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1. 若点$(a,-9)$在函数$y=-x^2$的图象上，则$a$的值为(
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$\pm81$
C
)。A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$\pm81$
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题的核心依据是：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。解题时先将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于a的一元二次方程，再解方程即可求出a的值。
【解析】
∵点$(a,-9)$在函数$y=-x^2$的图象上
∴将$x=a$，$y=-9$代入解析式得：
$-9=-a^2$
等式两边同时乘$-1$，可得$a^2=9$
开平方得$a=\pm3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查函数图象与点坐标的对应关系，计算难度低，解题时需注意对正数开平方时存在正负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心依据是：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式。解题时先将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于a的一元二次方程，再解方程即可求出a的值。
【解析】
∵点$(a,-9)$在函数$y=-x^2$的图象上
∴将$x=a$，$y=-9$代入解析式得：
$-9=-a^2$
等式两边同时乘$-1$，可得$a^2=9$
开平方得$a=\pm3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查函数图象与点坐标的对应关系，计算难度低，解题时需注意对正数开平方时存在正负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.85
2. 抛物线$y=x^2$不具有的性质是(
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
D.最低点是原点
C
)。A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
D.最低点是原点
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$（$a≠0$）的性质规律：当$a＞0$时，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$，是函数的最低点；增减性上，对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧（$x＞0$）$y$随$x$的增大而增大。接下来逐一核对四个选项，选出不符合性质的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
B选项：对于$y=x^2$，对称轴为直线$x=0$，也就是y轴，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
C选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而减小，不是增大，所以该性质不是抛物线具有的，符合题意；
D选项：抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$即原点，是抛物线的最低点，该性质是抛物线具有的，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对最简单的二次函数$y=x^2$各项性质的记忆与理解，熟练掌握基础二次函数的开口方向、对称轴、增减性、顶点特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$（$a≠0$）的性质规律：当$a＞0$时，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$，是函数的最低点；增减性上，对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧（$x＞0$）$y$随$x$的增大而增大。接下来逐一核对四个选项，选出不符合性质的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
B选项：对于$y=x^2$，对称轴为直线$x=0$，也就是y轴，该性质是抛物线具有的，不符合题意；
C选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而减小，不是增大，所以该性质不是抛物线具有的，符合题意；
D选项：抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$即原点，是抛物线的最低点，该性质是抛物线具有的，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对最简单的二次函数$y=x^2$各项性质的记忆与理解，熟练掌握基础二次函数的开口方向、对称轴、增减性、顶点特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 函数$y=x^2$的图象与函数$y=-x^2$的图象关于
$x$轴
对称。答案
3.$x$轴
解析
【分析】
要判断两个函数图象的对称关系，可从对应点的坐标特征入手：首先对任意相同的自变量x，找到两个函数上的对应点，再结合对称点的坐标规律判断对称类型；也可以通过列举几个特殊点，先观察点的对称关系，再推导整个图象的对称关系。
【解析】
任取实数x，函数$y=x^2$图象上的对应点为$(x, x^2)$，函数$y=-x^2$图象上的对应点为$(x, -x^2)$。
根据对称点的坐标规律：关于x轴对称的两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数。上述两个对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数，满足关于x轴对称的点的特征。
因为x可取任意实数，即两个函数上所有对应点都关于x轴对称，因此两个函数的图象关于x轴对称。
【答案】
x轴
【知识点】
1.二次函数图象特征
2.关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，考查函数图象对称关系的判断，既可通过代入特殊点快速验证得到结论，也可通过坐标特征推导得出，熟练掌握坐标对称的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断两个函数图象的对称关系，可从对应点的坐标特征入手：首先对任意相同的自变量x，找到两个函数上的对应点，再结合对称点的坐标规律判断对称类型；也可以通过列举几个特殊点，先观察点的对称关系，再推导整个图象的对称关系。
【解析】
任取实数x，函数$y=x^2$图象上的对应点为$(x, x^2)$，函数$y=-x^2$图象上的对应点为$(x, -x^2)$。
根据对称点的坐标规律：关于x轴对称的两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数。上述两个对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数，满足关于x轴对称的点的特征。
因为x可取任意实数，即两个函数上所有对应点都关于x轴对称，因此两个函数的图象关于x轴对称。
【答案】
x轴
【知识点】
1.二次函数图象特征
2.关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，考查函数图象对称关系的判断，既可通过代入特殊点快速验证得到结论，也可通过坐标特征推导得出，熟练掌握坐标对称的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 已知点$A(2,y_1),B(1,y_2)$在函数$y=x^2$的图象上，则$y_1$
＞
$y_2$。（填“＞”“＜”或“=”）答案
4.＞
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是利用二次函数$y=x^2$的增减性判断，首先明确该函数的开口方向和对称轴，再判断两点是否在对称轴的同一侧，最后结合x的大小关系推导y的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将点$A(2,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=2^2=4$；
将点$B(1,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
∵$4＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二：利用二次函数增减性
对于二次函数$y=x^2$，$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=0$；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
∵$2＞1＞0$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的增减性；函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，熟练掌握二次函数的图象性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体数值后比较；二是利用二次函数$y=x^2$的增减性判断，首先明确该函数的开口方向和对称轴，再判断两点是否在对称轴的同一侧，最后结合x的大小关系推导y的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将点$A(2,y_1)$代入$y=x^2$，得$y_1=2^2=4$；
将点$B(1,y_2)$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
∵$4＞1$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二：利用二次函数增减性
对于二次函数$y=x^2$，$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=0$；
当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
∵$2＞1＞0$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的增减性；函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，熟练掌握二次函数的图象性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
5. 写出抛物线 $y=2x^2, y=-2x^2, y=\frac{1}{2}x^2$ 共有的性质：
顶点坐标为$(0,0)$(答案不唯一)
。（写一条即可）答案
5. 顶点坐标为$(0,0)$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时需先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的常见性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、过定点情况、最值、增减性等，再逐一对比三个抛物线的对应性质，筛选出三者都满足的性质即可。首先可排除开口方向：$y=2x^2$、$y=\frac{1}{2}x^2$开口向上，$y=-2x^2$开口向下，不共通；再看对称轴、顶点、过定点等性质，均可找到共通点，任选其一作答即可。
【解析】
我们分别分析三个抛物线的性质：
1. 三个抛物线均为$y=ax^2$形式的二次函数，这类函数的对称轴均为直线$x=0$（即y轴）；
2. 当$x=0$时，代入三个函数均得$y=0$，因此三者的顶点坐标均为$(0,0)$，且都经过原点$(0,0)$；
3. 开口方向、最值、增减性随$a$的符号不同存在差异，不属于共有性质。
任选上述共有性质中的一条即可。
【答案】
顶点坐标为$(0,0)$（答案不唯一，对称轴为y轴、都经过原点等均正确）
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的顶点；二次函数的对称轴
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对$y=ax^2$型二次函数性质的掌握程度，解题时只要牢记不同$a$取值下该类函数的共性和差异，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时需先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的常见性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、过定点情况、最值、增减性等，再逐一对比三个抛物线的对应性质，筛选出三者都满足的性质即可。首先可排除开口方向：$y=2x^2$、$y=\frac{1}{2}x^2$开口向上，$y=-2x^2$开口向下，不共通；再看对称轴、顶点、过定点等性质，均可找到共通点，任选其一作答即可。
【解析】
我们分别分析三个抛物线的性质：
1. 三个抛物线均为$y=ax^2$形式的二次函数，这类函数的对称轴均为直线$x=0$（即y轴）；
2. 当$x=0$时，代入三个函数均得$y=0$，因此三者的顶点坐标均为$(0,0)$，且都经过原点$(0,0)$；
3. 开口方向、最值、增减性随$a$的符号不同存在差异，不属于共有性质。
任选上述共有性质中的一条即可。
【答案】
顶点坐标为$(0,0)$（答案不唯一，对称轴为y轴、都经过原点等均正确）
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的顶点；二次函数的对称轴
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对$y=ax^2$型二次函数性质的掌握程度，解题时只要牢记不同$a$取值下该类函数的共性和差异，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 如图 5-2-1,拱桥的形状是抛物线,其函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$,当水面宽 MN 为 4 m 时,拱桥顶点离水面的距离是多少米?
答案
6. 解:
∵$MN=4$,
∴点 $N$ 的横坐标为 2。
又
∵点 $N$ 在 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象上，
∴当 $x=2$ 时,$y=-\dfrac{1}{2}x^2=-2$。
∴点 $N$ 的纵坐标为 $-2$,
∴拱桥顶点离水面的距离是 2 m。
∵$MN=4$,
∴点 $N$ 的横坐标为 2。
又
∵点 $N$ 在 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 的图象上，
∴当 $x=2$ 时,$y=-\dfrac{1}{2}x^2=-2$。
∴点 $N$ 的纵坐标为 $-2$,
∴拱桥顶点离水面的距离是 2 m。
解析
【分析】
首先根据抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}x^2$可知，抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，图象关于y轴对称。已知水面宽MN为4m，结合对称性可得MN两端点到y轴的距离均为2m，即点N的横坐标为2；再将x=2代入函数解析式求出对应y值，该y值是水面位置的纵坐标，顶点纵坐标为0，二者差的绝对值就是顶点到水面的距离。
【解析】
解：
∵$MN=4\mathrm{m}$，抛物线对称轴为y轴，
∴点$N$的横坐标为$4÷2=2$，
∵点$N$在$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象上，
∴当$x=2$时，$y=-\dfrac{1}{2}×2^2=-2$，
即点$N$的纵坐标为$-2$，
∴拱桥顶点（原点）离水面的距离为$|0-(-2)|=2\mathrm{m}$。
【答案】
2米
【知识点】
二次函数图象性质、抛物线对称性、函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题关键是利用抛物线的对称性确定点的横坐标，再代入解析式求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，掌握二次函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先根据抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}x^2$可知，抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，图象关于y轴对称。已知水面宽MN为4m，结合对称性可得MN两端点到y轴的距离均为2m，即点N的横坐标为2；再将x=2代入函数解析式求出对应y值，该y值是水面位置的纵坐标，顶点纵坐标为0，二者差的绝对值就是顶点到水面的距离。
【解析】
解：
∵$MN=4\mathrm{m}$，抛物线对称轴为y轴，
∴点$N$的横坐标为$4÷2=2$，
∵点$N$在$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的图象上，
∴当$x=2$时，$y=-\dfrac{1}{2}×2^2=-2$，
即点$N$的纵坐标为$-2$，
∴拱桥顶点（原点）离水面的距离为$|0-(-2)|=2\mathrm{m}$。
【答案】
2米
【知识点】
二次函数图象性质、抛物线对称性、函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题关键是利用抛物线的对称性确定点的横坐标，再代入解析式求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，掌握二次函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 已知抛物线$y=x^2$经过点$A(a,8),B(2,b)$。
(1)在图5-2-2中画出抛物线$y=x^2$；
(2)求a和b的值；
(3)已知抛物线上两点$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，其中$0＜x_1＜x_2$，利用图象判断$y_1$与$y_2$的大小。
图5-2-2
(1)在图5-2-2中画出抛物线$y=x^2$；
(2)求a和b的值；
(3)已知抛物线上两点$C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，其中$0＜x_1＜x_2$，利用图象判断$y_1$与$y_2$的大小。
图5-2-2
答案
7. 解:(1)列表:
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
描点、连线如
所示。(2)$a=\pm2\sqrt{2},b=4$。
(3)$y_1＜y_2$。
解析
【分析】
(1) 画函数图象可采用通用的描点法，分为列表、描点、连线三步。抛物线$y=x^2$关于y轴对称、顶点在原点，因此可选取对称的x值计算对应y值，再描点用平滑曲线连接即可得到图象。
(2) 若点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此将两点坐标分别代入$y=x^2$，解方程即可求出a和b的值。
(3) 先明确$y=x^2$的增减性：它开口向上，对称轴为y轴，在$x＞0$的范围内y随x的增大而增大，结合已知$0＜x_1＜x_2$，即可直接比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 用描点法画抛物线$y=x^2$：
① 列表，选取对称的x值计算对应y值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
② 在坐标系中描出上述对应点，再用平滑曲线顺次连接，得到的图象即为$y=x^2$的图象。
(2) 将点$A(a,8)$代入$y=x^2$，得$a^2=8$，解得$a=\pm2\sqrt{2}$；
将点$B(2,b)$代入$y=x^2$，得$b=2^2=4$。
(3) 抛物线$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 列表:
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
描点、连线如所示。
(2)$a=\pm2\sqrt{2},b=4$。
(3)$y_1＜y_2$。
【知识点】
描点法画函数图象，二次函数点坐标特征，二次函数增减性
【点评】
本题围绕基础二次函数$y=x^2$设题，考查二次函数的图象画法、图象与解析式的关系及增减性的应用，属于二次函数的基础题型，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 画函数图象可采用通用的描点法，分为列表、描点、连线三步。抛物线$y=x^2$关于y轴对称、顶点在原点，因此可选取对称的x值计算对应y值，再描点用平滑曲线连接即可得到图象。
(2) 若点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此将两点坐标分别代入$y=x^2$，解方程即可求出a和b的值。
(3) 先明确$y=x^2$的增减性：它开口向上，对称轴为y轴，在$x＞0$的范围内y随x的增大而增大，结合已知$0＜x_1＜x_2$，即可直接比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 用描点法画抛物线$y=x^2$：
① 列表，选取对称的x值计算对应y值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
② 在坐标系中描出上述对应点，再用平滑曲线顺次连接，得到的图象即为$y=x^2$的图象。
(2) 将点$A(a,8)$代入$y=x^2$，得$a^2=8$，解得$a=\pm2\sqrt{2}$；
将点$B(2,b)$代入$y=x^2$，得$b=2^2=4$。
(3) 抛物线$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 列表:
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
描点、连线如
所示。(2)$a=\pm2\sqrt{2},b=4$。
(3)$y_1＜y_2$。
【知识点】
描点法画函数图象，二次函数点坐标特征，二次函数增减性
【点评】
本题围绕基础二次函数$y=x^2$设题，考查二次函数的图象画法、图象与解析式的关系及增减性的应用，属于二次函数的基础题型，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 已知抛物线 $y=-x^2$。
(1) 当 $-5≤ x≤ -2$ 时，求 $y$ 的取值范围；
(2) 当 $-1＜ x＜ 2$ 时，求 $y$ 的取值范围。
二、拓展性作业
9. 我们已经研究了一次函数 $y=x$ 和二次函数 $y=x^2$ 的图象，现在用相同的方法研究 $y=x^n$（$n$ 为整数）的图象，并对图象性质进行总结。
(1) 当 $n=-1$ 时，我们对函数 $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 的图象展开探究，其中自变量满足 $x≠0$，通过“列表、描点、连线”的步骤绘制函数图象，可根据表5-2-1中已确定的点的坐标在图5-2-3中完成图象绘制。
表5-2-1
(2) 当 $n=3$ 时，我们对函数 $y=x^3$ 的图象展开探究，其中自变量可以取任意实数，通过“列表、描点、连线”的步骤绘制函数图象，可根据表5-2-2中已确定的点的坐标在图5-2-4中完成图象绘制。
表5-2-2
(3) 分别总结 $n=-1,1,2,3$ 时的函数图象性质，请填写表5-2-3。
表5-2-3
(4) 拓展：对于四个函数 $y=x^{-2}, y=x^{-3}, y=x^4, y=x^5$ 和如图5-2-5所示的四个函数图象，$y=x^{-2}$ 对应的图象是
图5-2-5
(5) 归纳：写出函数 $y=x^n$（$n$ 为整数）的图象的两条性质。
(1) 当 $-5≤ x≤ -2$ 时，求 $y$ 的取值范围；
(2) 当 $-1＜ x＜ 2$ 时，求 $y$ 的取值范围。
二、拓展性作业
9. 我们已经研究了一次函数 $y=x$ 和二次函数 $y=x^2$ 的图象，现在用相同的方法研究 $y=x^n$（$n$ 为整数）的图象，并对图象性质进行总结。
(1) 当 $n=-1$ 时，我们对函数 $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 的图象展开探究，其中自变量满足 $x≠0$，通过“列表、描点、连线”的步骤绘制函数图象，可根据表5-2-1中已确定的点的坐标在图5-2-3中完成图象绘制。
表5-2-1
(2) 当 $n=3$ 时，我们对函数 $y=x^3$ 的图象展开探究，其中自变量可以取任意实数，通过“列表、描点、连线”的步骤绘制函数图象，可根据表5-2-2中已确定的点的坐标在图5-2-4中完成图象绘制。
表5-2-2
(3) 分别总结 $n=-1,1,2,3$ 时的函数图象性质，请填写表5-2-3。
表5-2-3
(4) 拓展：对于四个函数 $y=x^{-2}, y=x^{-3}, y=x^4, y=x^5$ 和如图5-2-5所示的四个函数图象，$y=x^{-2}$ 对应的图象是
②
；$y=x^{-3}$ 对应的图象是①
；$y=x^4$ 对应的图象是④
；$y=x^5$ 对应的图象是③
。（填序号）图5-2-5
(5) 归纳：写出函数 $y=x^n$（$n$ 为整数）的图象的两条性质。
答案
8. 解:(1)
∵当$-5≤x≤-2$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
∴当 $x=-5$ 时,$y_{最小}=-x^2=-(-5)^2=-25$；
当 $x=-2$ 时,$y_{最大}=-x^2=-(-2)^2=-4$。
∴当$-5≤x≤-2$时,$y$ 的取值范围为$-25≤y≤-4$。
(2)
∵当$-1＜x≤0$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大,当$0＜x＜2$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
∴当 $x=2$ 时,$y_{最小}=-x^2=-2^2=-4$。
∵$x$ 取不到 2,
∴$y$ 取不到 $-4$。
当 $x=0$ 时,$y_{最大}=-x^2=-0^2=0$。
∴当$-1＜x＜2$时,$y$ 的取值范围为$-4＜y≤0$。
9. 解:(1)略
(2)略
(3)一、三 原点 一、三 原点
(4)② ① ④ ③
(5)函数 $y=x^n$($n$ 为整数)的图象的性质：
①当 $n$ 为奇数时,图象关于原点对称;当 $n$ 为偶数时,图象关于 $y$ 轴对称。
②当 $n(n＞0)$ 为偶数时,$y≥0$。(答案不唯一)
∵当$-5≤x≤-2$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大，
∴当 $x=-5$ 时,$y_{最小}=-x^2=-(-5)^2=-25$；
当 $x=-2$ 时,$y_{最大}=-x^2=-(-2)^2=-4$。
∴当$-5≤x≤-2$时,$y$ 的取值范围为$-25≤y≤-4$。
(2)
∵当$-1＜x≤0$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大,当$0＜x＜2$时,$y$ 的值随着 $x$ 值的增大而减小，
∴当 $x=2$ 时,$y_{最小}=-x^2=-2^2=-4$。
∵$x$ 取不到 2,
∴$y$ 取不到 $-4$。
当 $x=0$ 时,$y_{最大}=-x^2=-0^2=0$。
∴当$-1＜x＜2$时,$y$ 的取值范围为$-4＜y≤0$。
9. 解:(1)略
(2)略
(3)一、三 原点 一、三 原点
(4)② ① ④ ③
(5)函数 $y=x^n$($n$ 为整数)的图象的性质：
①当 $n$ 为奇数时,图象关于原点对称;当 $n$ 为偶数时,图象关于 $y$ 轴对称。
②当 $n(n＞0)$ 为偶数时,$y≥0$。(答案不唯一)
解析
【分析】
针对第8题：抛物线$y=-x^2$开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。求给定$x$区间的$y$取值范围时，先判断区间和对称轴的位置关系，再结合增减性找最值，同时注意区间端点是否可取。针对第9题：研究幂函数$y=x^n$（$n$为整数）时，可从对称性、所在象限、过定点等角度分析：$n$为奇数时图象关于原点对称，$n$为偶数时图象关于$y$轴对称；$n＞0$时图象过原点和$(1,1)$，$n＜0$时$x≠0$，图象过$(1,1)$且与坐标轴无交点，据此判断对应图象、总结性质即可。
【解析】
8. 解答
(1) 当$-5≤x≤-2$时，区间在对称轴$x=0$左侧，$y$随$x$的增大而增大：
当$x=-5$时，$y_{最小}=-(-5)^2=-25$；
当$x=-2$时，$y_{最大}=-(-2)^2=-4$；
因此$y$的取值范围为$-25≤y≤-4$。
(2) 当$-1＜x＜2$时，区间跨过对称轴$x=0$：
当$-1＜x≤0$时，$y$随$x$增大而增大；当$0＜x＜2$时，$y$随$x$增大而减小；
当$x=0$时，$y_{最大}=-0^2=0$；
当$x=2$时，$y=-2^2=-4$，由于$x$取不到2，故$y$取不到$-4$；
因此$y$的取值范围为$-4＜y≤0$。
9. 解答
(1) 根据表格坐标依次描点，用平滑曲线连接即可，注意$x≠0$，图象分为两支。
(2) 根据表格坐标依次描点，用平滑曲线连接即可，自变量取全体实数，图象连续。
(3) $n=1$时$y=x$是正比例函数，图象过一、三象限，关于原点对称；$n=3$时$y=x^3$是奇函数，图象过一、三象限，关于原点对称，故依次填：一、三；原点；一、三；原点。
(4) $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，$x≠0$，$y$恒为正，图象关于$y$轴对称，对应②；$y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$，$x≠0$，$x$与$y$同号，图象关于原点对称，对应①；$y=x^4$，$x$取全体实数，$y≥0$，图象关于$y$轴对称、过原点，对应④；$y=x^5$是奇函数，图象关于原点对称、过原点，对应③。
(5) 性质可从对称性、取值范围、过定点等角度总结，合理即可。
【答案】
8. (1) $\boldsymbol{-25≤y≤-4}$；(2) $\boldsymbol{-4＜y≤0}$
9. (1) 略；(2) 略；(3) 一、三；原点；一、三；原点；(4) $\boldsymbol{②}$；$\boldsymbol{①}$；$\boldsymbol{④}$；$\boldsymbol{③}$；(5) 示例：①当$n$为奇数时，图象关于原点对称；当$n$为偶数时，图象关于$y$轴对称。②当$n＞0$且为偶数时，$y≥0$（答案合理即可）
【知识点】
二次函数增减性；幂函数的性质；函数图象绘制
【点评】
这组题考查二次函数区间最值求解和幂函数性质探究，既需要熟练运用函数增减性分析取值范围，也需要掌握从特殊到一般归纳函数性质的方法，是函数模块的基础题型，对后续函数学习有重要铺垫作用。
【难度系数】
0.7
针对第8题：抛物线$y=-x^2$开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。求给定$x$区间的$y$取值范围时，先判断区间和对称轴的位置关系，再结合增减性找最值，同时注意区间端点是否可取。针对第9题：研究幂函数$y=x^n$（$n$为整数）时，可从对称性、所在象限、过定点等角度分析：$n$为奇数时图象关于原点对称，$n$为偶数时图象关于$y$轴对称；$n＞0$时图象过原点和$(1,1)$，$n＜0$时$x≠0$，图象过$(1,1)$且与坐标轴无交点，据此判断对应图象、总结性质即可。
【解析】
8. 解答
(1) 当$-5≤x≤-2$时，区间在对称轴$x=0$左侧，$y$随$x$的增大而增大：
当$x=-5$时，$y_{最小}=-(-5)^2=-25$；
当$x=-2$时，$y_{最大}=-(-2)^2=-4$；
因此$y$的取值范围为$-25≤y≤-4$。
(2) 当$-1＜x＜2$时，区间跨过对称轴$x=0$：
当$-1＜x≤0$时，$y$随$x$增大而增大；当$0＜x＜2$时，$y$随$x$增大而减小；
当$x=0$时，$y_{最大}=-0^2=0$；
当$x=2$时，$y=-2^2=-4$，由于$x$取不到2，故$y$取不到$-4$；
因此$y$的取值范围为$-4＜y≤0$。
9. 解答
(1) 根据表格坐标依次描点，用平滑曲线连接即可，注意$x≠0$，图象分为两支。
(2) 根据表格坐标依次描点，用平滑曲线连接即可，自变量取全体实数，图象连续。
(3) $n=1$时$y=x$是正比例函数，图象过一、三象限，关于原点对称；$n=3$时$y=x^3$是奇函数，图象过一、三象限，关于原点对称，故依次填：一、三；原点；一、三；原点。
(4) $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，$x≠0$，$y$恒为正，图象关于$y$轴对称，对应②；$y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$，$x≠0$，$x$与$y$同号，图象关于原点对称，对应①；$y=x^4$，$x$取全体实数，$y≥0$，图象关于$y$轴对称、过原点，对应④；$y=x^5$是奇函数，图象关于原点对称、过原点，对应③。
(5) 性质可从对称性、取值范围、过定点等角度总结，合理即可。
【答案】
8. (1) $\boldsymbol{-25≤y≤-4}$；(2) $\boldsymbol{-4＜y≤0}$
9. (1) 略；(2) 略；(3) 一、三；原点；一、三；原点；(4) $\boldsymbol{②}$；$\boldsymbol{①}$；$\boldsymbol{④}$；$\boldsymbol{③}$；(5) 示例：①当$n$为奇数时，图象关于原点对称；当$n$为偶数时，图象关于$y$轴对称。②当$n＞0$且为偶数时，$y≥0$（答案合理即可）
【知识点】
二次函数增减性；幂函数的性质；函数图象绘制
【点评】
这组题考查二次函数区间最值求解和幂函数性质探究，既需要熟练运用函数增减性分析取值范围，也需要掌握从特殊到一般归纳函数性质的方法，是函数模块的基础题型，对后续函数学习有重要铺垫作用。
【难度系数】
0.7
