于N,则∠AMC=∠ANE=90°.
任务:
(1)请将图3的证明过程补充完整;
(2)如图4,在平行四边形ABCD中,点E在AB边上,且BE=2AE,F是BC边的中点.若$S_{△ ADE}=3$,则$S_{△ BEF}=$
3
.答案
12. (1)证明:$\because ∠ EAN+∠ DAE=∠ CAM+∠ DAE=180°$,
$\therefore ∠ EAN=∠ CAM$,
$\therefore △ EAN∽ △ CAM,\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EN}{CM}$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD· EN}{\dfrac{1}{2}AB· CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{EN}{CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD· AE}{AB· AC}$.
(2)解:如图,过点 F 作 $FH⊥ AB$ 交 AB 的延长线于 H,过点 D 作 $DM⊥ AB$ 于 M,则 $∠ BHF=∠ AMD=90°$.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠ FBH=∠ A$,
$\therefore △ ADM∽ △ BFH,\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AM}{BH}=\dfrac{AD}{BF}$.
$\because F$ 是 BC 边的中点,$BE=2AE$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD,\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AM}{BH}=\dfrac{AD}{BF}=2$.
$\because S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AE· DM,S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}BE· FH$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ BEF}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AE· DM}{\dfrac{1}{2}BE· FH}=1$,
$\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ADE}=3$. 故答案为 3.
解析
【分析】
(1) 补全图3的证明时，先利用平角的定义，结合已知∠BAC+∠DAE=180°推导得到一组相等的锐角，再证明两个高所在的直角三角形相似，得到高的比例关系，最后将高的比例代入两个三角形的面积公式化简，即可得到共角三角形的面积比结论。
(2) 求解第二问有两种思路：一是直接使用共角三角形的面积比结论，先判断△ADE和△BEF为共角三角形（∠A与∠EBF互补），再找到两组夹边的比例，结合已知△ADE的面积计算△BEF的面积；二是通过作AB边上的两条高，利用平行四边形的性质证明高所在的三角形相似，得到高的比例，再结合底的比例计算两个三角形的面积比，进而求出结果。
【解析】
(1) 证明:$\because ∠ EAN+∠ DAE=∠ CAM+∠ DAE=180°$,
$\therefore ∠ EAN=∠ CAM$,
又$\because ∠AMC=∠ANE=90°$,
$\therefore △ EAN∽ △ CAM,\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EN}{CM}$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD· EN}{\dfrac{1}{2}AB· CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{EN}{CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD· AE}{AB· AC}$.
(2) 解:如图,过点 F 作 $FH⊥ AB$ 交 AB 的延长线于 H,过点 D 作 $DM⊥ AB$ 于 M,则 $∠ BHF=∠ AMD=90°$.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠ FBH=∠ A$,
$\therefore △ ADM∽ △ BFH,\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AM}{BH}=\dfrac{AD}{BF}$.
$\because F$ 是 BC 边的中点,$BE=2AE$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD,\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AD}{BF}=2$.
$\because S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AE· DM,S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}BE· FH$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ BEF}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AE· DM}{\dfrac{1}{2}BE· FH}=\dfrac{AE}{BE}×\dfrac{DM}{FH}=\dfrac{1}{2}×2=1$,
$\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ADE}=3$.
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 三角形面积计算
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，先给出共角三角形的面积比规律，要求学生补充证明过程，再迁移规律解决平行四边形中的面积问题，既考查了相似三角形、平行四边形等基础知识点的运用，也考查了对新知识的理解和迁移能力，解题时结合图形分析角、边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 补全图3的证明时，先利用平角的定义，结合已知∠BAC+∠DAE=180°推导得到一组相等的锐角，再证明两个高所在的直角三角形相似，得到高的比例关系，最后将高的比例代入两个三角形的面积公式化简，即可得到共角三角形的面积比结论。
(2) 求解第二问有两种思路：一是直接使用共角三角形的面积比结论，先判断△ADE和△BEF为共角三角形（∠A与∠EBF互补），再找到两组夹边的比例，结合已知△ADE的面积计算△BEF的面积；二是通过作AB边上的两条高，利用平行四边形的性质证明高所在的三角形相似，得到高的比例，再结合底的比例计算两个三角形的面积比，进而求出结果。
【解析】
(1) 证明:$\because ∠ EAN+∠ DAE=∠ CAM+∠ DAE=180°$,
$\therefore ∠ EAN=∠ CAM$,
又$\because ∠AMC=∠ANE=90°$,
$\therefore △ EAN∽ △ CAM,\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EN}{CM}$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD· EN}{\dfrac{1}{2}AB· CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{EN}{CM}=\dfrac{AD}{AB}· \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD· AE}{AB· AC}$.
(2) 解:如图,过点 F 作 $FH⊥ AB$ 交 AB 的延长线于 H,过点 D 作 $DM⊥ AB$ 于 M,则 $∠ BHF=∠ AMD=90°$.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠ FBH=∠ A$,
$\therefore △ ADM∽ △ BFH,\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AM}{BH}=\dfrac{AD}{BF}$.
$\because F$ 是 BC 边的中点,$BE=2AE$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD,\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{DM}{FH}=\dfrac{AD}{BF}=2$.
$\because S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}AE· DM,S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}BE· FH$,
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ BEF}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AE· DM}{\dfrac{1}{2}BE· FH}=\dfrac{AE}{BE}×\dfrac{DM}{FH}=\dfrac{1}{2}×2=1$,
$\therefore S_{△ BEF}=S_{△ ADE}=3$.
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 三角形面积计算
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题属于新定义类综合题，先给出共角三角形的面积比规律，要求学生补充证明过程，再迁移规律解决平行四边形中的面积问题，既考查了相似三角形、平行四边形等基础知识点的运用，也考查了对新知识的理解和迁移能力，解题时结合图形分析角、边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
