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7. 如图,在菱形ABCD中,点E在BC上,点F在CD上,点G、H在AD上,且AE//HC//GF.若AH=8,HG=5,GD=4,则下列选项中,长度最长的线段是 (
A.CF
B.FD
C.BE
D.EC
A
)A.CF
B.FD
C.BE
D.EC
答案
7.A 解析:$\because AH=8,HG=5,GD=4$,
$\therefore AD=8+5+4=17.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形,$\therefore BC=CD=AD=17.$
$\because AE// HC,AD// BC,$
$\therefore$ 四边形 $AECH$ 为平行四边形,
$\therefore CE=AH=8,\therefore BE=BC-CE=17-8=9.$
$\because HC// GF,\therefore \dfrac{DF}{CF}=\dfrac{DG}{GH},即\dfrac{DF}{17-DF}=\dfrac{4}{5},$
解得 $DF=\dfrac{68}{9},\therefore CF=17-\dfrac{68}{9}=\dfrac{85}{9}.$
$\because \dfrac{85}{9}＞9＞8＞\dfrac{68}{9},\therefore$ 线段 $CF$ 的长度最长.
$\therefore AD=8+5+4=17.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形,$\therefore BC=CD=AD=17.$
$\because AE// HC,AD// BC,$
$\therefore$ 四边形 $AECH$ 为平行四边形,
$\therefore CE=AH=8,\therefore BE=BC-CE=17-8=9.$
$\because HC// GF,\therefore \dfrac{DF}{CF}=\dfrac{DG}{GH},即\dfrac{DF}{17-DF}=\dfrac{4}{5},$
解得 $DF=\dfrac{68}{9},\therefore CF=17-\dfrac{68}{9}=\dfrac{85}{9}.$
$\because \dfrac{85}{9}＞9＞8＞\dfrac{68}{9},\therefore$ 线段 $CF$ 的长度最长.
解析
【分析】
解题时先从已知的AD上的三段线段长度入手，先计算菱形的边长；再利用菱形对边平行的性质，结合AE//HC，判定四边形AECH是平行四边形，得到EC的长度，进而求出BE的长度；接下来利用HC//GF，结合平行线分线段成比例定理得到DF与CF的比例关系，列方程求出DF和CF的长度；最后比较四个选项对应线段的长度，即可得出最长的线段。
【解析】
解：$\because AH=8,HG=5,GD=4$，
$\therefore AD=AH+HG+GD=8+5+4=17$，
$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore BC=CD=AD=17,AD// BC$，
又$\because AE// HC$，
$\therefore$ 四边形AECH是平行四边形，
$\therefore CE=AH=8$，
$\therefore BE=BC-CE=17-8=9$，
$\because HC// GF$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\dfrac{DF}{CF}=\dfrac{DG}{GH}$，
设DF为$x$，则CF为$17-x$，代入得$\dfrac{x}{17-x}=\dfrac{4}{5}$，
解得$x=\dfrac{68}{9}$，即$DF=\dfrac{68}{9}$，
$\therefore CF=17-\dfrac{68}{9}=\dfrac{85}{9}$，
比较大小：$\dfrac{85}{9}＞9＞8＞\dfrac{68}{9}$，
$\therefore$ 长度最长的线段是CF。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题为几何基础综合题，解题关键是灵活运用菱形、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，求出各待求线段的长度后比较大小即可，解题时注意比例关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的AD上的三段线段长度入手，先计算菱形的边长；再利用菱形对边平行的性质，结合AE//HC，判定四边形AECH是平行四边形，得到EC的长度，进而求出BE的长度；接下来利用HC//GF，结合平行线分线段成比例定理得到DF与CF的比例关系，列方程求出DF和CF的长度；最后比较四个选项对应线段的长度，即可得出最长的线段。
【解析】
解：$\because AH=8,HG=5,GD=4$，
$\therefore AD=AH+HG+GD=8+5+4=17$，
$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore BC=CD=AD=17,AD// BC$，
又$\because AE// HC$，
$\therefore$ 四边形AECH是平行四边形，
$\therefore CE=AH=8$，
$\therefore BE=BC-CE=17-8=9$，
$\because HC// GF$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\dfrac{DF}{CF}=\dfrac{DG}{GH}$，
设DF为$x$，则CF为$17-x$，代入得$\dfrac{x}{17-x}=\dfrac{4}{5}$，
解得$x=\dfrac{68}{9}$，即$DF=\dfrac{68}{9}$，
$\therefore CF=17-\dfrac{68}{9}=\dfrac{85}{9}$，
比较大小：$\dfrac{85}{9}＞9＞8＞\dfrac{68}{9}$，
$\therefore$ 长度最长的线段是CF。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题为几何基础综合题，解题关键是灵活运用菱形、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，求出各待求线段的长度后比较大小即可，解题时注意比例关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
8如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.若EF//BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为 （
A.$\frac{45}{7}$
B.$\frac{33}{5}$
C.$\frac{39}{5}$
D.$\frac{15}{2}$
C
）A.$\frac{45}{7}$
B.$\frac{33}{5}$
C.$\frac{39}{5}$
D.$\frac{15}{2}$
答案
8.C 解析:由已知 $AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF,\therefore AD+AE+FD=EB+BC+CF=\dfrac{1}{2}(AD+AB+BC+CD)=11.$
$\because EF// BC,\therefore EF// AD,\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{DF}{FC}.设\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{DF}{FC}=k,$
则 $AE=\dfrac{k}{k+1}AB=\dfrac{6k}{k+1},DF=\dfrac{k}{k+1}CD=\dfrac{4k}{k+1},$
$\therefore AD+AE+FD=3+\dfrac{6k}{k+1}+\dfrac{4k}{k+1}=\dfrac{13k+3}{k+1},$
$\therefore \dfrac{13k+3}{k+1}=11,解得\ k=4.$
过点 $A$ 作 $AH// CD$,交 $BC$ 于点 $H$,交 $EF$ 于点 $G$,如图
,则 $GF=HC=AD=3$,
则 $BH=BC-CH=9-3=6.$
$\therefore \dfrac{EG}{BH}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{5},\therefore EG=\dfrac{4}{5}BH=\dfrac{24}{5},$
$\therefore EF=EG+GF=\dfrac{24}{5}+3=\dfrac{39}{5}.$
解析
【分析】
解题时可分三步推导：① 先根据两个梯形周长相等的条件，消去公共边EF，可得AD+AE+FD与EB+BC+CF相等，且二者均为梯形ABCD总周长的一半，算出这个值为11；② 由EF平行于上下底，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，设该比值为k，将AE、DF用含k的式子表示，代入上一步的等式即可解出k的值，得到AE与AB的比值；③ 作辅助线AH平行CD，构造平行四边形和三角形，利用平行线分线段成比例求出EF对应线段的长度，相加即可得到EF的长。
【解析】
∵ 梯形AEFD和梯形EBCF周长相等，
∴ $AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF$，
消去公共边$EF$得：$AD+AE+FD=EB+BC+CF=\frac{1}{2}(AD+AB+BC+CD)$，
代入边长计算得：$\frac{1}{2}×(3+6+9+4)=11$。
∵ $EF// BC$，$AD// BC$，
∴ $EF// AD$，根据平行线分线段成比例定理得$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$。
设$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}=k$，则$AE=\frac{k}{k+1}AB=\frac{6k}{k+1}$，$DF=\frac{k}{k+1}CD=\frac{4k}{k+1}$，
代入$AD+AE+FD=11$得：
$3+\frac{6k}{k+1}+\frac{4k}{k+1}=11$，
化简为$\frac{13k+3}{k+1}=11$，解得$k=4$，因此$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$。
过点$A$作$AH// CD$，交$BC$于点$H$，交$EF$于点$G$，
∵ $AD// BC$，$AH// CD$，
∴ 四边形$AHCD$是平行四边形，
∴ $GF=HC=AD=3$，$BH=BC-CH=9-3=6$。
∵ $EF// BC$，
∴ $\frac{EG}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴ $EG=\frac{4}{5}×6=\frac{24}{5}$，
∴ $EF=EG+GF=\frac{24}{5}+3=\frac{39}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理，梯形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将周长计算、平行线分线段成比例、梯形与平行四边形的性质结合考查，解题的核心是先通过周长关系求出线段的比例，再利用转化思想，通过作辅助线将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题求解，能有效锻炼学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步推导：① 先根据两个梯形周长相等的条件，消去公共边EF，可得AD+AE+FD与EB+BC+CF相等，且二者均为梯形ABCD总周长的一半，算出这个值为11；② 由EF平行于上下底，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，设该比值为k，将AE、DF用含k的式子表示，代入上一步的等式即可解出k的值，得到AE与AB的比值；③ 作辅助线AH平行CD，构造平行四边形和三角形，利用平行线分线段成比例求出EF对应线段的长度，相加即可得到EF的长。
【解析】
∵ 梯形AEFD和梯形EBCF周长相等，
∴ $AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF$，
消去公共边$EF$得：$AD+AE+FD=EB+BC+CF=\frac{1}{2}(AD+AB+BC+CD)$，
代入边长计算得：$\frac{1}{2}×(3+6+9+4)=11$。
∵ $EF// BC$，$AD// BC$，
∴ $EF// AD$，根据平行线分线段成比例定理得$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$。
设$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}=k$，则$AE=\frac{k}{k+1}AB=\frac{6k}{k+1}$，$DF=\frac{k}{k+1}CD=\frac{4k}{k+1}$，
代入$AD+AE+FD=11$得：
$3+\frac{6k}{k+1}+\frac{4k}{k+1}=11$，
化简为$\frac{13k+3}{k+1}=11$，解得$k=4$，因此$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$。
过点$A$作$AH// CD$，交$BC$于点$H$，交$EF$于点$G$，
∵ $AD// BC$，$AH// CD$，
∴ 四边形$AHCD$是平行四边形，
∴ $GF=HC=AD=3$，$BH=BC-CH=9-3=6$。
∵ $EF// BC$，
∴ $\frac{EG}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴ $EG=\frac{4}{5}×6=\frac{24}{5}$，
∴ $EF=EG+GF=\frac{24}{5}+3=\frac{39}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理，梯形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将周长计算、平行线分线段成比例、梯形与平行四边形的性质结合考查，解题的核心是先通过周长关系求出线段的比例，再利用转化思想，通过作辅助线将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题求解，能有效锻炼学生的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
9.如图,在梯形ABCD中,EF过对角线的交点O,且AD//EF//BC.若AD=m,BC=n,则EF的长为
$\frac{2mn}{m+n}$
.答案
9.$\dfrac{2mn}{m+n}$
解析
【分析】
解题时首先利用梯形上下底平行的性质，得到对角线交点分出的△AOD与△COB相似，求出对角线被交点分成的两段的长度比；再将EF拆分为EO、OF两段，分别结合平行线判定对应的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例分别求出EO和OF的长度，相加即可得到EF的总长度。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$△ AOD ∽ △ COB$，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}$，
由此可得$\frac{AO}{AC}=\frac{m}{m+n}$，$\frac{DO}{BD}=\frac{m}{m+n}$。
∵$EF// BC$，
∴在$△ ABC$中，$△ AEO ∽ △ ABC$，
∴$\frac{EO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{m}{m+n}$，
代入$BC=n$得：$EO = n · \frac{m}{m+n} = \frac{mn}{m+n}$。
同理，在$△ DBC$中，$△ DOF ∽ △ DBC$，
∴$\frac{OF}{BC}=\frac{DO}{BD}=\frac{m}{m+n}$，
代入$BC=n$得：$OF = n · \frac{m}{m+n} = \frac{mn}{m+n}$。
∴$EF = EO + OF = \frac{mn}{m+n} + \frac{mn}{m+n} = \frac{2mn}{m+n}$。
【答案】
$\dfrac{2mn}{m+n}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，梯形的性质
【点评】
本题是相似三角形在梯形中的典型应用，解题核心是将EF拆分为两段分别求解，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例的性质，同时要准确推导梯形对角线被交点分割的线段比例关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用梯形上下底平行的性质，得到对角线交点分出的△AOD与△COB相似，求出对角线被交点分成的两段的长度比；再将EF拆分为EO、OF两段，分别结合平行线判定对应的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例分别求出EO和OF的长度，相加即可得到EF的总长度。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$△ AOD ∽ △ COB$，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}$，
由此可得$\frac{AO}{AC}=\frac{m}{m+n}$，$\frac{DO}{BD}=\frac{m}{m+n}$。
∵$EF// BC$，
∴在$△ ABC$中，$△ AEO ∽ △ ABC$，
∴$\frac{EO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{m}{m+n}$，
代入$BC=n$得：$EO = n · \frac{m}{m+n} = \frac{mn}{m+n}$。
同理，在$△ DBC$中，$△ DOF ∽ △ DBC$，
∴$\frac{OF}{BC}=\frac{DO}{BD}=\frac{m}{m+n}$，
代入$BC=n$得：$OF = n · \frac{m}{m+n} = \frac{mn}{m+n}$。
∴$EF = EO + OF = \frac{mn}{m+n} + \frac{mn}{m+n} = \frac{2mn}{m+n}$。
【答案】
$\dfrac{2mn}{m+n}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，梯形的性质
【点评】
本题是相似三角形在梯形中的典型应用，解题核心是将EF拆分为两段分别求解，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例的性质，同时要准确推导梯形对角线被交点分割的线段比例关系。
【难度系数】
0.6
10如图，$l_1 // l_2$，若$AF:FB=2:5$，$BC:CD=4:1$，则$AE:EC=$
2:1
。答案
10.2:1 解析:过点 $F$ 作 $FH// l_2$ 交 $AC$ 于点 $H$,如图
,设 $CD=x$,则 $BC=4x.$$\because l_1// l_2,\therefore FH// l_1,\therefore FH// BC,$
$\therefore \dfrac{FH}{BC}=\dfrac{AF}{AB}.$
$\because \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{2}{5},\therefore \dfrac{FH}{BC}=\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{2}{7},\therefore FH=\dfrac{8}{7}x.$
$\because FH// CD,\therefore \dfrac{FE}{ED}=\dfrac{FH}{CD}=\dfrac{\dfrac{8}{7}x}{x}=\dfrac{8}{7}.$
设 $EF=8a$,则 $ED=7a.$ $\because AG// BD$,
$\therefore \dfrac{FG}{FD}=\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{2}{5},\therefore FG=\dfrac{2}{5}FD=\dfrac{2}{5}×15a=6a.$
$\because AG// CD,\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{GE}{ED}=\dfrac{6a+8a}{7a}=2.$
故答案为 $2:1.$
解析
【分析】
本题给出了平行直线与多组线段比例关系，要求线段比值，解题核心是利用平行线分线段成比例定理进行比例转化。思考路径如下：首先观察到已知的$AF:FB$、$BC:CD$两组比例和待求的$AE:EC$没有直接关联，因此需要作辅助线构造平行关系传递比例：过$F$作平行于$l_2$的辅助线，先通过$AF:FB$求出辅助线与$BC$的比例关系，再结合$BC:CD$的比例得到辅助线与$CD$的比例，进而得到$FE$与$ED$的比值；再利用$l_1// l_2$的条件求出$FG$与$FD$的比值，最终将待求的$AE:EC$转化为$GE:ED$即可求解。
【解析】
过点 $F$ 作 $FH// l_2$ 交 $AC$ 于点 $H$，如图。
设 $CD=x$，由 $BC:CD=4:1$，可得 $BC=4x$。
$\because l_1// l_2$，$\therefore FH// l_1// l_2$，即 $FH// BC$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\dfrac{FH}{BC}=\dfrac{AF}{AB}$。
$\because AF:FB=2:5$，$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AF}{AF+FB}=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}$，
代入得 $\dfrac{FH}{4x}=\dfrac{2}{7}$，解得 $FH=\dfrac{8}{7}x$。
$\because FH// CD$，$\therefore \dfrac{FE}{ED}=\dfrac{FH}{CD}=\dfrac{\dfrac{8}{7}x}{x}=\dfrac{8}{7}$。
设 $EF=8a$，则 $ED=7a$，$\therefore FD=EF+ED=15a$。
$\because l_1// l_2$，即 $AG// BD$，$\therefore \dfrac{FG}{FD}=\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{2}{5}$，
$\therefore FG=\dfrac{2}{5}FD=\dfrac{2}{5}×15a=6a$。
$\because AG// CD$，$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{GE}{ED}=\dfrac{FG+EF}{ED}=\dfrac{6a+8a}{7a}=\dfrac{14a}{7a}=2$，
即 $AE:EC=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算，辅助线构造
【点评】
本题是线段比例计算的常考题型，解题关键是合理构造平行辅助线，将分散的已知比例关系串联转化，考查了对平行线分线段成比例定理的灵活运用能力，要求掌握比例的基本运算技巧。
【难度系数】
0.6
本题给出了平行直线与多组线段比例关系，要求线段比值，解题核心是利用平行线分线段成比例定理进行比例转化。思考路径如下：首先观察到已知的$AF:FB$、$BC:CD$两组比例和待求的$AE:EC$没有直接关联，因此需要作辅助线构造平行关系传递比例：过$F$作平行于$l_2$的辅助线，先通过$AF:FB$求出辅助线与$BC$的比例关系，再结合$BC:CD$的比例得到辅助线与$CD$的比例，进而得到$FE$与$ED$的比值；再利用$l_1// l_2$的条件求出$FG$与$FD$的比值，最终将待求的$AE:EC$转化为$GE:ED$即可求解。
【解析】
过点 $F$ 作 $FH// l_2$ 交 $AC$ 于点 $H$，如图
。设 $CD=x$，由 $BC:CD=4:1$，可得 $BC=4x$。
$\because l_1// l_2$，$\therefore FH// l_1// l_2$，即 $FH// BC$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\dfrac{FH}{BC}=\dfrac{AF}{AB}$。
$\because AF:FB=2:5$，$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AF}{AF+FB}=\dfrac{2}{2+5}=\dfrac{2}{7}$，
代入得 $\dfrac{FH}{4x}=\dfrac{2}{7}$，解得 $FH=\dfrac{8}{7}x$。
$\because FH// CD$，$\therefore \dfrac{FE}{ED}=\dfrac{FH}{CD}=\dfrac{\dfrac{8}{7}x}{x}=\dfrac{8}{7}$。
设 $EF=8a$，则 $ED=7a$，$\therefore FD=EF+ED=15a$。
$\because l_1// l_2$，即 $AG// BD$，$\therefore \dfrac{FG}{FD}=\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{2}{5}$，
$\therefore FG=\dfrac{2}{5}FD=\dfrac{2}{5}×15a=6a$。
$\because AG// CD$，$\therefore \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{GE}{ED}=\dfrac{FG+EF}{ED}=\dfrac{6a+8a}{7a}=\dfrac{14a}{7a}=2$，
即 $AE:EC=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算，辅助线构造
【点评】
本题是线段比例计算的常考题型，解题关键是合理构造平行辅助线，将分散的已知比例关系串联转化，考查了对平行线分线段成比例定理的灵活运用能力，要求掌握比例的基本运算技巧。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，$BE// DC$交$AC$的延长线于点$E$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段$BE$上求作点$M$，使得$\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{MB}$；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若$AE=6$，$BC=4$，求四边形$CDBM$的周长.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在线段$BE$上求作点$M$，使得$\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{MB}$；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若$AE=6$，$BC=4$，求四边形$CDBM$的周长.
答案
11. 解:(1)在线段 $BE$ 上求作点 $M$,使得 $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{EM}{MB}$,如图
,点 $M$ 即为所求. 由作图可知$∠ ECM=∠ A$,$\therefore CM// AB,\therefore \dfrac{CE}{CA}=\dfrac{EM}{MB}.$
(2)由题意得四边形 $CDBM$ 是平行四边形.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线,
$\therefore CD=BD=AD=\dfrac{1}{2}AB,$
$\therefore$ 平行四边形 $CDBM$ 是菱形.
$\because CD// EB,\therefore \dfrac{CE}{AC}=\dfrac{BD}{AD}=1,\therefore AC=CE.$
$\because AE=6,\therefore AC=3.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,根据勾股定理,得
$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=5,\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2},$
$\therefore$ 四边形 $CDBM$ 的周长为 $4×\dfrac{5}{2}=10.$
解析
【分析】
(1) 要得到$\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{MB}$，根据平行线分线段成比例定理的推论，只需过点C作AB的平行线，该线与BE的交点即为所求点M，因此作图核心是构造$CM// AB$。
(2) 求解四边形周长首先判断其形状：由$BE// DC$、$CM// AB$可证四边形CDBM是平行四边形；再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=BD$，即可判定该平行四边形为菱形，求出边长CD即可得到周长。再由$CD// BE$、D是AB中点，可推得C是AE中点，算出AC长度后用勾股定理求AB，即可得到CD的长度，进而算出周长。
【解析】
(1) 作$∠ ECM=∠ A$（即过点C作$CM// AB$），CM与BE的交点即为所求点M，作图痕迹如图所示。
(2) 解题步骤如下：
① 判定四边形形状：
$\because BE// DC$，$CM// AB$，
$\therefore$ 四边形CDBM是平行四边形。
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，CD是斜边AB上的中线，
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore$ 邻边相等的平行四边形CDBM是菱形。
② 求AC的长度：
$\because CD// EB$，D为AB中点，
$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{BD}{AD}=1$，即$AC=CE$，
$\because AE=6$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AE=3$。
③ 用勾股定理求AB：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
④ 计算周长：
菱形CDBM的周长为$4× CD=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
(1) 点M的位置如图所示；
(2) $\boxed{10}$
【知识点】
平行线分线段成比例、直角三角形斜边中线性质、勾股定理
【点评】
本题融合了尺规作图、平行线性质、特殊四边形的判定与性质等多个考点，既考查基础作图能力，也考查对几何性质的综合运用能力，解题的关键是先判断出四边形CDBM为菱形，再结合已知条件计算边长。
【难度系数】
0.6
(1) 要得到$\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{MB}$，根据平行线分线段成比例定理的推论，只需过点C作AB的平行线，该线与BE的交点即为所求点M，因此作图核心是构造$CM// AB$。
(2) 求解四边形周长首先判断其形状：由$BE// DC$、$CM// AB$可证四边形CDBM是平行四边形；再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=BD$，即可判定该平行四边形为菱形，求出边长CD即可得到周长。再由$CD// BE$、D是AB中点，可推得C是AE中点，算出AC长度后用勾股定理求AB，即可得到CD的长度，进而算出周长。
【解析】
(1) 作$∠ ECM=∠ A$（即过点C作$CM// AB$），CM与BE的交点即为所求点M，作图痕迹如图所示。
(2) 解题步骤如下：
① 判定四边形形状：
$\because BE// DC$，$CM// AB$，
$\therefore$ 四边形CDBM是平行四边形。
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，CD是斜边AB上的中线，
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore$ 邻边相等的平行四边形CDBM是菱形。
② 求AC的长度：
$\because CD// EB$，D为AB中点，
$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{BD}{AD}=1$，即$AC=CE$，
$\because AE=6$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AE=3$。
③ 用勾股定理求AB：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
④ 计算周长：
菱形CDBM的周长为$4× CD=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
(1) 点M的位置如图
所示；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
平行线分线段成比例、直角三角形斜边中线性质、勾股定理
【点评】
本题融合了尺规作图、平行线性质、特殊四边形的判定与性质等多个考点，既考查基础作图能力，也考查对几何性质的综合运用能力，解题的关键是先判断出四边形CDBM为菱形，再结合已知条件计算边长。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，点$P$在$AD$上，过点$P$作$PM // AC$交$AB$于点$M$，作$PN // AB$交$AC$于点$N$。
(1)若$D$是$BC$的中点，且$AP:PD=2:1$，求$AM:AB$的值；
(2)若$D$是$BC$上任意一点，试证明：$\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AD}$。
(1)若$D$是$BC$的中点，且$AP:PD=2:1$，求$AM:AB$的值；
(2)若$D$是$BC$上任意一点，试证明：$\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AD}$。
答案
12. (1)解:如图
,过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E.$$\because PM// AC,\therefore DE// AC,\therefore \dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CD}{BD}.$
$\because D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore E$ 是 $AB$ 的中点,且$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{2}{3},$
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{2AE}=\dfrac{1}{3}.$
(2)证明:如图
,过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E,\therefore \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}.$又$\because PM// AC,\therefore DE// AC,\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{BC},$
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{AE}×\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{CD}{BC},$
同理可得$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{BD}{BC},$
$\therefore \dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×(\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC})=\dfrac{AP}{AD}.$
解析
【分析】
(1) 求解$AM:AB$时，可通过构造平行辅助线转化比例关系：过点D作$DE// PM$，结合$PM// AC$可得$DE// AC$，利用平行线分线段成比例定理，先由D是BC中点推出E为AB中点，再结合$AP:PD=2:1$得到$AM$与$AE$的比值，最终推导$AM$与$AB$的比例。
(2) 证明比例恒等式时，仍沿用构造平行辅助线的思路：先将$\frac{AM}{AB}$拆分为$\frac{AM}{AE}·\frac{AE}{AB}$，用平行线分线段成比例将其转化为含$\frac{AP}{AD}$和$\frac{CD}{BC}$的表达式，同理得到$\frac{AN}{AC}$的表达式，两式相加后利用$BD+CD=BC$化简，即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 如图，过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E$。
$\because PM// AC$，$\therefore DE// AC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CD}{BD}$。
$\because D$ 为 $BC$ 的中点，即$CD=BD$，$\therefore AE=BE$，即E是AB的中点，$AB=2AE$。
又$\because PM// DE$，$\therefore \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}$，已知$AP:PD=2:1$，则$AD=AP+PD$，故$\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{2}{3}$，即$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{2}{3}$。
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{2AE}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 证明：如图，过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E$。
$\because PM// DE$，$\therefore \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}$。
又$\because PM// AC$，$\therefore DE// AC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}$。
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{AE}×\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{CD}{BC}$。
同理可得$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{BD}{BC}$。
将两式相加得：$\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×(\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC})$，$\because CD+BD=BC$，$\therefore \dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC}=1$，故$\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}$，原式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$；
(2) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；中点性质
【点评】
本题重点考察平行线分线段成比例定理的应用，通过构造平行辅助线实现比例关系的转化，是几何比例类问题的常见考法，熟练掌握辅助线构造方法和比例变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 求解$AM:AB$时，可通过构造平行辅助线转化比例关系：过点D作$DE// PM$，结合$PM// AC$可得$DE// AC$，利用平行线分线段成比例定理，先由D是BC中点推出E为AB中点，再结合$AP:PD=2:1$得到$AM$与$AE$的比值，最终推导$AM$与$AB$的比例。
(2) 证明比例恒等式时，仍沿用构造平行辅助线的思路：先将$\frac{AM}{AB}$拆分为$\frac{AM}{AE}·\frac{AE}{AB}$，用平行线分线段成比例将其转化为含$\frac{AP}{AD}$和$\frac{CD}{BC}$的表达式，同理得到$\frac{AN}{AC}$的表达式，两式相加后利用$BD+CD=BC$化简，即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 如图
，过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E$。$\because PM// AC$，$\therefore DE// AC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CD}{BD}$。
$\because D$ 为 $BC$ 的中点，即$CD=BD$，$\therefore AE=BE$，即E是AB的中点，$AB=2AE$。
又$\because PM// DE$，$\therefore \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}$，已知$AP:PD=2:1$，则$AD=AP+PD$，故$\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{2}{3}$，即$\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{2}{3}$。
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{2AE}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$。
(2) 证明：如图
，过点 $D$ 作 $DE// PM$ 交 $AB$ 于点 $E$。$\because PM// DE$，$\therefore \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{AP}{AD}$。
又$\because PM// AC$，$\therefore DE// AC$，根据平行线分线段成比例定理可得$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}$。
$\therefore \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{AE}×\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{CD}{BC}$。
同理可得$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×\dfrac{BD}{BC}$。
将两式相加得：$\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}×(\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC})$，$\because CD+BD=BC$，$\therefore \dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC}=1$，故$\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AP}{AD}$，原式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$；
(2) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；中点性质
【点评】
本题重点考察平行线分线段成比例定理的应用，通过构造平行辅助线实现比例关系的转化，是几何比例类问题的常见考法，熟练掌握辅助线构造方法和比例变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
