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1. 函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$的自变量$x$的取值范围是（
A.$x≥1$
B.$x≠2$
C.$x＞1$且$x≠2$
D.$x≥1$且$x≠2$
D
）A.$x≥1$
B.$x≠2$
C.$x＞1$且$x≠2$
D.$x≥1$且$x≠2$
答案
D
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需结合函数表达式的结构提取限制条件：首先表达式含二次根式，被开方数必须是非负数才能保证二次根式有意义；其次表达式是分式，分母不能为0才能保证分式有意义，最终取两个限制条件的公共解集即可。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，核心考查代数式有意义的条件的应用，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，取多个条件的公共解集即为最终自变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
要确定函数自变量的取值范围，需结合函数表达式的结构提取限制条件：首先表达式含二次根式，被开方数必须是非负数才能保证二次根式有意义；其次表达式是分式，分母不能为0才能保证分式有意义，最终取两个限制条件的公共解集即可。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，核心考查代数式有意义的条件的应用，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，取多个条件的公共解集即为最终自变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
2.一根弹簧原长12cm，它所挂的物体质量不能超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，则挂重后弹簧长度$y(\mathrm{cm})$与所挂物体质量$x(\mathrm{kg})$之间的函数表达式是（
A.$y=1.5(x+12)(0≤ x≤10)$
B.$y=1.5x+12(0≤ x≤10)$
C.$y=1.5x+12(x≥0)$
D.$y=1.5(x-12)(0≤ x≤10)$
B
）A.$y=1.5(x+12)(0≤ x≤10)$
B.$y=1.5x+12(0≤ x≤10)$
C.$y=1.5x+12(x≥0)$
D.$y=1.5(x-12)(0≤ x≤10)$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确弹簧挂重后的长度构成：总长度=弹簧原长+挂重后弹簧的伸长量。第一步先计算伸长量：已知每挂1kg物体弹簧伸长1.5cm，那么挂x kg物体时，伸长量为1.5x cm；第二步将伸长量加原长12cm，即可得到y与x的关系式；第三步确定自变量x的取值范围：物体质量不能为负，且题目明确挂重不能超过10kg，因此x的取值范围是0≤x≤10，最后对应选项筛选即可得到正确答案。
【解析】
首先，根据弹簧伸长的规律，挂x kg物体时弹簧的伸长量为：$1.5× x=1.5x$（cm）
弹簧挂重后的总长度=原长+伸长量，已知原长为12cm，因此：
$y=12+1.5x$，即$y=1.5x+12$
再确定自变量x的取值范围：
∵ 物体质量不能为负数，且所挂物体质量不能超过10kg
∴ $0≤ x≤10$
综上，函数表达式为$y=1.5x+12(0≤ x≤10)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一次函数表达式
2. 函数自变量取值范围确定
【点评】
这道题是结合生活实际的一次函数基础题，解题核心是找准“总长度=原长+伸长量”的等量关系，同时要注意结合实际限制确定自变量的取值范围，避免忽略挂重上限错选C选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确弹簧挂重后的长度构成：总长度=弹簧原长+挂重后弹簧的伸长量。第一步先计算伸长量：已知每挂1kg物体弹簧伸长1.5cm，那么挂x kg物体时，伸长量为1.5x cm；第二步将伸长量加原长12cm，即可得到y与x的关系式；第三步确定自变量x的取值范围：物体质量不能为负，且题目明确挂重不能超过10kg，因此x的取值范围是0≤x≤10，最后对应选项筛选即可得到正确答案。
【解析】
首先，根据弹簧伸长的规律，挂x kg物体时弹簧的伸长量为：$1.5× x=1.5x$（cm）
弹簧挂重后的总长度=原长+伸长量，已知原长为12cm，因此：
$y=12+1.5x$，即$y=1.5x+12$
再确定自变量x的取值范围：
∵ 物体质量不能为负数，且所挂物体质量不能超过10kg
∴ $0≤ x≤10$
综上，函数表达式为$y=1.5x+12(0≤ x≤10)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一次函数表达式
2. 函数自变量取值范围确定
【点评】
这道题是结合生活实际的一次函数基础题，解题核心是找准“总长度=原长+伸长量”的等量关系，同时要注意结合实际限制确定自变量的取值范围，避免忽略挂重上限错选C选项。
【难度系数】
0.8
3.如图，数轴上表示的是某个函数的自变量的取值范围，则这个函数的表达式可能是（
A.$y=x+2$
B.$y=x^2+2$
C.$y=\sqrt{x+2}$
D.$y=\frac{1}{x+2}$
C
）A.$y=x+2$
B.$y=x^2+2$
C.$y=\sqrt{x+2}$
D.$y=\frac{1}{x+2}$
答案
C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先观察数轴，确定数轴表示的自变量x的取值范围：-2处是实心点，折线向右，说明x≥-2；第二步分别求出四个选项中函数的自变量取值范围，要结合不同类型函数的取值规则：整式的自变量取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0；第三步将各选项的范围和x≥-2对比，匹配的即为正确答案。
【解析】
首先根据数轴得自变量的取值范围是$\boldsymbol{x≥ -2}$，再逐个分析选项：
选项A：$y=x+2$是整式函数，自变量x可取全体实数，不符合要求；
选项B：$y=x^2+2$是整式函数，自变量x可取全体实数，不符合要求；
选项C：$y=\sqrt{x+2}$是二次根式型函数，要求被开方数非负，即$x+2≥0$，解得$x≥-2$，和数轴表示的范围一致，符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x+2}$是分式型函数，要求分母不为0，即$x+2≠0$，解得$x≠-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数自变量取值范围
2. 二次根式有意义的条件
3. 数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础题型，核心考查不同类型函数自变量取值范围的求解方法，需要学生熟练掌握整式、分式、二次根式有意义的条件，再结合数轴的解集对比即可得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步先观察数轴，确定数轴表示的自变量x的取值范围：-2处是实心点，折线向右，说明x≥-2；第二步分别求出四个选项中函数的自变量取值范围，要结合不同类型函数的取值规则：整式的自变量取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0；第三步将各选项的范围和x≥-2对比，匹配的即为正确答案。
【解析】
首先根据数轴得自变量的取值范围是$\boldsymbol{x≥ -2}$，再逐个分析选项：
选项A：$y=x+2$是整式函数，自变量x可取全体实数，不符合要求；
选项B：$y=x^2+2$是整式函数，自变量x可取全体实数，不符合要求；
选项C：$y=\sqrt{x+2}$是二次根式型函数，要求被开方数非负，即$x+2≥0$，解得$x≥-2$，和数轴表示的范围一致，符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x+2}$是分式型函数，要求分母不为0，即$x+2≠0$，解得$x≠-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 函数自变量取值范围
2. 二次根式有意义的条件
3. 数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础题型，核心考查不同类型函数自变量取值范围的求解方法，需要学生熟练掌握整式、分式、二次根式有意义的条件，再结合数轴的解集对比即可得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示，在$△ ABC$中，已知$BC=16$，高线$AD=10$，动点$C'$由点$C$沿$CB$向点$B$移动（不与点$B$重合），设$CC'$的长为$x$，$△ ABC'$的面积为$S$，则$S$关于$x$的关系式为（
A.$S=80-5x$
B.$S=5x$
C.$S=10x$
D.$S=5x+80$
A
）A.$S=80-5x$
B.$S=5x$
C.$S=10x$
D.$S=5x+80$
答案
A
解析
【分析】
要推导S与x的关系式，首先回忆三角形面积公式：$S_{△}=\frac{1}{2}×底×高$。本题中AD是BC边上的高线，长度固定为10，因此△ABC'的高为定值10，只需先表示出△ABC'的底边长。已知BC总长为16，CC'的长为x，因此BC'的长度为$16-x$，再代入面积公式计算即可得到关系式。
【解析】
由题意可知：
△ABC'的底$BC' = BC - CC' = 16 - x$，
△ABC'的高为AD，即高为10，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× BC'× AD=\frac{1}{2}×(16 - x)×10$
计算得：$S = 5×(16 - x)=80 - 5x$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住动点移动过程中高不变的隐含条件，准确表示出变化后的底边长，再代入面积公式计算即可，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
要推导S与x的关系式，首先回忆三角形面积公式：$S_{△}=\frac{1}{2}×底×高$。本题中AD是BC边上的高线，长度固定为10，因此△ABC'的高为定值10，只需先表示出△ABC'的底边长。已知BC总长为16，CC'的长为x，因此BC'的长度为$16-x$，再代入面积公式计算即可得到关系式。
【解析】
由题意可知：
△ABC'的底$BC' = BC - CC' = 16 - x$，
△ABC'的高为AD，即高为10，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× BC'× AD=\frac{1}{2}×(16 - x)×10$
计算得：$S = 5×(16 - x)=80 - 5x$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住动点移动过程中高不变的隐含条件，准确表示出变化后的底边长，再代入面积公式计算即可，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
5.在如图所示的数值转换机中，当输入$x=-5$时，输出的$y$值是（
A.26
B.－13
C.－24
D.71
B
）A.26
B.－13
C.－24
D.71
答案
B
解析
【分析】
这是分段函数的数值转换问题，解题思路分三步：①先判断输入的x值所在的取值范围；②根据x的范围选择对应的函数解析式；③将x的值代入所选解析式计算，即可得到输出的y值。本题输入x=-5，先判断-5＜0，因此应选择x＜0时对应的函数式y=2x-3来计算。
【解析】
第一步：判断输入x的取值范围，已知输入x=-5，$\because -5＜0$，
第二步：选择对应函数解析式，应选用$y=2x-3$计算，
第三步：代入$x=-5$计算：
$y=2×(-5)-3=-10-3=-13$。
【答案】
B
【知识点】
分段函数求值，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据自变量的取值匹配对应的函数关系式，再代入计算，主要考查学生的审题能力和基础计算能力，细心判断取值范围即可得分。
【难度系数】
0.9
这是分段函数的数值转换问题，解题思路分三步：①先判断输入的x值所在的取值范围；②根据x的范围选择对应的函数解析式；③将x的值代入所选解析式计算，即可得到输出的y值。本题输入x=-5，先判断-5＜0，因此应选择x＜0时对应的函数式y=2x-3来计算。
【解析】
第一步：判断输入x的取值范围，已知输入x=-5，$\because -5＜0$，
第二步：选择对应函数解析式，应选用$y=2x-3$计算，
第三步：代入$x=-5$计算：
$y=2×(-5)-3=-10-3=-13$。
【答案】
B
【知识点】
分段函数求值，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据自变量的取值匹配对应的函数关系式，再代入计算，主要考查学生的审题能力和基础计算能力，细心判断取值范围即可得分。
【难度系数】
0.9
6.三角形三边长为3cm，4cm，x cm，则三角形的周长 y(cm)与x(cm)的函数表达式以及自变量x的取值范围为
$y=7+x(1＜x＜7)$
。答案
$y=7+x(1＜x＜7)$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据三角形周长的定义，周长是三条边长的总和，将三边长度相加即可得到y与x的函数表达式；第二步，自变量x作为三角形的边长，需要满足三角形三边关系，即第三边长度大于另外两边的差、小于另外两边的和，据此求出x的合法取值范围，保证能构成三角形。
【解析】
1. 列函数表达式：
三角形周长等于三边之和，因此$y = 3 + 4 + x$，整理得$y = x + 7$。
2. 求自变量x的取值范围：
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$4 - 3 ＜ x ＜ 4 + 3$
计算得$1 ＜ x ＜ 7$。
综上，函数表达式及自变量取值范围为$y=7+x(1＜x＜7)$。
【答案】
$y=7+x(1＜x＜7)$
【知识点】
三角形三边关系、函数表达式列写、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，重点考查几何量的函数关系建立，易错点是容易忽略三角形三边关系对边长的限制，仅考虑x＞0，解题时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据三角形周长的定义，周长是三条边长的总和，将三边长度相加即可得到y与x的函数表达式；第二步，自变量x作为三角形的边长，需要满足三角形三边关系，即第三边长度大于另外两边的差、小于另外两边的和，据此求出x的合法取值范围，保证能构成三角形。
【解析】
1. 列函数表达式：
三角形周长等于三边之和，因此$y = 3 + 4 + x$，整理得$y = x + 7$。
2. 求自变量x的取值范围：
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$4 - 3 ＜ x ＜ 4 + 3$
计算得$1 ＜ x ＜ 7$。
综上，函数表达式及自变量取值范围为$y=7+x(1＜x＜7)$。
【答案】
$y=7+x(1＜x＜7)$
【知识点】
三角形三边关系、函数表达式列写、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，重点考查几何量的函数关系建立，易错点是容易忽略三角形三边关系对边长的限制，仅考虑x＞0，解题时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
7.要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用24m长的篱笆围成另外三边。菜园为如图所示的长方形ABCD。为了方便进出，在BC边上留了一个1m宽的小门。设BC边的长为x m，AB边的长为y m，则y与x之间的关系式是
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
。答案
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确篱笆围的是AB、CD、BC三边，BC边上1m宽的小门无需围篱笆，因此BC段实际使用的篱笆长度为(x-1)m。根据长方形对边相等可知AB=CD=y，再结合篱笆总长度为24m的条件，即可列出关于x和y的等量关系，最后整理得到y与x的函数关系式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD=y m，
∵ BC边长为x m，BC边有1m宽的小门，
∴ 围三边所用的篱笆总长可表示为：$2y + (x - 1) = 24$，
整理等式：
$2y = 24 + 1 - x$
$2y = 25 - x$
两边同时除以2得：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
【知识点】
列函数解析式；长方形的性质；实际问题等量分析
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，解题的核心是准确理解小门对篱笆用量的影响，正确梳理出各边长度和篱笆总长的等量关系，易错点是容易误将小门宽度按加1计算，只要理清题意就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确篱笆围的是AB、CD、BC三边，BC边上1m宽的小门无需围篱笆，因此BC段实际使用的篱笆长度为(x-1)m。根据长方形对边相等可知AB=CD=y，再结合篱笆总长度为24m的条件，即可列出关于x和y的等量关系，最后整理得到y与x的函数关系式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AB=CD=y m，
∵ BC边长为x m，BC边有1m宽的小门，
∴ 围三边所用的篱笆总长可表示为：$2y + (x - 1) = 24$，
整理等式：
$2y = 24 + 1 - x$
$2y = 25 - x$
两边同时除以2得：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{25}{2}$
【知识点】
列函数解析式；长方形的性质；实际问题等量分析
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，解题的核心是准确理解小门对篱笆用量的影响，正确梳理出各边长度和篱笆总长的等量关系，易错点是容易误将小门宽度按加1计算，只要理清题意就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
