13 如图,已知$△ ABC$、$△ DCE$、$△ FEG$是三个全等的等腰三角形,底边$BC$、$CE$、$EG$在同一条直线上,且$AB=3$,$BC=\sqrt{3}$,$BF$分别交$AC$、$DC$、$DE$于点$M$、$N$、$H$.解答下列问题:
(1)$\frac{FG}{BG}$的值为;
(2)求证:$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{FG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
(3)求$BM:MN:NF$的值.

13. (1)解:$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形,$AB=3,BC=\sqrt{3}$,
$\therefore AB=AC=DC=DE=FE=FG=3,BC=CE=EG=\sqrt{3},\therefore BG=3BC=3\sqrt{3},$
$\therefore \dfrac{FG}{BG}=\dfrac{3}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$ 故答案为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
(2)证明:$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形,
$\therefore EG=CE=BC=\sqrt{3},GF=EF=DE=DC=AC=AB=3,\therefore \dfrac{FG}{BG}=\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
(3)解:$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形,
$\therefore ∠ ABC=∠ DCE=∠ FEG,∠ ACB=∠ DEC=∠ FGE,\therefore AB// CD// EF,AC// DE// FG,$
$\therefore \dfrac{BN}{NF}=\dfrac{BC}{CE},BM:MH:HF=BC:CE:EG.$
$\because BC=CE=EG=\sqrt{3},\therefore \dfrac{BN}{NF}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1,$
$\therefore BM:MH:HF=\sqrt{3}:\sqrt{3}:\sqrt{3}=1:1:1,$
$\therefore BN=NF,BM=MH=HF,$
$\therefore BN-BM=NF-HF,即 MN=NH=\dfrac{1}{2}MH,$
$\therefore BM=2MN,NF=3MN,$
$\therefore BM:MN:NF=2:1:3.$

【分析】
(1) 求$\frac{FG}{BG}$的比值时，先利用全等三角形的性质得到FG的长度以及各底边的长度，再计算BG的总长度，代入即可求出比值。
(2) 要证明$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{FG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，只需分别计算出$\frac{EG}{FG}$的数值，和(1)的结果对比即可完成证明。
(3) 求线段比$BM:MN:NF$时，首先根据全等三角形对应角相等推出多组平行线，再利用平行线分线段成比例定理得到相关线段的比例关系，最后通过线段和差推导三者的比值即可。
【解析】
(1) 解：$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$是三个全等的等腰三角形，$AB=3,BC=\sqrt{3}$，
$\therefore FG=AB=3,BC=CE=EG=\sqrt{3}$，
$\therefore BG=BC+CE+EG=3\sqrt{3}$，
$\therefore \dfrac{FG}{BG}=\dfrac{3}{3\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) 证明：$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$是三个全等的等腰三角形，
$\therefore EG=BC=\sqrt{3},FG=3$，
$\therefore \dfrac{EG}{FG}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
结合(1)的结论可得$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{FG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(3) 解：$\because △ ABC、△ DCE、△ FEG$是三个全等的等腰三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ DCE=∠ FEG,∠ ACB=∠ DEC=∠ FGE$，
$\therefore AB// CD// EF,AC// DE// FG$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{BM}{MH}=\frac{BC}{CE},\frac{MH}{HF}=\frac{CE}{EG},\frac{BN}{NF}=\frac{BC}{CE}$，
$\because BC=CE=EG=\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{BM}{MH}=\frac{MH}{HF}=\frac{BN}{NF}=1$，即$BM=MH=HF,BN=NF$，
$\therefore BN-BM=NF-HF$，即$MN=NH=\frac{1}{2}MH$，
$\therefore BM=2MN,NF=NH+HF=MN+2MN=3MN$，
$\therefore BM:MN:NF=2:1:3$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；
(2) 证明成立，$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{FG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
(3) $2:1:3$
【知识点】
全等三角形性质、平行线分线段成比例、比例线段运算
【点评】
本题综合考查了全等三角形性质和平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是通过全等三角形的角相等推出平行线，再结合比例关系推导线段比，侧重考查基础定理的灵活运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

14 如图1，在$△ ABC$中，$BC=2$.$D$为$AB$上一点，且$AD=\frac{1}{3}AB$，作$DE// BC$交$AC$于点$E$，$E_1$为$EC$上的点，$EE_1=\frac{1}{3}EC$，连接$DE_1$并延长，交$BC$的延长线于点$C_1$.
(1)求$BC_1$的长；
(2)如图2，$E_2$为$E_1C$上的点，$E_1E_2=\frac{1}{3}E_1C$，作$D_1E_1// BC$交$AB$于点$D_1$，连接$D_1E_2$并延长交$BC$的延长线于点$C_2$，则$BC_2$的长为________；
(3)按上述操作，则$BC_3$的长为________；
(4)按上述操作，猜想$BC_n$的长为________.

14. 解:(1)$\because DE// BC,且 AD=\dfrac{1}{3}AB,$
$\therefore DE=\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{2}{3}.$
又$EE_1=\dfrac{1}{3}EC,\therefore CC_1=2DE=\dfrac{4}{3},$
$\therefore BC_1=2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}.$
(2)$\because E_1E_2=\dfrac{1}{3}E_1C,EE_1=\dfrac{1}{3}EC,AD=\dfrac{1}{3}AB,$
$DE// BC,\therefore D_1E_1=\dfrac{5}{9}BC.$
又 $D_1E_1// BC,\therefore CC_2=2D_1E_1=\dfrac{10}{9}BC=\dfrac{20}{9},$
$\therefore BC_2=2+\dfrac{20}{9}=\dfrac{38}{9}.$ 故答案为$\dfrac{38}{9}.$
(3)$\dfrac{130}{27}$
(4)$6-(\dfrac{2}{3})^n×4$

【分析】
(1) 首先利用DE//BC和AD与AB的比例关系，通过平行线分线段成比例求出DE的长度；再由EE₁和EC的比例关系得到EE₁与E₁C的比，结合DE//BC证明△DEE₁和△C₁CE₁相似，得到CC₁的长度，最后求和得到BC₁。
(2) 先根据平行线分线段成比例求出D₁E₁的长度，再用和(1)相同的相似逻辑求出CC₂，进而得到BC₂。
(3) 按照前两问的推导步骤，逐步计算可得BC₃的长度。
(4) 观察前三个BCₙ的结果，归纳规律即可得到通用表达式。
【解析】
(1) $\because DE// BC$，$AD=\dfrac{1}{3}AB$，
$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，
$\because BC=2$，$\therefore DE=\dfrac{1}{3}×2=\dfrac{2}{3}$。
$\because EE_1=\dfrac{1}{3}EC$，$\therefore EE_1:E_1C=1:2$，
又$\because DE// BC$，即$DE// CC_1$，
$\therefore ∠ DEE_1=∠ C_1CE_1$，$∠ EDE_1=∠ C_1$，
$\therefore △ DEE_1 ∽ △ C_1CE_1$，相似比为$1:2$，
$\therefore CC_1=2DE=2×\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$，
$\therefore BC_1=BC+CC_1=2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{3}$。
(2) $\because D_1E_1// BC$，$EE_1=\dfrac{1}{3}EC$，
$\therefore \dfrac{AE_1}{AC}=\dfrac{AE+EE_1}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{3}AC+\dfrac{1}{3}×\dfrac{2}{3}AC}{AC}=\dfrac{5}{9}$，
$\therefore \dfrac{D_1E_1}{BC}=\dfrac{AE_1}{AC}=\dfrac{5}{9}$，$\therefore D_1E_1=\dfrac{5}{9}×2=\dfrac{10}{9}$，
同理$E_1E_2:E_2C=1:2$，$△ D_1E_1E_2 ∽ △ C_2CE_2$，相似比$1:2$，
$\therefore CC_2=2D_1E_1=2×\dfrac{10}{9}=\dfrac{20}{9}$，
$\therefore BC_2=2+\dfrac{20}{9}=\dfrac{38}{9}$。
(3) 同理可得$\dfrac{AE_2}{AC}=\dfrac{19}{27}$，$D_2E_2=\dfrac{19}{27}×2=\dfrac{38}{27}$，
$CC_3=2×\dfrac{38}{27}=\dfrac{76}{27}$，
$\therefore BC_3=2+\dfrac{76}{27}=\dfrac{130}{27}$。
(4) 观察结果规律：
$BC_1=\dfrac{10}{3}=6-4×(\dfrac{2}{3})^1$，
$BC_2=\dfrac{38}{9}=6-4×(\dfrac{2}{3})^2$，
$BC_3=\dfrac{130}{27}=6-4×(\dfrac{2}{3})^3$，
因此猜想$BC_n=6-4×(\dfrac{2}{3})^n$。
【答案】
(1) $\dfrac{10}{3}$；(2) $\dfrac{38}{9}$；(3) $\dfrac{130}{27}$；(4) $6-4×(\dfrac{2}{3})^n$
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，规律探究
【点评】
本题结合平行线分线段成比例和相似三角形的性质逐层推导线段长度，需要准确把握相似比关系，再通过前几项结果归纳通用规律，同时考查了几何应用能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.55