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1. 下列函数中，是 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数的是（
A.$ y=2x+1 $
B.$ y=2x(x+1) $
C.$ y=\dfrac{2}{x^2} $
D.$ y=ax^2+bx+c $
B
）。A.$ y=2x+1 $
B.$ y=2x(x+1) $
C.$ y=\dfrac{2}{x^2} $
D.$ y=ax^2+bx+c $
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个函数是不是$y$关于$x$的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式必须是整式；②化简后自变量$x$的最高次数为2；③二次项的系数不能为0。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=2x+1$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：先将表达式展开化简得$y=2x(x+1)=2x^2+2x$，是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数$2≠0$，符合二次函数定义，当选；
C选项：$y=\dfrac{2}{x^2}$的分母中含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数要求，排除；
D选项：$y=ax^2+bx+c$没有标注$a≠0$，当$a=0$时函数最高次数小于2，不属于二次函数，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，易错点在于忽略二次函数定义中$a≠0$的限制误选D，或是忽略二次函数必须是整式的要求误选C，解题时要先将表达式化简再结合定义逐一验证。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是不是$y$关于$x$的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数的表达式必须是整式；②化简后自变量$x$的最高次数为2；③二次项的系数不能为0。解题时我们按照这三个标准逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做$y$关于$x$的二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=2x+1$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：先将表达式展开化简得$y=2x(x+1)=2x^2+2x$，是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数$2≠0$，符合二次函数定义，当选；
C选项：$y=\dfrac{2}{x^2}$的分母中含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数要求，排除；
D选项：$y=ax^2+bx+c$没有标注$a≠0$，当$a=0$时函数最高次数小于2，不属于二次函数，排除。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，易错点在于忽略二次函数定义中$a≠0$的限制误选D，或是忽略二次函数必须是整式的要求误选C，解题时要先将表达式化简再结合定义逐一验证。
【难度系数】
0.8
2. 若$y=(a-2)x^2 -3x +2$是二次函数，则常数a的取值范围是(
A.$a≠0$
B.$a＞0$
C.$a＞2$
D.$a≠2$
D
)。A.$a≠0$
B.$a＞0$
C.$a＞2$
D.$a≠2$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的定义要求：二次函数的最高次项为二次项，且二次项的系数不能为0，否则函数就会退化为一次函数。我们只需要找到题干中函数的二次项系数，令其不等于0，解出对应的a的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
题干中的函数为$y=(a-2)x^2 -3x +2$，它的二次项系数为$a-2$，若该函数是二次函数，则需满足二次项系数不为0，即：
$a-2≠0$
解这个不等式可得：$a≠2$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对二次函数定义的理解，易错点是容易混淆限制条件，误将二次项系数的限制当成普通的$a≠0$错选A，只要牢记二次项系数不为0的要求就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二次函数的定义要求：二次函数的最高次项为二次项，且二次项的系数不能为0，否则函数就会退化为一次函数。我们只需要找到题干中函数的二次项系数，令其不等于0，解出对应的a的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
题干中的函数为$y=(a-2)x^2 -3x +2$，它的二次项系数为$a-2$，若该函数是二次函数，则需满足二次项系数不为0，即：
$a-2≠0$
解这个不等式可得：$a≠2$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对二次函数定义的理解，易错点是容易混淆限制条件，误将二次项系数的限制当成普通的$a≠0$错选A，只要牢记二次项系数不为0的要求就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数 $y=2(x-2)^2 -3$ 中，二次项系数为
2
，一次项系数为-8
，常数项为5
。答案
3. 二次项系数为2，一次项系数为-8，常数项为5
解析
【分析】
要确定二次函数的各项系数，需先将函数转化为一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。本题给出的是二次函数顶点式，所以解题步骤为：先利用完全平方公式展开顶点式，再去括号、合并同类项得到一般式，最后对应提取各项系数即可。
【解析】
将二次函数$y=2(x-2)^2 -3$展开为一般式：
1. 计算完全平方项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 代入原式得：$y=2(x^2-4x+4)-3$
3. 去括号：$y=2x^2-8x+8-3$
4. 合并同类项得一般式：$y=2x^2-8x+5$
对照二次函数一般式的结构，可得二次项系数为2，一次项系数为-8，常数项为5。
【答案】
2；-8；5
【知识点】
二次函数顶点式与一般式转化；二次函数各项系数定义；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，易错点是直接从顶点式中读取数字作为各项系数，解题核心是牢记只有一般式才能直接对应各项系数，计算时要注意去括号的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的各项系数，需先将函数转化为一般形式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。本题给出的是二次函数顶点式，所以解题步骤为：先利用完全平方公式展开顶点式，再去括号、合并同类项得到一般式，最后对应提取各项系数即可。
【解析】
将二次函数$y=2(x-2)^2 -3$展开为一般式：
1. 计算完全平方项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 代入原式得：$y=2(x^2-4x+4)-3$
3. 去括号：$y=2x^2-8x+8-3$
4. 合并同类项得一般式：$y=2x^2-8x+5$
对照二次函数一般式的结构，可得二次项系数为2，一次项系数为-8，常数项为5。
【答案】
2；-8；5
【知识点】
二次函数顶点式与一般式转化；二次函数各项系数定义；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，易错点是直接从顶点式中读取数字作为各项系数，解题核心是牢记只有一般式才能直接对应各项系数，计算时要注意去括号的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
4. 已知$y=(m-2)x^{|m|}-x-1$是二次函数，则实数$m=$
-2
。答案
4. $m=-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件必须同时满足。我们先根据最高次数为2的要求列出关于m的方程，求出m的所有可能取值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $y=(m-2)x^{|m|}-x-1$ 是二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即 $|m|=2$，解得 $m=2$ 或 $m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即 $m-2≠0$，解得 $m≠2$。
综合两个条件，可得 $m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1.二次函数的定义 2.绝对值的运算 3.不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，解题时要注意验证定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次函数的两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件必须同时满足。我们先根据最高次数为2的要求列出关于m的方程，求出m的所有可能取值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $y=(m-2)x^{|m|}-x-1$ 是二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即 $|m|=2$，解得 $m=2$ 或 $m=-2$；
2. 二次项系数不为0，即 $m-2≠0$，解得 $m≠2$。
综合两个条件，可得 $m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1.二次函数的定义 2.绝对值的运算 3.不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，解题时要注意验证定义的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
5. 写出下列各问题中两个变量之间的关系式。
(1)正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $ 的关系式为
(2)已知一个菱形的两条对角线长的和为20 cm，设其中一条对角线的长为 $ x $ cm，菱形的面积为 $ S $ $ \mathrm{cm}^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 的关系式为
(3)等腰三角形的顶角 $ A $ 与底角 $ B $ 的关系式为
(4)对于半径为2的圆，半径增加 $ x $ 时，增加的面积 $ y $ 与 $ x $ 的关系式为
(5)正三角形面积 $ S $ 与边长 $ a $ 的关系式为
(6)本题(1)—(5)中所求的关系式中，是二次函数的有
(1)正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $ 的关系式为
$y=4x$
；(2)已知一个菱形的两条对角线长的和为20 cm，设其中一条对角线的长为 $ x $ cm，菱形的面积为 $ S $ $ \mathrm{cm}^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 的关系式为
$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
；(3)等腰三角形的顶角 $ A $ 与底角 $ B $ 的关系式为
$∠ A=180°-2∠ B$
；(4)对于半径为2的圆，半径增加 $ x $ 时，增加的面积 $ y $ 与 $ x $ 的关系式为
$y=π x^2+4π x$
；(5)正三角形面积 $ S $ 与边长 $ a $ 的关系式为
$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
；(6)本题(1)—(5)中所求的关系式中，是二次函数的有
(2)(4)(5)
。(填序号)答案
5. (1)$y=4x$
(2)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
(3)$∠ A=180°-2∠ B$
(4)$y=π x^2+4π x$
(5)$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(6)(2)(4)(5)
(2)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
(3)$∠ A=180°-2∠ B$
(4)$y=π x^2+4π x$
(5)$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(6)(2)(4)(5)
解析
【分析】
解题时需结合对应几何图形的性质、公式推导变量间的关系式，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a≠0$，$a,b,c$为常数的函数是二次函数）判断哪些是二次函数。具体思路如下：
1. 第(1)问直接套用正方形周长公式即可；
2. 第(2)问先表示出菱形另一条对角线的长度，再代入菱形面积公式整理；
3. 第(3)问利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$推导关系式；
4. 第(4)问用半径增加后的圆面积减去原圆面积，展开整理即可；
5. 第(5)问先求出正三角形的高，再代入三角形面积公式推导；
6. 第(6)问对照二次函数定义，逐一判断前5问的关系式即可。
【解析】
(1) 正方形周长等于4倍边长，因此$y = 4x$；
(2) 菱形两条对角线和为20cm，一条对角线长为$x$cm，则另一条对角线长为$(20-x)$cm，菱形面积为对角线乘积的一半，因此：
$S = \frac{1}{2}x(20-x) = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$；
(3) 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，因此$∠ A + 2∠ B = 180°$，整理得$∠ A = 180° - 2∠ B$；
(4) 原圆半径为2，面积为$π×2^2=4π$，半径增加$x$后为$(2+x)$，新圆面积为$π(2+x)^2$，增加的面积为新面积减原面积：
$y = π(2+x)^2 - 4π = π(x^2+4x+4) - 4π = π x^2 + 4π x$；
(5) 正三角形边长为$a$，则高为$\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，三角形面积为$\frac{1}{2}×底×高$，因此：
$S = \frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；
(6) 对照二次函数定义：(1)是一次函数，(3)是一次函数，(2)(4)(5)均符合二次函数的形式，因此二次函数为(2)(4)(5)。
【答案】
(1)$y=4x$
(2)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
(3)$∠ A=180°-2∠ B$
(4)$y=π x^2+4π x$
(5)$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(6)(2)(4)(5)
【知识点】
列函数关系式；二次函数的定义；几何图形周长面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查根据几何性质推导函数关系式的能力，以及二次函数的识别能力，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的相关公式和二次函数的定义。
【难度系数】
0.8
解题时需结合对应几何图形的性质、公式推导变量间的关系式，再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a≠0$，$a,b,c$为常数的函数是二次函数）判断哪些是二次函数。具体思路如下：
1. 第(1)问直接套用正方形周长公式即可；
2. 第(2)问先表示出菱形另一条对角线的长度，再代入菱形面积公式整理；
3. 第(3)问利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$推导关系式；
4. 第(4)问用半径增加后的圆面积减去原圆面积，展开整理即可；
5. 第(5)问先求出正三角形的高，再代入三角形面积公式推导；
6. 第(6)问对照二次函数定义，逐一判断前5问的关系式即可。
【解析】
(1) 正方形周长等于4倍边长，因此$y = 4x$；
(2) 菱形两条对角线和为20cm，一条对角线长为$x$cm，则另一条对角线长为$(20-x)$cm，菱形面积为对角线乘积的一半，因此：
$S = \frac{1}{2}x(20-x) = -\frac{1}{2}x^2 + 10x$；
(3) 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180°$，因此$∠ A + 2∠ B = 180°$，整理得$∠ A = 180° - 2∠ B$；
(4) 原圆半径为2，面积为$π×2^2=4π$，半径增加$x$后为$(2+x)$，新圆面积为$π(2+x)^2$，增加的面积为新面积减原面积：
$y = π(2+x)^2 - 4π = π(x^2+4x+4) - 4π = π x^2 + 4π x$；
(5) 正三角形边长为$a$，则高为$\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，三角形面积为$\frac{1}{2}×底×高$，因此：
$S = \frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$；
(6) 对照二次函数定义：(1)是一次函数，(3)是一次函数，(2)(4)(5)均符合二次函数的形式，因此二次函数为(2)(4)(5)。
【答案】
(1)$y=4x$
(2)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
(3)$∠ A=180°-2∠ B$
(4)$y=π x^2+4π x$
(5)$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(6)(2)(4)(5)
【知识点】
列函数关系式；二次函数的定义；几何图形周长面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查根据几何性质推导函数关系式的能力，以及二次函数的识别能力，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的相关公式和二次函数的定义。
【难度系数】
0.8
6. 已知函数$y=(k^2 - k)x^2 + kx + k + 1$（k为常数）。
(1)若这个函数是一次函数，求k的值；
(2)若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
(1)若这个函数是一次函数，求k的值；
(2)若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？
答案
6. 解:(1)若这个函数是一次函数，则 $k^2 - k=0$ 且 $k ≠ 0$,解得 $k=1$。
(2)若这个函数是二次函数，则 $k^2 - k ≠ 0$,解得 $k ≠ 0$ 且 $k ≠ 1$。
(2)若这个函数是二次函数，则 $k^2 - k ≠ 0$,解得 $k ≠ 0$ 且 $k ≠ 1$。
解析
【分析】
解决本题的核心是紧扣一次函数和二次函数的定义判断系数的限制条件：
（1）一次函数的特征是自变量最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此需要令原函数的二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立条件即可求解k的值；
（2）二次函数的特征是自变量最高次数为2，因此只需要保证二次项系数不为0，列不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - k = 0 \\ k ≠ 0\end{cases}$
对$k^2 - k = 0$因式分解得$k(k-1)=0$，解得$k=0$或$k=1$，结合$k≠0$的限制条件，最终得$k=1$。
(2) 若函数是二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - k ≠ 0$
因式分解得$k(k-1)≠0$，解得$k≠0$且$k≠1$。
【答案】
(1) $k=1$；
(2) $k≠0$且$k≠1$
【知识点】
一次函数的定义，二次函数的定义，因式分解解方程
【点评】
本题属于函数概念类基础题，重点考查一次函数和二次函数的判定规则，解题时要注意不要遗漏一次函数中一次项系数不为0的限制条件，熟练掌握相关函数的定义即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是紧扣一次函数和二次函数的定义判断系数的限制条件：
（1）一次函数的特征是自变量最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此需要令原函数的二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立条件即可求解k的值；
（2）二次函数的特征是自变量最高次数为2，因此只需要保证二次项系数不为0，列不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 若函数是一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - k = 0 \\ k ≠ 0\end{cases}$
对$k^2 - k = 0$因式分解得$k(k-1)=0$，解得$k=0$或$k=1$，结合$k≠0$的限制条件，最终得$k=1$。
(2) 若函数是二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - k ≠ 0$
因式分解得$k(k-1)≠0$，解得$k≠0$且$k≠1$。
【答案】
(1) $k=1$；
(2) $k≠0$且$k≠1$
【知识点】
一次函数的定义，二次函数的定义，因式分解解方程
【点评】
本题属于函数概念类基础题，重点考查一次函数和二次函数的判定规则，解题时要注意不要遗漏一次函数中一次项系数不为0的限制条件，熟练掌握相关函数的定义即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
7. 已知二次函数 $y=x^2+2x-7$。
(1)当$x=-1$时，求$y$的值；
(2)当$x$取何值时，$y$的值为8？
(1)当$x=-1$时，求$y$的值；
(2)当$x$取何值时，$y$的值为8？
答案
7. 解:(1)当 $x= -1$ 时，$y=x^2+2x-7=(-1)^2+2×(-1)-7=-8$。
(2)当 $y=8$ 时，$x^2+2x-7=8$，解得 $x_1=-5,x_2=3$。
(2)当 $y=8$ 时，$x^2+2x-7=8$，解得 $x_1=-5,x_2=3$。
解析
【分析】
(1) 第一问是已知自变量的值求二次函数对应的函数值，解题时直接将给定的x值代入二次函数解析式，按照有理数的运算顺序计算就能得到结果。
(2) 第二问是已知函数值求对应的自变量取值，解题时将y=8代入解析式，转化为关于x的一元二次方程，求解该方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入二次函数$y=x^2+2x-7$中：
$\begin{aligned}y&=(-1)^2 + 2×(-1) -7\\&=1 - 2 -7\\&=-8\end{aligned}$
(2) 当$y=8$时，代入解析式可得：
$x^2 + 2x -7 = 8$
移项整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$
因式分解得：$(x+5)(x-3)=0$
解得：$x_1=-5$，$x_2=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{x=-5}$或$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
二次函数代值计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查自变量与函数值的互求运算，计算时注意运算顺序，解一元二次方程时不要漏解，熟练掌握基础运算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是已知自变量的值求二次函数对应的函数值，解题时直接将给定的x值代入二次函数解析式，按照有理数的运算顺序计算就能得到结果。
(2) 第二问是已知函数值求对应的自变量取值，解题时将y=8代入解析式，转化为关于x的一元二次方程，求解该方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 把$x=-1$代入二次函数$y=x^2+2x-7$中：
$\begin{aligned}y&=(-1)^2 + 2×(-1) -7\\&=1 - 2 -7\\&=-8\end{aligned}$
(2) 当$y=8$时，代入解析式可得：
$x^2 + 2x -7 = 8$
移项整理得：$x^2 + 2x -15 = 0$
因式分解得：$(x+5)(x-3)=0$
解得：$x_1=-5$，$x_2=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{x=-5}$或$\boldsymbol{x=3}$
【知识点】
二次函数代值计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查自变量与函数值的互求运算，计算时注意运算顺序，解一元二次方程时不要漏解，熟练掌握基础运算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
