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8. 求下列函数自变量的取值范围：
(1)$y=\dfrac{2}{x+1}$。
(2)$y=\dfrac{1-x}{3}$。
(3)$y=\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}$。
(4)$y=-\sqrt{x}$。
(1)$y=\dfrac{2}{x+1}$。
(2)$y=\dfrac{1-x}{3}$。
(3)$y=\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}$。
(4)$y=-\sqrt{x}$。
答案
(1)$x≠-1$
(2)$x$可取任意实数
(3)$x≠1$且$x≠-2$
(4)$x≥0$
(2)$x$可取任意实数
(3)$x≠1$且$x≠-2$
(4)$x≥0$
解析
【分析】
求函数自变量的取值范围，核心是保证函数表达式有意义，需牢记三类常见规则：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数。对应每个小题逐一判断类型后套用规则即可：(1)是分式，只需令分母不为0；(2)是整式，无额外限制；(3)是分式，分母为两个因式的乘积，两个因式都不能为0；(4)含二次根式，令被开方数≥0即可。
【解析】
(1) $y=\dfrac{2}{x+1}$为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，可得：
$x+1≠ 0$，解得$x≠ -1$。
(2) $y=\dfrac{1-x}{3}$是整式形式，整式在全体实数范围内均有意义，因此$x$可取任意实数。
(3) $y=\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}$为分式形式，分母不为0，可得：
$(x-1)(x+2)≠ 0$，即$x-1≠ 0$且$x+2≠ 0$，解得$x≠ 1$且$x≠ -2$。
(4) $y=-\sqrt{x}$含二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得：
$x≥ 0$。
【答案】
(1)$x≠-1$
(2)$x$可取任意实数
(3)$x≠1$且$x≠-2$
(4)$x≥0$
【知识点】
自变量取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数部分的基础题型，主要考查不同形式的代数式有意义的限制条件，解题时注意分式类题目不要遗漏分母为0的情况，二次根式类题目注意不等号方向不要写错。
【难度系数】
0.85
求函数自变量的取值范围，核心是保证函数表达式有意义，需牢记三类常见规则：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数。对应每个小题逐一判断类型后套用规则即可：(1)是分式，只需令分母不为0；(2)是整式，无额外限制；(3)是分式，分母为两个因式的乘积，两个因式都不能为0；(4)含二次根式，令被开方数≥0即可。
【解析】
(1) $y=\dfrac{2}{x+1}$为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，可得：
$x+1≠ 0$，解得$x≠ -1$。
(2) $y=\dfrac{1-x}{3}$是整式形式，整式在全体实数范围内均有意义，因此$x$可取任意实数。
(3) $y=\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}$为分式形式，分母不为0，可得：
$(x-1)(x+2)≠ 0$，即$x-1≠ 0$且$x+2≠ 0$，解得$x≠ 1$且$x≠ -2$。
(4) $y=-\sqrt{x}$含二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，可得：
$x≥ 0$。
【答案】
(1)$x≠-1$
(2)$x$可取任意实数
(3)$x≠1$且$x≠-2$
(4)$x≥0$
【知识点】
自变量取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数部分的基础题型，主要考查不同形式的代数式有意义的限制条件，解题时注意分式类题目不要遗漏分母为0的情况，二次根式类题目注意不等号方向不要写错。
【难度系数】
0.85
9. 据研究,高空抛物下落的时间 t(单位:s)和高度 h(单位:m)近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑风速的影响)。
(1)从20m高空抛物到落地时间为
(2)已知高空坠落物体动能(单位:J)=10×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),杀伤无防护人体只需要65J的动能。某颗质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上,这颗鸡蛋产生的动能是
(1)从20m高空抛物到落地时间为
2
s。(2)已知高空坠落物体动能(单位:J)=10×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),杀伤无防护人体只需要65J的动能。某颗质量为0.05kg的鸡蛋经过6s后落在地上,这颗鸡蛋产生的动能是
90
J,此时能
杀伤无防护人体(填“能”或“不能”)。答案
(1)2
(2)90 能
(2)90 能
解析
【分析】
(1)第一问已知下落高度h，要求下落时间t，直接将h=20代入题目给出的公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到结果。
(2)第二问已知下落时间t=6s，首先将t代入公式，通过变形求出下落高度h，再将h、鸡蛋质量代入动能计算公式算出动能，最后和杀伤人体所需的65J比较大小，判断是否能杀伤人体。
【解析】
(1)将h=20代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$
(2)将t=6代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$6=\sqrt{\frac{h}{5}}$
两边同时平方，得$36=\frac{h}{5}$，解得$h=36×5=180(\mathrm{m})$
根据动能公式计算：
动能$=10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
因为$90＞65$，所以此时能杀伤无防护人体。
【答案】
(1)2
(2)90；能
【知识点】
二次根式运算、代数式求值、公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的生活实际情境命题，解题核心是准确理解题目给出的公式，正确代入数值计算，需要注意二次根式运算和数值比较的准确性，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
(1)第一问已知下落高度h，要求下落时间t，直接将h=20代入题目给出的公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，计算算术平方根即可得到结果。
(2)第二问已知下落时间t=6s，首先将t代入公式，通过变形求出下落高度h，再将h、鸡蛋质量代入动能计算公式算出动能，最后和杀伤人体所需的65J比较大小，判断是否能杀伤人体。
【解析】
(1)将h=20代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$t=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2(\mathrm{s})$
(2)将t=6代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，得：
$6=\sqrt{\frac{h}{5}}$
两边同时平方，得$36=\frac{h}{5}$，解得$h=36×5=180(\mathrm{m})$
根据动能公式计算：
动能$=10×0.05×180=90(\mathrm{J})$
因为$90＞65$，所以此时能杀伤无防护人体。
【答案】
(1)2
(2)90；能
【知识点】
二次根式运算、代数式求值、公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的生活实际情境命题，解题核心是准确理解题目给出的公式，正确代入数值计算，需要注意二次根式运算和数值比较的准确性，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8
10. 等腰三角形ABC的周长为12，底边BC长为y，腰AB长为x，求：
(1)y关于x的函数表达式。
(2)自变量x的取值范围。
(3)当腰长AB=5时，求底边BC的长。
(1)y关于x的函数表达式。
(2)自变量x的取值范围。
(3)当腰长AB=5时，求底边BC的长。
答案
(1)$y=12-2x$
(2)$3＜x＜6$
(3)$BC=2$。
(2)$3＜x＜6$
(3)$BC=2$。
解析
【分析】
(1)求y关于x的函数表达式，可利用等腰三角形周长公式：周长=2×腰长+底边长，代入已知的周长数值，变形即可得到表达式；
(2)求自变量x的取值范围，需要考虑两个约束条件：一是三角形的边长均为正数，二是满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，联立不等式求解即可得到x的范围；
(3)求腰长为5时底边的长，直接将x=5代入(1)中得到的函数表达式，计算即可得到y的值，也就是BC的长。
【解析】
(1)已知等腰三角形ABC的周长为12，腰AB长为x，底边BC长为y，根据周长公式可得：
$2x + y = 12$
整理得y关于x的函数表达式：$y = 12 - 2x$
(2)根据三角形边长的实际意义和三边关系，可得：
① 边长为正：$x＞0$，且底边长$y=12-2x＞0$，解$12-2x＞0$得$x＜6$；
② 三角形两边之和大于第三边：两腰之和大于底边，即$2x ＞ y$，将$y=12-2x$代入得：
$2x ＞ 12 - 2x$
移项合并同类项得$4x＞12$，解得$x＞3$
综合两个条件，自变量x的取值范围为$3 ＜ x ＜ 6$
(3)当腰长AB=5，即$x=5$时，将$x=5$代入$y=12-2x$得：
$y = 12 - 2×5 = 2$
即底边BC的长为2
【答案】
(1)$y=12-2x$
(2)$3＜x＜6$
(3)$BC=2$
【知识点】
等腰三角形性质，函数表达式，三角形三边关系
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，重点考查等腰三角形周长的计算、函数表达式的求解，以及结合几何性质确定自变量取值范围，解题时需注意不要忽略三角形三边关系这一隐含约束，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.8
(1)求y关于x的函数表达式，可利用等腰三角形周长公式：周长=2×腰长+底边长，代入已知的周长数值，变形即可得到表达式；
(2)求自变量x的取值范围，需要考虑两个约束条件：一是三角形的边长均为正数，二是满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，联立不等式求解即可得到x的范围；
(3)求腰长为5时底边的长，直接将x=5代入(1)中得到的函数表达式，计算即可得到y的值，也就是BC的长。
【解析】
(1)已知等腰三角形ABC的周长为12，腰AB长为x，底边BC长为y，根据周长公式可得：
$2x + y = 12$
整理得y关于x的函数表达式：$y = 12 - 2x$
(2)根据三角形边长的实际意义和三边关系，可得：
① 边长为正：$x＞0$，且底边长$y=12-2x＞0$，解$12-2x＞0$得$x＜6$；
② 三角形两边之和大于第三边：两腰之和大于底边，即$2x ＞ y$，将$y=12-2x$代入得：
$2x ＞ 12 - 2x$
移项合并同类项得$4x＞12$，解得$x＞3$
综合两个条件，自变量x的取值范围为$3 ＜ x ＜ 6$
(3)当腰长AB=5，即$x=5$时，将$x=5$代入$y=12-2x$得：
$y = 12 - 2×5 = 2$
即底边BC的长为2
【答案】
(1)$y=12-2x$
(2)$3＜x＜6$
(3)$BC=2$
【知识点】
等腰三角形性质，函数表达式，三角形三边关系
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，重点考查等腰三角形周长的计算、函数表达式的求解，以及结合几何性质确定自变量取值范围，解题时需注意不要忽略三角形三边关系这一隐含约束，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.8
11. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1)将表格补充完整。
(2)用 y(cm)表示这摞碗的高度，用 x(只)表示这摞碗的数量，请结合表格直接写出 y(cm)与 x(只)之间的关系式。
(3)当碗的数量为 10 个时，碗的高度是
(4)若这摞碗的高度为 20.8cm，求这摞碗的数量。
(1)将表格补充完整。
(2)用 y(cm)表示这摞碗的高度，用 x(只)表示这摞碗的数量，请结合表格直接写出 y(cm)与 x(只)之间的关系式。
(3)当碗的数量为 10 个时，碗的高度是
14.8
cm。(4)若这摞碗的高度为 20.8cm，求这摞碗的数量。
答案
(1)由表格可知1只碗的高度为4(cm)，叠1只碗增加$5.2-4=1.2(\mathrm{cm})$，所以3只碗的高度为$4+1.2×(3-1)=6.4(\mathrm{cm})$，5只碗的高度为$4+1.2×(5-1)=8.8(\mathrm{cm})$。故答案为6.4；8.8。
(2)$y=4+1.2×(x-1)=1.2x+2.8$。
(3)因为$y=1.2x+2.8$，所以当$x=10$时，$y=1.2×10+2.8=14.8$。故答案为14.8。
(4)因为$y=1.2x+2.8$，所以当$y=20.8$时，$20.8=1.2x+2.8$，解得$x=15$。答：这摞碗的数量为15只。
(2)$y=4+1.2×(x-1)=1.2x+2.8$。
(3)因为$y=1.2x+2.8$，所以当$x=10$时，$y=1.2×10+2.8=14.8$。故答案为14.8。
(4)因为$y=1.2x+2.8$，所以当$y=20.8$时，$20.8=1.2x+2.8$，解得$x=15$。答：这摞碗的数量为15只。
解析
【分析】
解题时首先从表格已知数据中找到两个关键量：1只碗的基础高度为4cm，每多叠放1只碗，总高度增加1.2cm。
(1)补全表格时，利用“总高度=基础高度+（碗数-1）×每叠加1只增加的高度”分别计算3只、5只碗的高度即可；
(2)求y与x的关系式时，将上述规律用含x、y的式子表示，再化简整理即可得到函数解析式；
(3)求10只碗的高度时，直接把x=10代入得到的函数解析式，计算对应的y值即可；
(4)已知总高度求碗数时，把y=20.8代入函数解析式，解一元一次方程得到x的值即可。
【解析】
(1) 由表格可知，1只碗的高度为4cm，每多叠1只碗高度增加：$5.2-4=1.2(\mathrm{cm})$
3只碗的高度：$4+1.2×(3-1)=6.4(\mathrm{cm})$
5只碗的高度：$4+1.2×(5-1)=8.8(\mathrm{cm})$
(2) 根据总高度的计算规律可得：
$y=4+1.2(x-1)$
化简得：$y=1.2x+2.8$
(3) 把$x=10$代入$y=1.2x+2.8$，得：
$y=1.2×10+2.8=14.8(\mathrm{cm})$
(4) 把$y=20.8$代入$y=1.2x+2.8$，得：
$20.8=1.2x+2.8$
移项计算得：$1.2x=18$
解得：$x=15$
【答案】
(1) $6.4$；$8.8$
(2) $y=1.2x+2.8$
(3) $14.8$
(4) $15$只
【知识点】
一次函数的实际应用，列函数解析式，一次函数求值
【点评】
本题结合生活中叠碗的实际场景，考查学生从表格数据中提取规律、建立函数模型解决实际问题的能力，解题核心是准确找到单只碗的基础高度和每增加一只碗的高度增量，计算难度较低，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.75
解题时首先从表格已知数据中找到两个关键量：1只碗的基础高度为4cm，每多叠放1只碗，总高度增加1.2cm。
(1)补全表格时，利用“总高度=基础高度+（碗数-1）×每叠加1只增加的高度”分别计算3只、5只碗的高度即可；
(2)求y与x的关系式时，将上述规律用含x、y的式子表示，再化简整理即可得到函数解析式；
(3)求10只碗的高度时，直接把x=10代入得到的函数解析式，计算对应的y值即可；
(4)已知总高度求碗数时，把y=20.8代入函数解析式，解一元一次方程得到x的值即可。
【解析】
(1) 由表格可知，1只碗的高度为4cm，每多叠1只碗高度增加：$5.2-4=1.2(\mathrm{cm})$
3只碗的高度：$4+1.2×(3-1)=6.4(\mathrm{cm})$
5只碗的高度：$4+1.2×(5-1)=8.8(\mathrm{cm})$
(2) 根据总高度的计算规律可得：
$y=4+1.2(x-1)$
化简得：$y=1.2x+2.8$
(3) 把$x=10$代入$y=1.2x+2.8$，得：
$y=1.2×10+2.8=14.8(\mathrm{cm})$
(4) 把$y=20.8$代入$y=1.2x+2.8$，得：
$20.8=1.2x+2.8$
移项计算得：$1.2x=18$
解得：$x=15$
【答案】
(1) $6.4$；$8.8$
(2) $y=1.2x+2.8$
(3) $14.8$
(4) $15$只
【知识点】
一次函数的实际应用，列函数解析式，一次函数求值
【点评】
本题结合生活中叠碗的实际场景，考查学生从表格数据中提取规律、建立函数模型解决实际问题的能力，解题核心是准确找到单只碗的基础高度和每增加一只碗的高度增量，计算难度较低，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.75
12. 如图1，在$△ ABC$中，$AB = AC$，且$△ ABC$的周长为$36\mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$出发，沿折线$A-B-C$运动到点$C$，且运动过程中速度保持不变，运动过程中$BP$的长与运动时间$t$之间的关系如图2所示，则点$P$运动的速度为
$\frac{26}{11}$
$\mathrm{cm/s}$。答案
$\frac{26}{11}$ 【解析】由图2可知$AB=10\mathrm{cm}$，因为$AB=AC$，所以$AC=10\mathrm{cm}$。因为$△ ABC$的周长为36cm，所以$BC=36-10-10=16(\mathrm{cm})$。点P从点A出发，沿折线$A-B-C$运动到点C，所花时间$t=11\mathrm{s}$，点P运动的速度为$\frac{AB+BC}{t}=\frac{10+16}{11}=\frac{26}{11}(\mathrm{cm/s})$。故答案为$\frac{26}{11}$。
解析
【分析】
解题时先结合运动过程分析函数图像的含义：t=0时动点P在A点，此时BP的长度就是AB的长，由此可得AB的长度；再结合△ABC是等腰三角形AB=AC，且已知周长为36cm，可求出BC的长度；接着观察图像可知P从A出发沿A-B-C运动到C的总时间为11s，运动总路程为AB与BC的长度和，最后根据“速度=路程÷时间”即可算出运动速度。
【解析】
解：由图2可知，t=0时P在点A处，此时BP=AB=10cm，
∵AB=AC，
∴AC=10cm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴$BC=36-AB-AC=36-10-10=16\mathrm{cm}$，
由图2可知，点P沿折线A-B-C运动到点C的总时间为11s，运动的总路程为$AB+BC=10+16=26\mathrm{cm}$，
∴点P运动的速度为$\frac{26}{11}\mathrm{cm/s}$。
【答案】
$\frac{26}{11}$
【知识点】
等腰三角形的性质，函数图象信息提取，行程问题计算
【点评】
本题将几何图形与函数图象相结合，解题的关键是正确读取函数图象中特殊点对应的数值，结合等腰三角形的性质求出运动总路程，再结合行程公式求解，较好地考查了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合运动过程分析函数图像的含义：t=0时动点P在A点，此时BP的长度就是AB的长，由此可得AB的长度；再结合△ABC是等腰三角形AB=AC，且已知周长为36cm，可求出BC的长度；接着观察图像可知P从A出发沿A-B-C运动到C的总时间为11s，运动总路程为AB与BC的长度和，最后根据“速度=路程÷时间”即可算出运动速度。
【解析】
解：由图2可知，t=0时P在点A处，此时BP=AB=10cm，
∵AB=AC，
∴AC=10cm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴$BC=36-AB-AC=36-10-10=16\mathrm{cm}$，
由图2可知，点P沿折线A-B-C运动到点C的总时间为11s，运动的总路程为$AB+BC=10+16=26\mathrm{cm}$，
∴点P运动的速度为$\frac{26}{11}\mathrm{cm/s}$。
【答案】
$\frac{26}{11}$
【知识点】
等腰三角形的性质，函数图象信息提取，行程问题计算
【点评】
本题将几何图形与函数图象相结合，解题的关键是正确读取函数图象中特殊点对应的数值，结合等腰三角形的性质求出运动总路程，再结合行程公式求解，较好地考查了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
