7. 小深想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子。针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图4-5，小深边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。此时，测得小深落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.6 m，CA＝30 m（点A，E，C在同一直线上）。已知小深的身高EF是1.6 m，请你帮小深求出楼高AB。

图4-5

7. 解:如答图4-2,过点 D 作 $DN ⊥ AB$,垂足为点 N,交 EF 于点 M。
$\therefore$ 四边形 CDME,ACDN 是矩形,
$\therefore AN=ME=CD=1.2\ \mathrm{m},DN=AC=30\ \mathrm{m}$,
$DM=CE=0.6\ \mathrm{m}$,
$\therefore MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4(\mathrm{m})$。
依题意知 $EF// AB$,
$\therefore △ DFM ∽ △ DBN,\therefore \frac{DM}{DN}=\frac{MF}{NB}$,
即 $\frac{0.6}{30}=\frac{0.4}{NB}$,解得 $NB=20\ \mathrm{m}$,
$\therefore AB=NB+AN=20+1.2=21.2(\mathrm{m})$,
故楼高 AB 为 21.2 m。

【分析】
本题属于影子部分落在墙上的投影测量问题，解题时需先通过作辅助线拆分问题：过墙上影子顶端D作DN垂直AB，交EF于M，一方面可构造矩形得到相等的线段，将楼高AB分为与墙上影子等高的AN段和待求的BN段；另一方面利用EF平行AB的关系得到相似三角形，再通过相似三角形对应边成比例求出BN的长度，最后将两段长度相加即可得到楼高。
【解析】
解：如答图4-2，过点D作$DN ⊥ AB$，垂足为点N，交EF于点M。
$\therefore$ 四边形CDME、ACDN是矩形，
$\therefore AN=ME=CD=1.2\ \mathrm{m}$，$DN=AC=30\ \mathrm{m}$，$DM=CE=0.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4(\mathrm{m})$。
依题意知 $EF// AB$，
$\therefore △ DFM ∽ △ DBN$，$\therefore \frac{DM}{DN}=\frac{MF}{NB}$，
即 $\frac{0.6}{30}=\frac{0.4}{NB}$，解得 $NB=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=NB+AN=20+1.2=21.2(\mathrm{m})$。

【答案】
楼高AB为$\boldsymbol{21.2\ \mathrm{m}}$

【知识点】
相似三角形的应用；矩形的性质；平行投影
【点评】
本题结合实际测量场景考查投影相关的几何计算，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题转化为矩形和相似三角形的几何模型求解，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

8.【提出问题】有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16 cm，6 cm，2 cm。现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使大长方体的表面积最小？
【实践操作】我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它的表面积会发生变化。经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图4-6所示。

【探究结论】(1)请计算如图4-6中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填表4-1。
表4-1
| | 长/cm | 宽/cm | 高/cm | 表面积/cm² |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ① | 16 | 6 | | |
| ② | | 6 | 2 | |
| ③ | 16 | | 2 | |
根据表4-1可知，表面积最小的是如图所示的长方体。(填序号)
【解决问题】(2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高分别是5 cm，4 cm，3 cm，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为cm²。
【实践应用】(3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，图4-7是这些长方体礼盒搭成的几何体的三种视图。商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张。请你帮商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米。(接头处忽略不计)

8. 解:(1)如答表4-1所示。
答表4-1
| | 长/cm | 宽/cm | 高/cm | 表面积/cm² |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ① | 16 | 6 | 4 | 368 |
| ② | 32 | 6 | 2 | 536 |
| ③ | 16 | 12 | 2 | 496 |
根据表可知，表面积最小的是如图①所示的长方体。
(2)236
(3)根据三种视图可得有4个长方体礼盒。包装后(包装纸用得最少)的长方体的长是75 cm,宽是35 cm,高是$15 × 4=60(\mathrm{cm})$。依题意,$(75 × 35+75 × 60+60 × 35) × 2=18450(\mathrm{cm}^2)$。故最少需要 $18450\ \mathrm{cm}^2$ 包装纸。

【分析】
解决本题的核心规律是：多个长方体拼接成大长方体时，拼接重合的面面积越大，拼接后减少的总表面积越多，最终大长方体的表面积就越小。(1)问中两个相同长方体拼接有3种方式，分别将长×宽、宽×高、长×高的面重合，对应高、长、宽翻倍，再用长方体表面积公式计算即可比较大小；(2)问4个长方体拼接时，尽可能让更多大面积的面重合，即可得到最小表面积；(3)问先通过三视图确定小长方体的数量和长宽高，再按“重合最大面使表面积最小”的规律计算包装纸面积即可。
【解析】
(1) 三种拼接方式计算如下：
① 将两个长方体的长×宽面重合，高为$2×2=4\mathrm{cm}$，表面积$=2×(16×6+16×4+6×4)=2×184=368\mathrm{cm}^2$；
② 将两个长方体的宽×高面重合，长为$16×2=32\mathrm{cm}$，表面积$=2×(32×6+32×2+6×2)=2×268=536\mathrm{cm}^2$；
③ 将两个长方体的长×高面重合，宽为$6×2=12\mathrm{cm}$，表面积$=2×(16×12+16×2+12×2)=2×248=496\mathrm{cm}^2$；
对比可知$368＜496＜536$，表面积最小的是①。
(2) 4个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼接，优先重合面积最大的$5×4=20\mathrm{cm}^2$的面，最优拼接后大长方体长宽高为5cm、8cm、6cm，表面积$=2×(5×8+5×6+8×6)=2×118=236\mathrm{cm}^2$。
(3) 由三视图可知共有4个长方体礼盒，单个小长方体长75cm、宽35cm、高15cm。要使包装纸最少，重合最大的$75×35$的面，拼接后大长方体高为$15×4=60\mathrm{cm}$，表面积$=2×(75×35+75×60+35×60)=2×9225=18450\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) ①高4，表面积368；②长32，表面积536；③宽12，表面积496；$\boxed{①}$
(2) $\boxed{236}$
(3) $\boxed{18450\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接，三视图应用
【点评】
本题结合实践操作考察长方体表面积的变化规律，既要求掌握基础的表面积计算方法，也需要具备一定的空间想象能力，解题的核心是理解拼接时重合面越大，总表面积越小的规律。
【难度系数】
0.6