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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=80°$，$AC=4$，$BC=6$，将$△ ABC$沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②④
B
）A.①②
B.①②③
C.①②④
D.②④
答案
1.B
解析
【分析】
要判断剪下的三角形是否与原三角形相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），逐一分析四种剪法中阴影三角形与原△ABC的角、边对应关系：
1. 先看是否有公共角或相等的角，若有两个角对应相等可直接判定相似；
2. 若只有一组角相等，再看夹这个角的两边是否对应成比例，满足则相似，否则不相似。
【解析】
已知△ABC中，∠C=80°，AC=4，BC=6，逐一分析如下：
1. 剪法①：阴影三角形有一个角为80°，与原三角形的∠C相等，且两个三角形共享公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
2. 剪法②：阴影三角形有一个角为80°，与原三角形的∠C相等，且两个三角形共享公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
3. 剪法③：阴影三角形与原三角形共享公共角∠C=80°，夹这个角的两组边对应成比例，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
4. 剪法④：阴影三角形中80°角不是长度为2和3的两边的夹角，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，也没有两组对应相等的角，因此剪下的三角形与△ABC不相似。
综上，①②③的剪法符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题需要熟练运用相似三角形的判定定理分析图形，重点要注意“两边成比例且夹角相等”的判定条件中，相等的角必须是两组对应成比例边的夹角，避免因混淆角的位置出错。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的三角形是否与原三角形相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），逐一分析四种剪法中阴影三角形与原△ABC的角、边对应关系：
1. 先看是否有公共角或相等的角，若有两个角对应相等可直接判定相似；
2. 若只有一组角相等，再看夹这个角的两边是否对应成比例，满足则相似，否则不相似。
【解析】
已知△ABC中，∠C=80°，AC=4，BC=6，逐一分析如下：
1. 剪法①：阴影三角形有一个角为80°，与原三角形的∠C相等，且两个三角形共享公共角∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
2. 剪法②：阴影三角形有一个角为80°，与原三角形的∠C相等，且两个三角形共享公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
3. 剪法③：阴影三角形与原三角形共享公共角∠C=80°，夹这个角的两组边对应成比例，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知剪下的三角形与△ABC相似。
4. 剪法④：阴影三角形中80°角不是长度为2和3的两边的夹角，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，也没有两组对应相等的角，因此剪下的三角形与△ABC不相似。
综上，①②③的剪法符合要求。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题需要熟练运用相似三角形的判定定理分析图形，重点要注意“两边成比例且夹角相等”的判定条件中，相等的角必须是两组对应成比例边的夹角，避免因混淆角的位置出错。
【难度系数】
0.7
2. 若$△ ABC$和$△ DEF$满足下列条件，其中能使$△ ABC ∽ △ DEF$的是（
A.$AB=3, BC=8, AC=9, DE=2, FE=\dfrac{16}{3}, DF=6$
B.$AB=3, BC=8, AC=9, DE=\dfrac{16}{3}, FE=2, DF=6$
C.$AB=1, BC=\sqrt{2}, AC=1.5, DE=2, FE=2\sqrt{2}, DF=4$
D.$AB=1, BC=\sqrt{3}, AC=2, DE=3\sqrt{3}, FE=2, DF=6$
A
）A.$AB=3, BC=8, AC=9, DE=2, FE=\dfrac{16}{3}, DF=6$
B.$AB=3, BC=8, AC=9, DE=\dfrac{16}{3}, FE=2, DF=6$
C.$AB=1, BC=\sqrt{2}, AC=1.5, DE=2, FE=2\sqrt{2}, DF=4$
D.$AB=1, BC=\sqrt{3}, AC=2, DE=3\sqrt{3}, FE=2, DF=6$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可依据“三组对应边成比例的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题思路：首先明确相似符号对应的边的对应关系（△ABC∽△DEF即AB对应DE、BC对应EF、AC对应DF），也可以先将两个三角形的三边分别按从小到大（或从大到小）排序，再计算对应边的比值，若三组比值全部相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
根据三边成比例的两个三角形相似的判定规则，逐一验证选项：
选项A：计算对应边比值
$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{8}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
三组对应边比值相等，故$△ ABC ∽ △ DEF$，符合要求。
选项B：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{\frac{16}{3}}=\frac{9}{16}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{8}{2}=4$，两组比值不相等，不符合要求。
选项C：$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{1.5}{4}=\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2} ≠ \frac{3}{8}$，比值不相等，不符合要求。
选项D：$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，两组比值不相等，不符合要求。
综上只有选项A满足条件。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是掌握三边成比例的相似判定方法，计算比值时要注意边的对应关系，也可先对三角形的边按大小排序后再计算，减少对应失误。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，可依据“三组对应边成比例的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题思路：首先明确相似符号对应的边的对应关系（△ABC∽△DEF即AB对应DE、BC对应EF、AC对应DF），也可以先将两个三角形的三边分别按从小到大（或从大到小）排序，再计算对应边的比值，若三组比值全部相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
根据三边成比例的两个三角形相似的判定规则，逐一验证选项：
选项A：计算对应边比值
$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{8}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
三组对应边比值相等，故$△ ABC ∽ △ DEF$，符合要求。
选项B：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{\frac{16}{3}}=\frac{9}{16}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{8}{2}=4$，两组比值不相等，不符合要求。
选项C：$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{1.5}{4}=\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2} ≠ \frac{3}{8}$，比值不相等，不符合要求。
选项D：$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$，$\frac{BC}{FE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，两组比值不相等，不符合要求。
综上只有选项A满足条件。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是掌握三边成比例的相似判定方法，计算比值时要注意边的对应关系，也可先对三角形的边按大小排序后再计算，减少对应失误。
【难度系数】
0.7
3.如图,在△ABC中,D为边AC上的一点,选择下列条件:①∠2=∠A;②∠1=∠CBA;③$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$;④$\frac{BC}{AC}=\frac{DB}{AB}$中的一个,能得出△ABC和△BCD相似的是
①或②或③
.(填序号)答案
3.①或②或③
解析
【分析】
首先观察△ABC与△BCD，二者存在公共角∠C，要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等，要么找到夹公共角∠C的两组边对应成比例，接下来逐个验证4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
已知△ABC和△BCD中，∠C为公共角，即$∠ C=∠ C$。
1. 若选条件①$∠ 2=∠ A$：
此时有$∠ C=∠ C$，$∠ A=∠ 2$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故①符合要求；
2. 若选条件②$∠ 1=∠ CBA$：
此时有$∠ C=∠ C$，$∠ CBA=∠ 1$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故②符合要求；
3. 若选条件③$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$：
该比例是△ABC中∠C的夹边BC、AC，与△BCD中∠C的夹边CD、BC的对应比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故③符合要求；
4. 若选条件④$\frac{BC}{AC}=\frac{DB}{AB}$：
该比例中的边不是夹公共角∠C的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能得出△ABC和△BCD相似的是①②③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的应用、比例线段判定相似
【点评】
本题核心是利用两个三角形的公共角简化判定过程，需要熟练掌握相似三角形的各类判定定理，尤其要注意使用两边成比例判定相似时，必须确保相等的角是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC与△BCD，二者存在公共角∠C，要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等，要么找到夹公共角∠C的两组边对应成比例，接下来逐个验证4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
已知△ABC和△BCD中，∠C为公共角，即$∠ C=∠ C$。
1. 若选条件①$∠ 2=∠ A$：
此时有$∠ C=∠ C$，$∠ A=∠ 2$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故①符合要求；
2. 若选条件②$∠ 1=∠ CBA$：
此时有$∠ C=∠ C$，$∠ CBA=∠ 1$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故②符合要求；
3. 若选条件③$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$：
该比例是△ABC中∠C的夹边BC、AC，与△BCD中∠C的夹边CD、BC的对应比例，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ BDC$，故③符合要求；
4. 若选条件④$\frac{BC}{AC}=\frac{DB}{AB}$：
该比例中的边不是夹公共角∠C的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能得出△ABC和△BCD相似的是①②③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的应用、比例线段判定相似
【点评】
本题核心是利用两个三角形的公共角简化判定过程，需要熟练掌握相似三角形的各类判定定理，尤其要注意使用两边成比例判定相似时，必须确保相等的角是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
4.如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中相似的三角形是（
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①和④
D
）A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①和④
答案
4.D
解析
【分析】
要判断网格中两个钝角三角形是否相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先根据8个完全相同的小长方形拼成正方形的特征，设小长方形宽为1、长为2，该设定下正方形边长为4，符合拼接逻辑。再用勾股定理分别计算四个三角形的三边长，将三边化简为最简比，比值相同的三角形即为相似三角形。
【解析】
设小长方形的宽为1，长为2，拼成的正方形边长为4，利用勾股定理分别计算四个钝角三角形的三边长：
1. 三角形①：
三边长分别为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边最简比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 三角形②：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
三边比与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
3. 三角形③：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边比与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
4. 三角形④：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$，
三边最简比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与三角形①三边比相等，因此①和④相似。
【答案】D
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题是网格类相似三角形判定的典型题型，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再化简三边比值进行比较，能有效考查学生对相似三角形判定定理的应用能力和网格图形的计算能力。
【难度系数】0.7
要判断网格中两个钝角三角形是否相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先根据8个完全相同的小长方形拼成正方形的特征，设小长方形宽为1、长为2，该设定下正方形边长为4，符合拼接逻辑。再用勾股定理分别计算四个三角形的三边长，将三边化简为最简比，比值相同的三角形即为相似三角形。
【解析】
设小长方形的宽为1，长为2，拼成的正方形边长为4，利用勾股定理分别计算四个钝角三角形的三边长：
1. 三角形①：
三边长分别为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边最简比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 三角形②：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
三边比与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
3. 三角形③：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
三边比与$1:2:\sqrt{5}$不相等，不与①相似。
4. 三角形④：
三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$，
三边最简比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与三角形①三边比相等，因此①和④相似。
【答案】D
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题是网格类相似三角形判定的典型题型，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再化简三边比值进行比较，能有效考查学生对相似三角形判定定理的应用能力和网格图形的计算能力。
【难度系数】0.7
5 如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且$CF=3FD$,则图中相似三角形的对数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.C
解析
【分析】
要确定图中相似三角形的对数，我们可以先设正方形的边长为参数，将各相关线段的长度表示出来，观察到图中△ABE、△EDF、△EBF均含有直角，接下来结合相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐对验证三角形是否相似即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=AD=CD=4a，∠A=∠D=90°。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=2a；
∵CF=3FD，CD=4a，
∴FD=a。
1. 证明△ABE∽△DEF：
在△ABE和△DEF中，$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，又∠A=∠D=90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△DEF。
2. 证明△ABE∽△EBF：
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，则$\frac{BE}{EF}=\frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{5}a}=2$。
由△ABE∽△DEF得∠ABE=∠DEF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，即∠BEF=90°，
∴∠A=∠BEF=90°。
又$\frac{AB}{AE}=\frac{4a}{2a}=2=\frac{BE}{EF}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△EBF。
3. 证明△DEF∽△EBF：
∵△ABE∽△DEF，△ABE∽△EBF，根据相似三角形的传递性，可得△DEF∽△EBF。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题采用设参数的方法简化了线段长度的计算，解题时要注意利用直角相等的条件，结合相似三角形的判定定理逐一验证，避免漏判相似的三角形对。
【难度系数】
0.65
要确定图中相似三角形的对数，我们可以先设正方形的边长为参数，将各相关线段的长度表示出来，观察到图中△ABE、△EDF、△EBF均含有直角，接下来结合相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐对验证三角形是否相似即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=AD=CD=4a，∠A=∠D=90°。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=2a；
∵CF=3FD，CD=4a，
∴FD=a。
1. 证明△ABE∽△DEF：
在△ABE和△DEF中，$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，又∠A=∠D=90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△DEF。
2. 证明△ABE∽△EBF：
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，则$\frac{BE}{EF}=\frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{5}a}=2$。
由△ABE∽△DEF得∠ABE=∠DEF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，即∠BEF=90°，
∴∠A=∠BEF=90°。
又$\frac{AB}{AE}=\frac{4a}{2a}=2=\frac{BE}{EF}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△EBF。
3. 证明△DEF∽△EBF：
∵△ABE∽△DEF，△ABE∽△EBF，根据相似三角形的传递性，可得△DEF∽△EBF。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题采用设参数的方法简化了线段长度的计算，解题时要注意利用直角相等的条件，结合相似三角形的判定定理逐一验证，避免漏判相似的三角形对。
【难度系数】
0.65
