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8. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化。某校科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
(1)声音在空气中的传播速度$v(\mathrm{m/s})$与气温$t(°\mathrm{C})$的关系式可以表示为
(2)某日的气温为$20°\mathrm{C}$，小乐看到烟花燃放$4\mathrm{s}$后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
(1)声音在空气中的传播速度$v(\mathrm{m/s})$与气温$t(°\mathrm{C})$的关系式可以表示为
$v=0.6t+331$
。(2)某日的气温为$20°\mathrm{C}$，小乐看到烟花燃放$4\mathrm{s}$后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
答案
(1)由题意得,气温每上升$1℃$声音在空气中的传播速度增大$0.6\mathrm{m/s}$,所以声音在空气中的传播速度$v(\mathrm{m/s})$与气温$t(℃)$的关系式可以表示为$v=0.6t+331$。
(2)$(0.6×20+331)×4=(12+331)×4=343×4=1372(\mathrm{m})$,答:小乐与燃放烟花所在地大约相距$1372\mathrm{m}$远。
(2)$(0.6×20+331)×4=(12+331)×4=343×4=1372(\mathrm{m})$,答:小乐与燃放烟花所在地大约相距$1372\mathrm{m}$远。
解析
【分析】
(1)要推导声速v和气温t的关系式，先观察表格数据：气温每升高1℃，声速就增加0.6m/s，说明二者是一次函数关系，符合一次函数$v=kt+b$的形式。已知$t=0$时$v=331m/s$，可得$b=331$，单位温度对应的速度增量就是k的值，代入即可得到关系式。
(2)求小乐与烟花所在地的距离时，由于光速远大于声速，光传播的时间可忽略，因此看到烟花后到听到声响的时间就是声音传播的时间。先将$t=20℃$代入第一问得到的关系式求出对应声速，再根据“路程=速度×时间”计算距离即可。
【解析】
(1)观察表格数据可得，气温每上升$1℃$，声音在空气中的传播速度增大$0.6m/s$，且$0℃$时声速为$331m/s$，因此声速$v$与气温$t$的关系式为：
$v=0.6t+331$
(2)当气温$t=20℃$时，代入关系式计算此时的声速：
$v=0.6×20+331=343\mathrm{m/s}$
根据路程公式$s=vt$，已知声音传播时间为$4\mathrm{s}$，则小乐与燃放烟花所在地的距离为：
$s=343×4=1372\mathrm{m}$
【答案】
(1)$v=0.6t+331$
(2)$1372\mathrm{m}$
【知识点】
一次函数应用，路程计算，数据规律探究
【点评】
本题结合生活场景，考查从表格数据中提取规律建立函数关系式、应用函数关系式解决实际问题的能力，将数学知识与生活常识结合，实用性较强。
【难度系数】
0.8
(1)要推导声速v和气温t的关系式，先观察表格数据：气温每升高1℃，声速就增加0.6m/s，说明二者是一次函数关系，符合一次函数$v=kt+b$的形式。已知$t=0$时$v=331m/s$，可得$b=331$，单位温度对应的速度增量就是k的值，代入即可得到关系式。
(2)求小乐与烟花所在地的距离时，由于光速远大于声速，光传播的时间可忽略，因此看到烟花后到听到声响的时间就是声音传播的时间。先将$t=20℃$代入第一问得到的关系式求出对应声速，再根据“路程=速度×时间”计算距离即可。
【解析】
(1)观察表格数据可得，气温每上升$1℃$，声音在空气中的传播速度增大$0.6m/s$，且$0℃$时声速为$331m/s$，因此声速$v$与气温$t$的关系式为：
$v=0.6t+331$
(2)当气温$t=20℃$时，代入关系式计算此时的声速：
$v=0.6×20+331=343\mathrm{m/s}$
根据路程公式$s=vt$，已知声音传播时间为$4\mathrm{s}$，则小乐与燃放烟花所在地的距离为：
$s=343×4=1372\mathrm{m}$
【答案】
(1)$v=0.6t+331$
(2)$1372\mathrm{m}$
【知识点】
一次函数应用，路程计算，数据规律探究
【点评】
本题结合生活场景，考查从表格数据中提取规律建立函数关系式、应用函数关系式解决实际问题的能力，将数学知识与生活常识结合，实用性较强。
【难度系数】
0.8
9.某花园护栏由直径为80cm的半圆形条钢组合而成，且每增加一根半圆形条钢，护栏长度增加a(cm)(a＞0)。设半圆形条钢的根数为x(x为正整数)，护栏总长度为y(cm)。
当a=60时，用含x的式子表示y，为
当a=60时，用含x的式子表示y，为
$y=60x+20$
；其中变量是$x,y$
，常量是$60,20$
。答案
$y=60x+20$，变量是$x,y$，常量是$60,20$
解析
【分析】
解题时首先理清护栏总长度的构成：1根半圆形条钢时，护栏长度为半圆的直径80cm；每增加1根条钢，护栏长度增加a cm，因此x根条钢时，比1根时多了(x-1)根，增加的总长度为a(x-1)cm，由此可列出总长度y的表达式，再代入a=60化简。随后根据变量、常量的定义区分即可：变量是数值发生变化的量，常量是数值固定不变的量。
【解析】
1. 推导总长度表达式：
当x=1时，护栏长度为初始的半圆直径，即$ y=80\ \mathrm{cm} $；
每增加1根条钢，长度增加a cm，x根条钢时，总长度为初始长度加上(x-1)次增加的长度，可得：
$ y = 80 + a(x-1) $
2. 代入a=60化简：
将a=60代入上式，展开计算得：
$ y = 80 + 60(x-1) = 80 + 60x - 60 = 60x + 20 $
3. 区分常量与变量：
关系式$ y=60x+20 $中，条钢根数x、护栏总长度y的取值可以变化，为变量；60、20的数值固定不变，为常量。
【答案】
$ y=60x+20 $；变量是$ x,y $，常量是$ 60,20 $
【知识点】
列代数式；常量与变量的识别
【点评】
本题结合实际场景考查列代数式以及常量、变量的区分，解题关键是理清总长度和条钢根数的数量关系，需注意增量对应的是(x-1)个a，而非x个a，属于基础题型，掌握相关概念即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先理清护栏总长度的构成：1根半圆形条钢时，护栏长度为半圆的直径80cm；每增加1根条钢，护栏长度增加a cm，因此x根条钢时，比1根时多了(x-1)根，增加的总长度为a(x-1)cm，由此可列出总长度y的表达式，再代入a=60化简。随后根据变量、常量的定义区分即可：变量是数值发生变化的量，常量是数值固定不变的量。
【解析】
1. 推导总长度表达式：
当x=1时，护栏长度为初始的半圆直径，即$ y=80\ \mathrm{cm} $；
每增加1根条钢，长度增加a cm，x根条钢时，总长度为初始长度加上(x-1)次增加的长度，可得：
$ y = 80 + a(x-1) $
2. 代入a=60化简：
将a=60代入上式，展开计算得：
$ y = 80 + 60(x-1) = 80 + 60x - 60 = 60x + 20 $
3. 区分常量与变量：
关系式$ y=60x+20 $中，条钢根数x、护栏总长度y的取值可以变化，为变量；60、20的数值固定不变，为常量。
【答案】
$ y=60x+20 $；变量是$ x,y $，常量是$ 60,20 $
【知识点】
列代数式；常量与变量的识别
【点评】
本题结合实际场景考查列代数式以及常量、变量的区分，解题关键是理清总长度和条钢根数的数量关系，需注意增量对应的是(x-1)个a，而非x个a，属于基础题型，掌握相关概念即可正确解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示的图案由边长相等的黑、白两色的正方形按一定规律拼接而成，设第n个图案中白色正方形的个数为S。
(1) S是n的函数吗？如果是，请写出S与n之间的关系。
(2) 是否存在这样的图案，使白色正方形的个数为2023？如果存在，请指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
(1) S是n的函数吗？如果是，请写出S与n之间的关系。
(2) 是否存在这样的图案，使白色正方形的个数为2023？如果存在，请指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
答案
(1)$S$是$n$的函数,当$n=1$时,$S=8=5×1+3$;当$n=2$时,$S=13=5×2+3$;当$n=3$时,$S=18=5×3+3······$所以$S=5n+3$。
(2)存在;令$S=2023$,则$5n+3=2023$,解得$n=404$,所以存在第404个这样的图案,使白色正方形的个数为2023。
(2)存在;令$S=2023$,则$5n+3=2023$,解得$n=404$,所以存在第404个这样的图案,使白色正方形的个数为2023。
解析
【分析】
(1) 先依据函数定义判断：变化过程中，对n的每一个确定值，S都有唯一确定的值对应，即可判断S是否为n的函数。再通过计算前3个图案的白色正方形个数，观察数值变化规律，推导S和n的通用关系式。
(2) 要判断是否存在白色正方形个数为2023的图案，只需将S=2023代入第一问得到的关系式求解n，若n为正整数则存在，反之不存在。
【解析】
(1) 对每一个确定的n，都有唯一确定的S与之对应，因此S是n的函数。
计算前3个图案的白色正方形个数：
第1个图案：总格子数为$3×3=9$，黑色正方形1个，$S=9-1=8=5×1+3$
第2个图案：总格子数为$3×5=15$，黑色正方形2个，$S=15-2=13=5×2+3$
第3个图案：总格子数为$3×7=21$，黑色正方形3个，$S=21-3=18=5×3+3$
综上可推出第n个图案的白色正方形个数：$S=5n+3$。
(2) 存在，理由如下：
令$S=2023$，代入$S=5n+3$得方程：
$5n+3=2023$
移项计算得$5n=2020$，解得$n=404$，n为正整数，符合图案的序号要求。
【答案】
(1) $S$是$n$的函数，$S=5n+3$；
(2) 存在，是第404个图案。
【知识点】
函数的定义，图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合图形变化考查函数概念、规律归纳能力和方程的应用，解题核心是准确观察图形变化特征，总结出白色正方形个数的通用表达式，再代入计算验证即可。
【难度系数】
0.7
(1) 先依据函数定义判断：变化过程中，对n的每一个确定值，S都有唯一确定的值对应，即可判断S是否为n的函数。再通过计算前3个图案的白色正方形个数，观察数值变化规律，推导S和n的通用关系式。
(2) 要判断是否存在白色正方形个数为2023的图案，只需将S=2023代入第一问得到的关系式求解n，若n为正整数则存在，反之不存在。
【解析】
(1) 对每一个确定的n，都有唯一确定的S与之对应，因此S是n的函数。
计算前3个图案的白色正方形个数：
第1个图案：总格子数为$3×3=9$，黑色正方形1个，$S=9-1=8=5×1+3$
第2个图案：总格子数为$3×5=15$，黑色正方形2个，$S=15-2=13=5×2+3$
第3个图案：总格子数为$3×7=21$，黑色正方形3个，$S=21-3=18=5×3+3$
综上可推出第n个图案的白色正方形个数：$S=5n+3$。
(2) 存在，理由如下：
令$S=2023$，代入$S=5n+3$得方程：
$5n+3=2023$
移项计算得$5n=2020$，解得$n=404$，n为正整数，符合图案的序号要求。
【答案】
(1) $S$是$n$的函数，$S=5n+3$；
(2) 存在，是第404个图案。
【知识点】
函数的定义，图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合图形变化考查函数概念、规律归纳能力和方程的应用，解题核心是准确观察图形变化特征，总结出白色正方形个数的通用表达式，再代入计算验证即可。
【难度系数】
0.7
