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例1 已知圆柱体的体积不变，当它的高为10 cm时，它的底面积为20 cm²。
(1)试写出底面积S和高h的函数关系式；
(2)当高为5 cm时，圆柱的底面积是多少？
【思路导析】圆柱体的体积等于底面积S乘高h。
【请你解答】
(1)试写出底面积S和高h的函数关系式；
(2)当高为5 cm时，圆柱的底面积是多少？
【思路导析】圆柱体的体积等于底面积S乘高h。
【请你解答】
答案
解：
(1) 设圆柱体的体积为V，根据圆柱体积公式V = S·h，将h=10 cm，S=20 cm²代入得：
V = 10×20 = 200 (cm³)
由于圆柱体体积保持不变，因此S·h = 200，整理可得底面积S和高h的函数关系式为：
$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$
(2) 将h=5 cm代入$S=\frac{200}{h}$，得：
$S=\frac{200}{5}=40\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1) 底面积S和高h的函数关系式为$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$；(2) 当高为5 cm时，圆柱的底面积是$40\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 设圆柱体的体积为V，根据圆柱体积公式V = S·h，将h=10 cm，S=20 cm²代入得：
V = 10×20 = 200 (cm³)
由于圆柱体体积保持不变，因此S·h = 200，整理可得底面积S和高h的函数关系式为：
$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$
(2) 将h=5 cm代入$S=\frac{200}{h}$，得：
$S=\frac{200}{5}=40\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1) 底面积S和高h的函数关系式为$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$；(2) 当高为5 cm时，圆柱的底面积是$40\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题是反比例函数在几何问题中的基础应用，解题思路可分为以下几步：首先回忆圆柱体积公式$V=S· h$，题目明确体积不变，说明底面积S和高h成反比例关系，要得到二者的函数关系式，需要先求出定值体积V；其次将已知的h=10cm、S=20cm²代入体积公式，计算出固定体积V的数值；再根据体积不变的条件，整理得到S关于h的函数解析式，注意实际问题中高h是正数，要标注自变量的取值范围；最后解决第二问时，将h=5cm直接代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到对应底面积。
【解析】
(1) 设圆柱体的体积为V，根据圆柱体积公式$V = S· h$，将$h=10\ \mathrm{cm}$，$S=20\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$V = 10×20 = 200\ (\mathrm{cm}^3)$
由于圆柱体体积保持不变，因此$S· h = 200$，整理可得底面积S和高h的函数关系式为：
$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$
(2) 将$h=5\ \mathrm{cm}$代入$S=\frac{200}{h}$，得：
$S=\frac{200}{5}=40\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$；(2) $40\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱体积公式
2. 反比例函数解析式求解
3. 函数值计算
【点评】
本题难度较低，解题的核心是抓住“体积不变”这个定值条件，先求出常量体积，再推导反比例函数关系，最后代入求值，主要考察学生对反比例函数概念的理解和基础运算能力，是反比例函数实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在几何问题中的基础应用，解题思路可分为以下几步：首先回忆圆柱体积公式$V=S· h$，题目明确体积不变，说明底面积S和高h成反比例关系，要得到二者的函数关系式，需要先求出定值体积V；其次将已知的h=10cm、S=20cm²代入体积公式，计算出固定体积V的数值；再根据体积不变的条件，整理得到S关于h的函数解析式，注意实际问题中高h是正数，要标注自变量的取值范围；最后解决第二问时，将h=5cm直接代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到对应底面积。
【解析】
(1) 设圆柱体的体积为V，根据圆柱体积公式$V = S· h$，将$h=10\ \mathrm{cm}$，$S=20\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$V = 10×20 = 200\ (\mathrm{cm}^3)$
由于圆柱体体积保持不变，因此$S· h = 200$，整理可得底面积S和高h的函数关系式为：
$S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$
(2) 将$h=5\ \mathrm{cm}$代入$S=\frac{200}{h}$，得：
$S=\frac{200}{5}=40\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=\frac{200}{h}\ (h＞0)$；(2) $40\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱体积公式
2. 反比例函数解析式求解
3. 函数值计算
【点评】
本题难度较低，解题的核心是抓住“体积不变”这个定值条件，先求出常量体积，再推导反比例函数关系，最后代入求值，主要考察学生对反比例函数概念的理解和基础运算能力，是反比例函数实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
例2 如图
,放置在桌面上的一个圆台,已知圆台的上底面积是下底面积的$\frac{1}{4}$,此时圆台对桌面的压强为100 Pa,若把圆台翻过来放,则它对桌面的压强是()
A.200 Pa
B.$\frac{1}{200}$ Pa
C.400 Pa
D.$\frac{1}{400}$ Pa
【思路导析】根据“压力(F)=压强(P)×受力面积(S)”,设上底面积为S,则下底面积为4S.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
,放置在桌面上的一个圆台,已知圆台的上底面积是下底面积的$\frac{1}{4}$,此时圆台对桌面的压强为100 Pa,若把圆台翻过来放,则它对桌面的压强是()A.200 Pa
B.$\frac{1}{200}$ Pa
C.400 Pa
D.$\frac{1}{400}$ Pa
【思路导析】根据“压力(F)=压强(P)×受力面积(S)”,设上底面积为S,则下底面积为4S.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是抓住圆台对桌面的压力始终等于自身重力，大小保持不变，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$可知，压力F固定时，压强p与受力面积S成反比例关系。我们可以先设上底面积为S，结合题意得到下底面积为4S，先通过正放时的压强和受力面积求出压力的大小，再代入倒放时的受力面积，即可计算出倒放后的压强。
【解析】
圆台对桌面的压力等于自身重力，因此两次放置时压力F的大小不变。
设圆台上底面积为S，由题意可知下底面积为4S。
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，正放时受力面积为下底面积，压强$p_1=100\mathrm{Pa}$，可得压力：
$F=p_1· S_1=100×4S=400S$
翻过来放置时，受力面积为上底面积S，此时压强为：
$p_2=\frac{F}{S_2}=\frac{400S}{S}=400\mathrm{Pa}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、压强公式计算、压力恒定特性
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，解题关键是明确压力不变的前提下，压强与受力面积成反比，较好地考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住圆台对桌面的压力始终等于自身重力，大小保持不变，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$可知，压力F固定时，压强p与受力面积S成反比例关系。我们可以先设上底面积为S，结合题意得到下底面积为4S，先通过正放时的压强和受力面积求出压力的大小，再代入倒放时的受力面积，即可计算出倒放后的压强。
【解析】
圆台对桌面的压力等于自身重力，因此两次放置时压力F的大小不变。
设圆台上底面积为S，由题意可知下底面积为4S。
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，正放时受力面积为下底面积，压强$p_1=100\mathrm{Pa}$，可得压力：
$F=p_1· S_1=100×4S=400S$
翻过来放置时，受力面积为上底面积S，此时压强为：
$p_2=\frac{F}{S_2}=\frac{400S}{S}=400\mathrm{Pa}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、压强公式计算、压力恒定特性
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，解题关键是明确压力不变的前提下，压强与受力面积成反比，较好地考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
例3 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量$y$(单位:件)是日销售价$x$(单位:元)的反比例函数，且当售价定为100元时，每日可售出30件.
(1)请求出$y$关于$x$的函数关系式(不必写出自变量$x$的取值范围)；
(2)若商场计划销售此种衬衣的日利润为2000元，则其单价应定为多少元？
【探究点拨】销售利润=(售价-进价)×销售量.
【规范解答】(1)设所求函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，因为当$x=100$时，$y=30$，所以$k=3000$，所以$y=\frac{3000}{x}$.
(2)设单价为$x$元，则$(x-80)\frac{3000}{x}=2000$，解得$x=240$.即其单价应定为240元.
(1)请求出$y$关于$x$的函数关系式(不必写出自变量$x$的取值范围)；
(2)若商场计划销售此种衬衣的日利润为2000元，则其单价应定为多少元？
【探究点拨】销售利润=(售价-进价)×销售量.
【规范解答】(1)设所求函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，因为当$x=100$时，$y=30$，所以$k=3000$，所以$y=\frac{3000}{x}$.
(2)设单价为$x$元，则$(x-80)\frac{3000}{x}=2000$，解得$x=240$.即其单价应定为240元.
答案
解：
(1) 设y关于x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=100$，$y=30$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=3000$，
所以y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式列方程：
$(x-80)·\frac{3000}{x}=2000$
方程两边同乘$x$，得$3000(x-80)=2000x$，
解得$x=240$，
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际意义。
答：y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$，要使日利润为2000元，衬衣的单价应定为240元。
(1) 设y关于x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=100$，$y=30$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=3000$，
所以y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式列方程：
$(x-80)·\frac{3000}{x}=2000$
方程两边同乘$x$，得$3000(x-80)=2000x$，
解得$x=240$，
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际意义。
答：y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$，要使日利润为2000元，衬衣的单价应定为240元。
解析
【分析】
(1) 已知日销售量y是日销售价x的反比例函数，求解函数关系式采用待定系数法即可：先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=100、y=30代入解析式求出常数k，就能得到y关于x的函数关系式。
(2) 求日利润为2000元时的单价，需结合销售利润公式：销售利润=(售价-进价)×销售量，其中销售量y可替换为第一问得到的含x的关系式，代入公式列关于x的分式方程，解方程后检验解是否符合实际意义，即可得到最终单价。
【解析】
(1) 设y关于x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=100$，$y=30$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=3000$，
所以y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式列方程：
$(x-80)·\frac{3000}{x}=2000$
方程两边同乘$x$，得$3000(x-80)=2000x$，
展开计算得$3000x - 240000 = 2000x$，
移项合并同类项得$1000x=240000$，
解得$x=240$，
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际销售的意义。
【答案】
(1) $y=\frac{3000}{x}$；
(2) 240元
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；分式方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是反比例函数与销售实际问题的综合应用，解题核心是先利用待定系数法确定反比例函数解析式，再结合利润公式列方程求解，注意解分式方程后必须检验根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
(1) 已知日销售量y是日销售价x的反比例函数，求解函数关系式采用待定系数法即可：先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=100、y=30代入解析式求出常数k，就能得到y关于x的函数关系式。
(2) 求日利润为2000元时的单价，需结合销售利润公式：销售利润=(售价-进价)×销售量，其中销售量y可替换为第一问得到的含x的关系式，代入公式列关于x的分式方程，解方程后检验解是否符合实际意义，即可得到最终单价。
【解析】
(1) 设y关于x的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=100$，$y=30$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$30=\frac{k}{100}$，
解得$k=3000$，
所以y关于x的函数关系式为$y=\frac{3000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式列方程：
$(x-80)·\frac{3000}{x}=2000$
方程两边同乘$x$，得$3000(x-80)=2000x$，
展开计算得$3000x - 240000 = 2000x$，
移项合并同类项得$1000x=240000$，
解得$x=240$，
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际销售的意义。
【答案】
(1) $y=\frac{3000}{x}$；
(2) 240元
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；分式方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是反比例函数与销售实际问题的综合应用，解题核心是先利用待定系数法确定反比例函数解析式，再结合利润公式列方程求解，注意解分式方程后必须检验根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
1.一个面积为30的三角形，它的底边y随该边上的高x的变化而变化，则y与x之间的关系式为()
A.$y=\dfrac{60}{x}$
B.$y=\dfrac{30}{x}$
C.$y=60x$
D.$y=60-x$
A.$y=\dfrac{60}{x}$
B.$y=\dfrac{30}{x}$
C.$y=60x$
D.$y=60-x$
答案
A
解析
【分析】
解题首先回忆三角形的面积计算公式，已知三角形面积、底边长度和对应高的数值关系，我们可以先把已知量代入面积公式，再通过等式变形推导出y关于x的表达式，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 对应高$，
已知面积$S=30$，底为$y$，该底对应的高为$x$，代入公式得：
$30=\frac{1}{2}xy$
等式两边同时乘2得：$xy=60$
变形可得y与x的关系式为：$y=\frac{60}{x}$（$x＞0$），对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，反比例函数解析式
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，核心考查对基础几何公式的掌握以及根据等量关系推导函数表达式的能力，属于基础题型，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆三角形的面积计算公式，已知三角形面积、底边长度和对应高的数值关系，我们可以先把已知量代入面积公式，再通过等式变形推导出y关于x的表达式，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 对应高$，
已知面积$S=30$，底为$y$，该底对应的高为$x$，代入公式得：
$30=\frac{1}{2}xy$
等式两边同时乘2得：$xy=60$
变形可得y与x的关系式为：$y=\frac{60}{x}$（$x＞0$），对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，反比例函数解析式
【点评】
本题是结合几何图形的基础函数应用题，核心考查对基础几何公式的掌握以及根据等量关系推导函数表达式的能力，属于基础题型，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2.某段公路全长为200 km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所行驶速度v(单位:km/h)和
时间t(单位:h)的函数关系式为.
若限定汽车行驶速度不超过80 km/h，则所用的时间至少要h.
学后反思
1.利用反比例函数解决实际问题的基本过程:建立函数模型,得出函数关系式,运用函数性质求解.
2.运用反比例函数的性质解决实际问题时,量的单位要统一.
时间t(单位:h)的函数关系式为.
若限定汽车行驶速度不超过80 km/h，则所用的时间至少要h.
学后反思
1.利用反比例函数解决实际问题的基本过程:建立函数模型,得出函数关系式,运用函数性质求解.
2.运用反比例函数的性质解决实际问题时,量的单位要统一.
答案
解：
根据路程、速度、时间的关系，可得$v· t=200$，
变形得速度$v$和时间$t$的函数关系式为$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$。
$\because 0＜v≤80$，在反比例函数$t=\frac{200}{v}$中，当$v＞0$时，$t$随$v$的增大而减小，
$\therefore$ 当$v=80$时，$t$取最小值，$t_{\mathrm{最小}}=\frac{200}{80}=2.5$。
答：所行驶速度$v$和时间$t$的函数关系式为$\boldsymbol{t=\frac{200}{v}(v＞0)}$，所用的时间至少要$\boldsymbol{2.5}\ \mathrm{h}$。
根据路程、速度、时间的关系，可得$v· t=200$，
变形得速度$v$和时间$t$的函数关系式为$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$。
$\because 0＜v≤80$，在反比例函数$t=\frac{200}{v}$中，当$v＞0$时，$t$随$v$的增大而减小，
$\therefore$ 当$v=80$时，$t$取最小值，$t_{\mathrm{最小}}=\frac{200}{80}=2.5$。
答：所行驶速度$v$和时间$t$的函数关系式为$\boldsymbol{t=\frac{200}{v}(v＞0)}$，所用的时间至少要$\boldsymbol{2.5}\ \mathrm{h}$。
解析
【分析】
解题分为两步：第一步求函数关系式，先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，已知路程固定为200km，将等量关系变形即可得到v与t的函数式，注意速度作为实际量，取值必须大于0；第二步求最短时间，先明确速度的取值范围是0＜v≤80，再结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，可知速度取最大值时，时间取得最小值，代入计算即可。
【解析】
1. 求v与t的函数关系式：
根据行程问题公式“路程=速度×时间”，可得$v· t=200$，
变形得$t=\frac{200}{v}$，结合实际意义，速度v为正数，因此函数关系式为$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$。
2. 求最短时间：
已知限定行驶速度不超过80km/h，即$0＜v≤80$，
在反比例函数$t=\frac{200}{v}$中，$k=200＞0$，因此当$v＞0$时，t随v的增大而减小，
因此当v取最大值80km/h时，t取得最小值，代入得$t_{\mathrm{最小}}=\frac{200}{80}=2.5$。
【答案】
$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$；2.5
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，行程问题等量关系
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是先根据实际问题的等量关系建立正确的函数模型，同时要注意自变量的取值范围必须符合实际意义，再结合反比例函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.8
解题分为两步：第一步求函数关系式，先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，已知路程固定为200km，将等量关系变形即可得到v与t的函数式，注意速度作为实际量，取值必须大于0；第二步求最短时间，先明确速度的取值范围是0＜v≤80，再结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，可知速度取最大值时，时间取得最小值，代入计算即可。
【解析】
1. 求v与t的函数关系式：
根据行程问题公式“路程=速度×时间”，可得$v· t=200$，
变形得$t=\frac{200}{v}$，结合实际意义，速度v为正数，因此函数关系式为$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$。
2. 求最短时间：
已知限定行驶速度不超过80km/h，即$0＜v≤80$，
在反比例函数$t=\frac{200}{v}$中，$k=200＞0$，因此当$v＞0$时，t随v的增大而减小，
因此当v取最大值80km/h时，t取得最小值，代入得$t_{\mathrm{最小}}=\frac{200}{80}=2.5$。
【答案】
$t=\frac{200}{v}\ (v＞0)$；2.5
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，行程问题等量关系
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，解题的核心是先根据实际问题的等量关系建立正确的函数模型，同时要注意自变量的取值范围必须符合实际意义，再结合反比例函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.8
