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6. 如图，已知直线 $y=kx(k≠0)$ 与双曲线 $y=\frac{m}{x}(m≠0)$ 交于 $A(4,2),B$ 两点，则不等式 $\frac{m}{x}＜kx$ 的解集为()
A.$-2＜x＜2$
B.$-4＜x＜4$
C.$-4＜x＜0$ 或 $x＞4$
D.$-2＜x＜0$ 或 $x＞2$
A.$-2＜x＜2$
B.$-4＜x＜4$
C.$-4＜x＜0$ 或 $x＞4$
D.$-2＜x＜0$ 或 $x＞2$
答案
C
解析
【分析】
要解不等式$\frac{m}{x}＜kx$，可利用数形结合思想，转化为找反比例函数图象位于正比例函数图象下方时对应的x的取值范围。首先根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，由已知交点A(4,2)求出另一交点B的坐标，再分x＞0和x＜0两个区间，结合图象判断满足条件的x范围即可。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两个函数的交点也关于原点对称，已知交点A的坐标为(4,2)，则另一交点B的坐标为(-4,-2)。
不等式$\frac{m}{x}＜kx$的几何意义是：反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象在正比例函数$y=kx$图象下方时自变量x的取值范围。
结合图象分析：
① 当$x＞0$时，观察第一象限内的图象，当$x＞4$时，双曲线位于直线下方，满足$\frac{m}{x}＜kx$；
② 当$x＜0$时，观察第三象限内的图象，当$-4＜x＜0$时，双曲线位于直线下方，满足$\frac{m}{x}＜kx$。
综上，不等式$\frac{m}{x}＜kx$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数对称性，函数与不等式，数形结合
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，运用数形结合思想分析图象高低对应不等式的关系，注意不要漏解x＜0的区间。
【难度系数】
0.7
要解不等式$\frac{m}{x}＜kx$，可利用数形结合思想，转化为找反比例函数图象位于正比例函数图象下方时对应的x的取值范围。首先根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，由已知交点A(4,2)求出另一交点B的坐标，再分x＞0和x＜0两个区间，结合图象判断满足条件的x范围即可。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象均关于原点中心对称，
∴ 两个函数的交点也关于原点对称，已知交点A的坐标为(4,2)，则另一交点B的坐标为(-4,-2)。
不等式$\frac{m}{x}＜kx$的几何意义是：反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象在正比例函数$y=kx$图象下方时自变量x的取值范围。
结合图象分析：
① 当$x＞0$时，观察第一象限内的图象，当$x＞4$时，双曲线位于直线下方，满足$\frac{m}{x}＜kx$；
② 当$x＜0$时，观察第三象限内的图象，当$-4＜x＜0$时，双曲线位于直线下方，满足$\frac{m}{x}＜kx$。
综上，不等式$\frac{m}{x}＜kx$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数对称性，函数与不等式，数形结合
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，运用数形结合思想分析图象高低对应不等式的关系，注意不要漏解x＜0的区间。
【难度系数】
0.7
7.已知点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$位于第四象限图象上的一点，点O为坐标原点，过点A作$AB⊥ x$轴，垂足为B，连接OA.若$△ AOB$的面积为7，则k的值为()
A.－14
B.－3.5
C.－14或14
D.－7
A.－14
B.－3.5
C.－14或14
D.－7
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与坐标原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可据此求出$|k|$的值；第二步，结合反比例函数图象位于第四象限的条件，确定k的正负，最终得到k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，垂足为B，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，△AOB为直角三角形。
根据三角形面积公式可得：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△AOB}=7$，代入得$\frac{1}{2}|k|=7$，解得$|k|=14$，即$k=±14$。
又
∵反比例函数图象位于第四象限，
∴$k＜0$，因此$k=-14$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，易错点是忽略函数图象所在象限对k符号的影响，误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与坐标原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可据此求出$|k|$的值；第二步，结合反比例函数图象位于第四象限的条件，确定k的正负，最终得到k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，垂足为B，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，△AOB为直角三角形。
根据三角形面积公式可得：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△AOB}=7$，代入得$\frac{1}{2}|k|=7$，解得$|k|=14$，即$k=±14$。
又
∵反比例函数图象位于第四象限，
∴$k＜0$，因此$k=-14$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，易错点是忽略函数图象所在象限对k符号的影响，误选带正负的选项。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,$△ ABC$的边AB在x轴上,$AO=2BO$,边AC与y轴交于点D,D恰为AC中点,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$经过点C,若$S_{△ BCD}=3$,则k的值为()
A.16
B.8
C.4
D.6
A.16
B.8
C.4
D.6
答案
B
解析
【分析】
解题思路：采用坐标法求解，第一步先设出点B的坐标，结合AO=2BO得到点A的坐标；第二步利用D是AC中点且D在y轴上的性质，推出点C的横坐标；第三步根据反比例函数解析式表示出点C的纵坐标；第四步利用中点的面积关系得到△ABC的面积，再结合三角形面积公式建立关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a, 0)(a＞0)$，
∵ $AO=2BO$，
∴ $AO=2a$，点A在x轴负半轴，故$A(-2a, 0)$，$AB=AO+BO=3a$。
∵ D是AC的中点，且D在y轴上（横坐标为0），根据中点坐标公式：中点横坐标等于两端点横坐标的平均值，设C点横坐标为$x_C$，则$\frac{-2a + x_C}{2}=0$，解得$x_C=2a$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
∴ 点C的纵坐标为$y_C=\frac{k}{2a}$。
∵ D是AC中点，△ABD和△BCD等底（$AD=DC$）同高（点B到AC的距离为公共高），
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ BCD}=2×3=6$。
△ABC的底为$AB=3a$，高为点C的纵坐标$y_C=\frac{k}{2a}$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × y_C=\frac{1}{2}×3a×\frac{k}{2a}=\frac{3k}{4}$
∴ $\frac{3k}{4}=6$，解得$k=8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与三角形面积、中点性质结合考查，解题的关键是利用中点的坐标特征推出点C的横坐标，再结合面积关系建立方程求解，消参的过程简化了计算，需要掌握坐标法解决函数与几何结合问题的方法。
【难度系数】
0.6
解题思路：采用坐标法求解，第一步先设出点B的坐标，结合AO=2BO得到点A的坐标；第二步利用D是AC中点且D在y轴上的性质，推出点C的横坐标；第三步根据反比例函数解析式表示出点C的纵坐标；第四步利用中点的面积关系得到△ABC的面积，再结合三角形面积公式建立关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a, 0)(a＞0)$，
∵ $AO=2BO$，
∴ $AO=2a$，点A在x轴负半轴，故$A(-2a, 0)$，$AB=AO+BO=3a$。
∵ D是AC的中点，且D在y轴上（横坐标为0），根据中点坐标公式：中点横坐标等于两端点横坐标的平均值，设C点横坐标为$x_C$，则$\frac{-2a + x_C}{2}=0$，解得$x_C=2a$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
∴ 点C的纵坐标为$y_C=\frac{k}{2a}$。
∵ D是AC中点，△ABD和△BCD等底（$AD=DC$）同高（点B到AC的距离为公共高），
∴ $S_{△ ABC}=2S_{△ BCD}=2×3=6$。
△ABC的底为$AB=3a$，高为点C的纵坐标$y_C=\frac{k}{2a}$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × y_C=\frac{1}{2}×3a×\frac{k}{2a}=\frac{3k}{4}$
∴ $\frac{3k}{4}=6$，解得$k=8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与三角形面积、中点性质结合考查，解题的关键是利用中点的坐标特征推出点C的横坐标，再结合面积关系建立方程求解，消参的过程简化了计算，需要掌握坐标法解决函数与几何结合问题的方法。
【难度系数】
0.6
9.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点A(3,m),过点A作AB⊥x,垂足为B,△AOB的面积为$\frac{1}{2}$.
(1)求k和m的值；
(2)点C(x,y)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,当$-3≤y≤-1$时,求对应的x的取值范围.
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点A(3,m),过点A作AB⊥x,垂足为B,△AOB的面积为$\frac{1}{2}$.
(1)求k和m的值；
(2)点C(x,y)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,当$-3≤y≤-1$时,求对应的x的取值范围.
答案
解：
(1) ∵ 点A的坐标为$(3,m)$，$AB ⊥ x$轴，
∴ $OB=3$，$AB=m$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 3 × m = \frac{1}{2}$，
解得 $m = \frac{1}{3}$。
∴ 点A的坐标为$(3, \frac{1}{3})$。
将$A(3, \frac{1}{3})$代入$y = \frac{k}{x}$，得 $k = 3 × \frac{1}{3} = 1$。
(2) 由(1)得反比例函数的解析式为 $y = \frac{1}{x}$。
∵ $k=1＞0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-3$时，$x = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
当$y=-1$时，$x = \frac{1}{-1} = -1$。
∴ 当$-3 ≤ y ≤ -1$时，对应的$x$的取值范围是 $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$。
(1) ∵ 点A的坐标为$(3,m)$，$AB ⊥ x$轴，
∴ $OB=3$，$AB=m$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 3 × m = \frac{1}{2}$，
解得 $m = \frac{1}{3}$。
∴ 点A的坐标为$(3, \frac{1}{3})$。
将$A(3, \frac{1}{3})$代入$y = \frac{k}{x}$，得 $k = 3 × \frac{1}{3} = 1$。
(2) 由(1)得反比例函数的解析式为 $y = \frac{1}{x}$。
∵ $k=1＞0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-3$时，$x = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
当$y=-1$时，$x = \frac{1}{-1} = -1$。
∴ 当$-3 ≤ y ≤ -1$时，对应的$x$的取值范围是 $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，我们先根据点A的坐标及AB⊥x轴的条件，得到△AOB的底OB=3、高AB=m，结合已知的三角形面积先求出m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；也可利用反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合k＞0直接求出k，再求m。
(2) 求解第二问时，先由第一问结论得到反比例函数的具体解析式，再根据k＞0时反比例函数在每个象限内y随x增大而减小的性质，分别将y=-3和y=-1代入解析式求出对应的x值，结合增减性和x的符号即可确定x的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 点A的坐标为$(3,m)$，$AB ⊥ x$轴，
∴ $OB=3$，$AB=m$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 3 × m = \frac{1}{2}$，
解得 $m = \frac{1}{3}$。
∴ 点A的坐标为$(3, \frac{1}{3})$。
将$A(3, \frac{1}{3})$代入$y = \frac{k}{x}$，得 $k = 3 × \frac{1}{3} = 1$。
(2) 由(1)得反比例函数的解析式为 $y = \frac{1}{x}$。
∵ $k=1＞0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-3$时，$x = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
当$y=-1$时，$x = \frac{1}{-1} = -1$。
∴ 当$-3 ≤ y ≤ -1$时，对应的$x$的取值范围是 $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $k=1$，$m=\frac{1}{3}$；(2) $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础常考题，主要考查反比例函数基本性质的应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，求自变量取值范围时要结合函数所在象限判断，避免出现取值范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，我们先根据点A的坐标及AB⊥x轴的条件，得到△AOB的底OB=3、高AB=m，结合已知的三角形面积先求出m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；也可利用反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合k＞0直接求出k，再求m。
(2) 求解第二问时，先由第一问结论得到反比例函数的具体解析式，再根据k＞0时反比例函数在每个象限内y随x增大而减小的性质，分别将y=-3和y=-1代入解析式求出对应的x值，结合增减性和x的符号即可确定x的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 点A的坐标为$(3,m)$，$AB ⊥ x$轴，
∴ $OB=3$，$AB=m$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 3 × m = \frac{1}{2}$，
解得 $m = \frac{1}{3}$。
∴ 点A的坐标为$(3, \frac{1}{3})$。
将$A(3, \frac{1}{3})$代入$y = \frac{k}{x}$，得 $k = 3 × \frac{1}{3} = 1$。
(2) 由(1)得反比例函数的解析式为 $y = \frac{1}{x}$。
∵ $k=1＞0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=-3$时，$x = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
当$y=-1$时，$x = \frac{1}{-1} = -1$。
∴ 当$-3 ≤ y ≤ -1$时，对应的$x$的取值范围是 $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $k=1$，$m=\frac{1}{3}$；(2) $-1 ≤ x ≤ -\frac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础常考题，主要考查反比例函数基本性质的应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，求自变量取值范围时要结合函数所在象限判断，避免出现取值范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,2)$和$B(-2,m)$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出$y_1＞y_2$时$x$的取值范围；
(3)过点$B$作$BE// x$轴,$AD⊥BE$,垂足为$D$,点$C$是直线$BE$上一点,若$AD=3CD$,求点$C$的坐标.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出$y_1＞y_2$时$x$的取值范围；
(3)过点$B$作$BE// x$轴,$AD⊥BE$,垂足为$D$,点$C$是直线$BE$上一点,若$AD=3CD$,求点$C$的坐标.
答案
解：
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{-2}=-1$，
∴点B的坐标为$(-2,-1)$。
将$A(1,2)$和$B(-2,-1)$代入一次函数$y_1=ax+b$，得
$\begin{cases}a+b=2\\-2a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+1$。
(2) $y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
(3) ∵$BE// x$轴，点B坐标为$(-2,-1)$，
∴直线BE上所有点的纵坐标均为$-1$。
∵$AD⊥ BE$，$A(1,2)$，
∴点D的坐标为$(1,-1)$。
∴$AD=2-(-1)=3$。
由$AD=3CD$，得$CD=\frac{AD}{3}=1$。
∵点C在直线BE上，∴点C的纵坐标为$-1$。
设点C坐标为$(x,-1)$，则$CD=|x-1|=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$或$(2,-1)$。
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{-2}=-1$，
∴点B的坐标为$(-2,-1)$。
将$A(1,2)$和$B(-2,-1)$代入一次函数$y_1=ax+b$，得
$\begin{cases}a+b=2\\-2a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+1$。
(2) $y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
(3) ∵$BE// x$轴，点B坐标为$(-2,-1)$，
∴直线BE上所有点的纵坐标均为$-1$。
∵$AD⊥ BE$，$A(1,2)$，
∴点D的坐标为$(1,-1)$。
∴$AD=2-(-1)=3$。
由$AD=3CD$，得$CD=\frac{AD}{3}=1$。
∵点C在直线BE上，∴点C的纵坐标为$-1$。
设点C坐标为$(x,-1)$，则$CD=|x-1|=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$或$(2,-1)$。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法：先将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数解析式求出m，得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数值，得到一次函数解析式。
(2) 求$y_1＞y_2$的x范围采用数形结合思想：观察两个函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的部分对应的x的取值就是所求范围，注意反比例函数图像分为两支，需分区间判断，不要遗漏x＜0的区间。
(3) 先根据BE平行x轴的性质，得出直线BE上所有点纵坐标都等于B点的纵坐标-1；AD垂直BE，所以D点横坐标和A点相同，纵坐标为-1，先计算AD的长度，再根据$AD=3CD$求出CD的长度；设C点坐标为$(x,-1)$，利用横坐标差的绝对值表示CD的长度，解方程即可得到C点的横坐标，注意要考虑C点在D点左侧和右侧两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{-2}=-1$，
∴点B的坐标为$(-2,-1)$。
将$A(1,2)$和$B(-2,-1)$代入一次函数$y_1=ax+b$，得
$\begin{cases}a+b=2\\-2a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+1$。
(2) 观察函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的区间为$-2＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
(3)
∵$BE// x$轴，点B坐标为$(-2,-1)$，
∴直线BE上所有点的纵坐标均为$-1$。
∵$AD⊥ BE$，$A(1,2)$，
∴点D的横坐标与A相同，纵坐标为$-1$，即$D(1,-1)$。
∴$AD=2-(-1)=3$。
由$AD=3CD$，得$CD=\frac{AD}{3}=1$。
∵点C在直线BE上，
∴点C的纵坐标为$-1$，设点C坐标为$(x,-1)$，
则$CD=|x-1|=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$或$(2,-1)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$，一次函数解析式为$y_1=x+1$；
(2) $-2＜x＜0$或$x＞1$；
(3) $(0,-1)$或$(2,-1)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系中线段计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了利用待定系数法求函数解析式的基本方法，又结合数形结合思想考查了函数值大小与自变量取值范围的关系，最后一问需要考虑点的位置的两种情况，很好地考查了思维的严谨性，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式采用待定系数法：先将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数解析式求出m，得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数值，得到一次函数解析式。
(2) 求$y_1＞y_2$的x范围采用数形结合思想：观察两个函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的部分对应的x的取值就是所求范围，注意反比例函数图像分为两支，需分区间判断，不要遗漏x＜0的区间。
(3) 先根据BE平行x轴的性质，得出直线BE上所有点纵坐标都等于B点的纵坐标-1；AD垂直BE，所以D点横坐标和A点相同，纵坐标为-1，先计算AD的长度，再根据$AD=3CD$求出CD的长度；设C点坐标为$(x,-1)$，利用横坐标差的绝对值表示CD的长度，解方程即可得到C点的横坐标，注意要考虑C点在D点左侧和右侧两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{-2}=-1$，
∴点B的坐标为$(-2,-1)$。
将$A(1,2)$和$B(-2,-1)$代入一次函数$y_1=ax+b$，得
$\begin{cases}a+b=2\\-2a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+1$。
(2) 观察函数图像，一次函数图像在反比例函数图像上方的区间为$-2＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$。
(3)
∵$BE// x$轴，点B坐标为$(-2,-1)$，
∴直线BE上所有点的纵坐标均为$-1$。
∵$AD⊥ BE$，$A(1,2)$，
∴点D的横坐标与A相同，纵坐标为$-1$，即$D(1,-1)$。
∴$AD=2-(-1)=3$。
由$AD=3CD$，得$CD=\frac{AD}{3}=1$。
∵点C在直线BE上，
∴点C的纵坐标为$-1$，设点C坐标为$(x,-1)$，
则$CD=|x-1|=1$，
解得$x=2$或$x=0$，
∴点C的坐标为$(0,-1)$或$(2,-1)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$，一次函数解析式为$y_1=x+1$；
(2) $-2＜x＜0$或$x＞1$；
(3) $(0,-1)$或$(2,-1)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系中线段计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了利用待定系数法求函数解析式的基本方法，又结合数形结合思想考查了函数值大小与自变量取值范围的关系，最后一问需要考虑点的位置的两种情况，很好地考查了思维的严谨性，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
