11.如图,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象与一次函数 $y=mx+n$ 的图象相交于 $A(a,-1),B(-1,3)$ 两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设直线 AB 交 y 轴于点 C,$N(t,0)$ 是 x 轴正半轴上的一个动点,过点 N 作 NM ⊥x 轴,并交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象于点 M,连接 CN,OM.若 $S_{四边形COMN}＞3$,求 t 的取值范围.

能力提升

解：
(1) 把$B(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
把$A(a,-1)$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$-1=-\frac{3}{a}$，解得$a=3$，
即$A$点坐标为$(3,-1)$。
将$A(3,-1)$，$B(-1,3)$代入$y=mx+n$，得
$\begin{cases}-m+n=3 \\ 3m+n=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\ n=2\end{cases}$，
所以一次函数的解析式为$y=-x+2$。
(2) 在$y=-x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，
所以$C$点坐标为$(0,2)$，即$OC=2$。
由$N(t,0)$在$x$轴正半轴，得$t＞0$，$ON=t$。
因为$NM⊥ x$轴，点$M$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上，
所以$M$点坐标为$(t,-\frac{3}{t})$。
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}· OC· ON=\frac{1}{2}×2× t=t$
由反比例函数的几何意义，得$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×|-3|=\frac{3}{2}$，
因此$S_{\mathrm{四边形}COMN}=S_{△ CON}+S_{△ OMN}=t+\frac{3}{2}$。
由$S_{\mathrm{四边形}COMN}＞3$，得$t+\frac{3}{2}＞3$，
解得$t＞\frac{3}{2}$。
所以$t$的取值范围是$t＞\frac{3}{2}$。

【分析】
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出比例系数k，因此先将点B坐标代入反比例函数表达式求出k，得到反比例函数解析式；再将点A代入已求出的反比例函数解析式，计算得到a的值，确定点A的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组得到一次函数的系数m、n，即可得到一次函数解析式。
(2) 先求直线AB与y轴交点C的坐标，得到OC的长度；四边形COMN可拆分为△CON和△OMN两部分计算面积：△CON的底为ON=t，高为OC=2，可直接用三角形面积公式计算；△OMN是直角三角形，利用反比例函数k的几何意义可得其面积为$\frac{1}{2}|k|$；两部分面积相加得到四边形COMN的面积表达式，根据面积大于3列不等式求解，结合点N在x轴正半轴的条件，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 把$B(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
把$A(a,-1)$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$-1=-\frac{3}{a}$，解得$a=3$，
即$A$点坐标为$(3,-1)$。
将$A(3,-1)$，$B(-1,3)$代入$y=mx+n$，得
$\begin{cases}-m+n=3 \\ 3m+n=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1 \\ n=2\end{cases}$，
所以一次函数的解析式为$y=-x+2$。
(2) 在$y=-x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，
所以$C$点坐标为$(0,2)$，即$OC=2$。
由$N(t,0)$在$x$轴正半轴，得$t＞0$，$ON=t$。
因为$NM⊥ x$轴，点$M$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上，
所以$M$点坐标为$(t,-\frac{3}{t})$。
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}· OC· ON=\frac{1}{2}×2× t=t$
由反比例函数的几何意义，得$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×|-3|=\frac{3}{2}$，
因此$S_{\mathrm{四边形}COMN}=S_{△ CON}+S_{△ OMN}=t+\frac{3}{2}$。
由$S_{\mathrm{四边形}COMN}＞3$，得$t+\frac{3}{2}＞3$，
解得$t＞\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $t$的取值范围是$\boldsymbol{t＞\dfrac{3}{2}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数k的几何意义，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数解析式的常规求解方法，又结合了图形面积计算和不等式求解，解题关键是合理拆分不规则四边形的面积，灵活运用反比例函数的性质简化计算，有助于巩固函数综合应用的相关能力。
【难度系数】
0.7

12.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k≠0)$的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且D为AB的中点.
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标;
(2)若一次函数$y=x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),求m的取值范围.

解：
(1) 将点$D(4,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$1=\frac{k}{4}$，解得$k=4$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
因为四边形$OABC$是矩形，$D(4,1)$，所以$OA=4$，
又$D$为$AB$的中点，所以$AB=2AD=2$，即点$B$坐标为$(4,2)$，
点$E$在$BC$上，因此点$E$的纵坐标为$2$。
令$y=2$，代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，
所以点$E$的坐标为$(2,2)$。
(2) 当一次函数$y=x+m$经过点$D(4,1)$时，代入得
$1=4+m$，解得$m=-3$；
当一次函数$y=x+m$经过点$E(2,2)$时，代入得
$2=2+m$，解得$m=0$。
因为点$M$在反比例函数图象上$D,E$之间的部分（可与端点重合），且一次函数$y=x+m$的函数值随$x$增大而增大，因此$m$的取值范围是$-3≤ m≤0$。

【分析】
(1) 求反比例函数解析式可利用待定系数法，将已知点D的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值；再结合矩形的性质和D是AB中点的条件，先得到点B的纵坐标，也就是BC边上点E的纵坐标，再将该纵坐标代入反比例函数解析式，就能求出点E的横坐标，得到E的坐标。
(2) 一次函数$y=x+m$的斜率固定为1，m是直线的纵截距，当直线分别经过D、E两个端点时，对应的m就是取值范围的两个边界值。分别将D、E坐标代入一次函数求出对应m值，结合M点的位置要求，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$D(4,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$1=\frac{k}{4}$，解得$k=4$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
因为四边形$OABC$是矩形，$D(4,1)$，所以$OA=4$，$AD=1$，
又$D$为$AB$的中点，所以$AB=2AD=2$，即点$B$坐标为$(4,2)$，
点$E$在$BC$上，$BC$平行于$x$轴，因此点$E$的纵坐标与点B相同，为$2$。
令$y=2$，代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，
所以点$E$的坐标为$(2,2)$。
(2) 当一次函数$y=x+m$经过点$D(4,1)$时，代入得
$1=4+m$，解得$m=-3$；
当一次函数$y=x+m$经过点$E(2,2)$时，代入得
$2=2+m$，解得$m=0$。
因为一次函数$y=x+m$中$k=1＞0$，函数值随$x$增大而增大，点$M$在反比例函数图象上$D,E$之间的部分（可与端点重合），因此$m$的取值范围是$-3≤ m≤0$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$，点E的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$；
(2) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ m≤0}$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，一次函数与反比例函数综合
【点评】
本题属于函数与几何结合的基础题型，重点考查了待定系数法求函数解析式的方法，以及结合函数图象性质求解参数取值范围的能力，解题的关键是准确求出关键点坐标，结合函数增减性判断参数的边界值。
【难度系数】
0.8