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8. 如图5-1-1，一块草地是长8 m、宽6 m的矩形，中间是两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m²。
(1)求y与x的关系式；
(2)若草坪面积为35 m²，求此时的小路宽度。
图5-1-1
(1)求y与x的关系式；
(2)若草坪面积为35 m²，求此时的小路宽度。
图5-1-1
答案
8. 解:(1)由题意得 $y=(8-x)(6-x)=x^2-14x+48$。
(2)由(1)得 $x^2-14x+48=35$，解得 $x_1=1,x_2=13＞8$(舍去)。
故此时的小路宽度为1 m。
(2)由(1)得 $x^2-14x+48=35$，解得 $x_1=1,x_2=13＞8$(舍去)。
故此时的小路宽度为1 m。
解析
【分析】
(1)求草坪面积时，可通过平移法将分散的四块草坪拼接为一个完整的矩形：将竖直小路向右平移，水平小路向下平移，得到的新矩形的长为原长减去小路宽度x，宽为原宽减去小路宽度x，根据矩形面积公式即可写出y与x的关系式；
(2)将y=35代入第一问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解后结合小路宽度的实际取值范围（小于原矩形的长和宽）舍去不符合题意的根，即可得到小路宽度。
【解析】
(1) 由平移的性质，拼接后草坪对应的新矩形长为$(8-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜6$。
根据矩形面积公式得：
$y=(8-x)(6-x)$
展开整理得：$y=x^2-14x+48$
(2) 当草坪面积$y=35\ \mathrm{m}^2$时，代入上述解析式得：
$x^2-14x+48=35$
移项整理得：$x^2-14x+13=0$
因式分解得：$(x-1)(x-13)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=13$
∵ 小路宽度$x$需满足$0＜x＜6$，$13＞8$不符合实际意义，故舍去
∴ $x=1$
【答案】
(1) $y=x^2-14x+48\ (0＜x＜6)$
(2) $1\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程求解；矩形面积计算
【点评】
本题考查结合图形的函数与方程应用，利用平移法将不规则的草坪面积转化为规则矩形面积是解题的关键，求解方程后要注意结合实际情境验根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1)求草坪面积时，可通过平移法将分散的四块草坪拼接为一个完整的矩形：将竖直小路向右平移，水平小路向下平移，得到的新矩形的长为原长减去小路宽度x，宽为原宽减去小路宽度x，根据矩形面积公式即可写出y与x的关系式；
(2)将y=35代入第一问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解后结合小路宽度的实际取值范围（小于原矩形的长和宽）舍去不符合题意的根，即可得到小路宽度。
【解析】
(1) 由平移的性质，拼接后草坪对应的新矩形长为$(8-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(6-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜6$。
根据矩形面积公式得：
$y=(8-x)(6-x)$
展开整理得：$y=x^2-14x+48$
(2) 当草坪面积$y=35\ \mathrm{m}^2$时，代入上述解析式得：
$x^2-14x+48=35$
移项整理得：$x^2-14x+13=0$
因式分解得：$(x-1)(x-13)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=13$
∵ 小路宽度$x$需满足$0＜x＜6$，$13＞8$不符合实际意义，故舍去
∴ $x=1$
【答案】
(1) $y=x^2-14x+48\ (0＜x＜6)$
(2) $1\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程求解；矩形面积计算
【点评】
本题考查结合图形的函数与方程应用，利用平移法将不规则的草坪面积转化为规则矩形面积是解题的关键，求解方程后要注意结合实际情境验根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. $y$与$x$之间的函数关系可记为$y=f(x)$。例如：函数$y=3x$可记为$f(x)=3x$。若对于自变量取值范围内的任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则$f(x)$是奇函数。例如：$f(x)=x^2$是偶函数，$f(x)=x$是奇函数。
(1)已知分段函数$f(x)$是奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=5x^2+1$，那么$f(-4)=$
(2)若$f(x)=ax^2+(a-5)x+1$是偶函数，则实数$a=$
9. $y$与$x$之间的函数关系可记为$y=f(x)$。例如：函数$y=3x$可记为$f(x)=3x$。若对于自变量取值范围内的任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则$f(x)$是奇函数。例如：$f(x)=x^2$是偶函数，$f(x)=x$是奇函数。
(1)已知分段函数$f(x)$是奇函数，当$x＞0$时，$f(x)=5x^2+1$，那么$f(-4)=$
-81
；(2)若$f(x)=ax^2+(a-5)x+1$是偶函数，则实数$a=$
5
。答案
9. (1)$-81$ (2)$5$
解析
【分析】
(1) 首先明确奇函数的性质：对任意自变量x都满足$f(-x)=-f(x)$。要求$f(-4)$，已知$x＞0$时的函数解析式，可通过奇函数性质将$f(-4)$转化为$-f(4)$，先计算$x=4$时的函数值，再取相反数即可得到结果。
(2) 明确偶函数的性质：对任意自变量x都满足$f(-x)=f(x)$。先写出$f(-x)$的展开式，令其与$f(x)$恒等，根据等式对任意x都成立的条件，即可求出a的取值。
【解析】
(1) $\because f(x)$是奇函数，满足$f(-x)=-f(x)$
$\therefore f(-4)=-f(4)$
当$x＞0$时，$f(x)=5x^2+1$，代入$x=4$得：
$f(4)=5×4^2+1=5×16+1=81$
$\therefore f(-4)=-f(4)=-81$
(2) $\because f(x)$是偶函数，满足对任意x都有$f(-x)=f(x)$
先计算$f(-x)$：
$f(-x)=a·(-x)^2+(a-5)·(-x)+1=ax^2-(a-5)x+1$
令$f(-x)=f(x)$，即：
$ax^2-(a-5)x+1=ax^2+(a-5)x+1$
消去两侧相同项后整理得：$2(a-5)x=0$
$\because$ 该等式对任意x都成立
$\therefore$ 一次项系数为0，即$a-5=0$，解得$a=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-81}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
奇函数定义，偶函数定义，代数式恒成立条件
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解题目给出的奇偶函数定义，将新定义转化为熟悉的代数运算即可求解，主要考查对新定义的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确奇函数的性质：对任意自变量x都满足$f(-x)=-f(x)$。要求$f(-4)$，已知$x＞0$时的函数解析式，可通过奇函数性质将$f(-4)$转化为$-f(4)$，先计算$x=4$时的函数值，再取相反数即可得到结果。
(2) 明确偶函数的性质：对任意自变量x都满足$f(-x)=f(x)$。先写出$f(-x)$的展开式，令其与$f(x)$恒等，根据等式对任意x都成立的条件，即可求出a的取值。
【解析】
(1) $\because f(x)$是奇函数，满足$f(-x)=-f(x)$
$\therefore f(-4)=-f(4)$
当$x＞0$时，$f(x)=5x^2+1$，代入$x=4$得：
$f(4)=5×4^2+1=5×16+1=81$
$\therefore f(-4)=-f(4)=-81$
(2) $\because f(x)$是偶函数，满足对任意x都有$f(-x)=f(x)$
先计算$f(-x)$：
$f(-x)=a·(-x)^2+(a-5)·(-x)+1=ax^2-(a-5)x+1$
令$f(-x)=f(x)$，即：
$ax^2-(a-5)x+1=ax^2+(a-5)x+1$
消去两侧相同项后整理得：$2(a-5)x=0$
$\because$ 该等式对任意x都成立
$\therefore$ 一次项系数为0，即$a-5=0$，解得$a=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-81}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
奇函数定义，偶函数定义，代数式恒成立条件
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解题目给出的奇偶函数定义，将新定义转化为熟悉的代数运算即可求解，主要考查对新定义的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个。根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为$ x $元$(x＞50)$，每月销售这种篮球获利$ y $元。
(1)求$ y $与$ x $之间的关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球每个的售价应定为多少元？
(1)求$ y $与$ x $之间的关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球每个的售价应定为多少元？
答案
10. 解:(1)$y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$。
(2)令 $y=-10x^2+1400x-40000=8000$，解得 $x_1=60,x_2=80$。
$\because$ 要吸引更多的顾客，
$\therefore x_2=80$ 应舍去，
$\therefore$ 这种篮球每个的售价应定为60元。
(2)令 $y=-10x^2+1400x-40000=8000$，解得 $x_1=60,x_2=80$。
$\because$ 要吸引更多的顾客，
$\therefore x_2=80$ 应舍去，
$\therefore$ 这种篮球每个的售价应定为60元。
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数关系式需结合销售问题核心公式：总利润=单个利润×销售数量。首先确定单个利润为售价x减去成本40元；再推导销售数量：原价50元时销量为500个，售价每提高1元销量减少10个，售价x元时比50元高了(x-50)元，因此销量减少10(x-50)个，实际销量为[500-10(x-50)]个，同时销量需大于0，可确定x的取值范围；最后将单个利润与销量相乘并化简即可得到函数关系式。
(2) 获利8000元即y=8000，代入第一问的函数关系式得到一元二次方程，解方程得到两个售价解；结合“吸引更多顾客”的要求，售价越低销量越高，因此选择数值更小的解即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每个篮球的利润为$(x-40)$元；
售价为x元时，相比50元提高了$(x-50)$元，因此销量减少$10(x-50)$个，此时销售量为$500-10(x-50)$个；
结合销量大于0的要求，得$500-10(x-50)＞0$，解得$x＜100$，结合题设$x＞50$，得x的取值范围为$50＜x＜100$。
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}y&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\end{aligned}$
即$y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$。
(2) 令$y=8000$，代入函数关系式得：
$-10x^2+1400x-40000=8000$
整理得$x^2-140x+4800=0$，因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60,x_2=80$。
∵要吸引更多顾客，需尽可能压低售价提高销量，
∴$x_2=80$不符合要求，舍去。
即这种篮球每个的售价应定为60元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$
(2) 60元
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，销售利润计算
【点评】
本题是销售类利润问题的典型习题，核心考查总利润等量关系的应用，同时需要结合实际场景对一元二次方程的解进行筛选，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求解y与x的函数关系式需结合销售问题核心公式：总利润=单个利润×销售数量。首先确定单个利润为售价x减去成本40元；再推导销售数量：原价50元时销量为500个，售价每提高1元销量减少10个，售价x元时比50元高了(x-50)元，因此销量减少10(x-50)个，实际销量为[500-10(x-50)]个，同时销量需大于0，可确定x的取值范围；最后将单个利润与销量相乘并化简即可得到函数关系式。
(2) 获利8000元即y=8000，代入第一问的函数关系式得到一元二次方程，解方程得到两个售价解；结合“吸引更多顾客”的要求，售价越低销量越高，因此选择数值更小的解即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每个篮球的利润为$(x-40)$元；
售价为x元时，相比50元提高了$(x-50)$元，因此销量减少$10(x-50)$个，此时销售量为$500-10(x-50)$个；
结合销量大于0的要求，得$500-10(x-50)＞0$，解得$x＜100$，结合题设$x＞50$，得x的取值范围为$50＜x＜100$。
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}y&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\end{aligned}$
即$y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$。
(2) 令$y=8000$，代入函数关系式得：
$-10x^2+1400x-40000=8000$
整理得$x^2-140x+4800=0$，因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60,x_2=80$。
∵要吸引更多顾客，需尽可能压低售价提高销量，
∴$x_2=80$不符合要求，舍去。
即这种篮球每个的售价应定为60元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+1400x-40000(50＜x＜100)$
(2) 60元
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，销售利润计算
【点评】
本题是销售类利润问题的典型习题，核心考查总利润等量关系的应用，同时需要结合实际场景对一元二次方程的解进行筛选，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
