二、拓展性作业
9. 用小立方体搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如图4-8所示,俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数,请解答下列问题:

图4-8
(1)$a=$,$b=$,$c=$;
(2)当$d=2,e=1,f=2$时,画出这个几何体的左视图;
(3)这个几何体最少由个小立方体搭成,最多由个小立方体搭成。

9. 解:(1)3 1 1
(2)这个几何体的左视图如答图4-3所示。

(3)9 11

【分析】
解题核心是掌握三视图的对应规律：①主视图的列数和俯视图的列数一致，主视图每列的高度等于俯视图对应列小立方体的最大个数；②左视图的列数等于俯视图的行数（前后方向），左视图每列高度等于俯视图对应行小立方体的最大个数；③计算小立方体总个数时，先确定固定位置的数量，再分析不确定位置的取值范围即可得到最值。
(1) 先通过主视图每列高度确定俯视图对应列的最大值，最右列仅含a，直接得a的值，中间列最大值为1，且每个位置至少1个小立方体，即可得b、c的值；
(2) 给定d、e、f的取值后，统计俯视图每行的最大高度，按照左视图绘制规则作图即可；
(3) a、b、c的值固定，仅需分析d、e、f的最小和最大取值和，加固定值即可得到总个数的最值。
【解析】
(1) 观察主视图，从左到右三列高度分别为2、1、3，对应俯视图从左到右三列：
最右列只有位置a，因此该列最大高度就是a的值，即$a=3$；
中间列有位置b、c，该列最大高度为1，且每个位置至少有1个小立方体，因此$b=1$，$c=1$。
(2) 左视图的列数对应俯视图的前后行数，每列高度为对应行小立方体的最大高度，当$d=2,e=1,f=2$时，按规则绘制左视图即可。
(3) 已知$a=3,b=1,c=1$，三者和为$3+1+1=5$；
左列d、e、f的最大高度为2，每个位置至少1个小立方体：
总个数最少时：d、e、f中仅1个取2，其余取1，三者和最小为$2+1+1=4$，总最少个数为$5+4=9$；
总个数最多时：d、e、f都取2，三者和最大为$2×3=6$，总最多个数为$5+6=11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{1}$
(2)
(3) $\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{11}$
【知识点】
三视图的对应关系；由三视图判断几何体；三视图画法
【点评】
本题是三视图部分的典型题型，需要准确理解三种视图之间的数量和位置对应关系，解题时重点抓住主视图与俯视图的列高对应关系，分析不确定位置的取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. 小明所在的数学学习小组从以下三个方面探究中心投影,请你帮他们完成探究过程:
【画图操作】(1)学校操场上三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图 4-9①所示。请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长。(不写画法)

【影长变化】(2)如图 4-9②,夜晚,小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长 y 随他与点A之间的距离 x 的变化而变化,那么表示 y 与 x 之间关系的图象大致为图 4-10 中的。(填序号)

【测路灯高度】(3)如图 4-11,河对岸有一灯杆 AB,为了测量路灯的高度,在灯光下,测得小明在点 D 处的影长 $DF=3\ \mathrm{m}$,沿 BD 方向前进到达点 F 处,在 F 处的影长 $FG=4\ \mathrm{m}$。已知小明的身高为 $1.6\ \mathrm{m}$,求灯杆 AB 的高度。

10. 解:(1)如答图4-4,点 P 和线段 MN 为所求。

(2)④
(3)$\because CD// EF// AB$,
$\therefore △ CDF ∽ △ ABF,△ ABG ∽ △ EFG$,
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF},\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{GB}$。
$\because CD=EF$,
$\therefore \frac{DF}{BF}=\frac{GF}{GB}$。
$\because DF=3\ \mathrm{m},FG=4\ \mathrm{m}$,
$BF=BD+DF=(BD+3)\ \mathrm{m}$,
$BG=BD+DF+GF=BD+3+4=(BD+7)\ \mathrm{m}$,
$\therefore \frac{3}{BD+3}=\frac{4}{BD+7}$,
解得 $BD=9\ \mathrm{m}$。
$\therefore BF=9+3=12(\mathrm{m})$,
$\therefore \frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$,
解得 $AB=6.4\ \mathrm{m}$。
故灯杆 AB 的高度为 6.4 m。

【分析】
(1) 中心投影的光线均从同一点光源发出，因此分别连接前两根旗杆顶端与对应影子的顶端并延长，两条直线的交点即为光源位置；再连接光源与第三根旗杆顶端并延长交地面于一点，该点到第三根旗杆底部的线段就是第三根旗杆的影长。
(2) 小明从A走到路灯正下方的过程中，到路灯的水平距离逐渐减小，影长y随距离x的增大而减小，走到路灯正下方时影长为0；之后从路灯正下方走到B的过程中，到路灯的水平距离逐渐增大，影长y随x的增大而增大，且影长与行走距离为一次函数关系，据此判断对应图像即可。
(3) 由于人和灯杆都垂直于地面，可得人与灯杆互相平行，因此可得到两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合人的身高不变，先列比例式求出BD的长度，再代入比例式即可求出灯杆AB的高度。
【解析】
(1) 分别过第一根、第二根旗杆的顶端和各自影子的顶端作直线，两直线交于点P即为光源；过点P和第三根旗杆的顶端作直线，交地面于点N，第三根旗杆底部M到N的线段MN即为第三根旗杆的影长。
(2) 当小明从A向路灯正下方行走时，影长随行走距离x的增大逐渐减小至0；从路灯正下方向B行走时，影长随x的增大逐渐增大，且y与x为一次函数关系，因此对应图象为④。
(3) $\because CD// EF// AB$，
$\therefore △ CDF ∽ △ ABF$，$△ EFG ∽ △ ABG$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{GB}$。
$\because CD=EF$，
$\therefore \frac{DF}{BF}=\frac{GF}{GB}$。
已知$DF=3\ \mathrm{m}$，$FG=4\ \mathrm{m}$，
则$BF=BD+DF=(BD+3)\ \mathrm{m}$，$BG=BD+DF+FG=(BD+7)\ \mathrm{m}$，
代入比例式得：$\frac{3}{BD+3}=\frac{4}{BD+7}$，
解得$BD=9\ \mathrm{m}$。
$\therefore BF=9+3=12\ \mathrm{m}$，
代入$\frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$，
解得$AB=6.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如答图4-4，点P和线段MN为所求。
(2) ④
(3) 灯杆AB的高度为6.4 m。
【知识点】
中心投影的性质，相似三角形的应用，函数图象判断
【点评】
本题结合生活实际场景考查中心投影相关知识，设置梯度合理，既考查动手作图能力，也考查利用相似三角形解决实际测量问题的能力，解题的关键是掌握中心投影的光线特点以及相似三角形对应边成比例的性质。
【难度系数】
0.65