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2.如图，P是$\odot O$的直径AB的延长线上一点，M为$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点（不与点A，B重合），PM与$\odot O$交于点N（不与点M重合）。求证：$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
答案
证明：连接AN，BM。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又∵ $∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又∵ $∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
解析
【分析】
要证明比例式$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$，通常可通过证明对应三角形相似推导得到。观察四条线段所属的三角形，可尝试证明$△ PAN ∽ △ PMB$。两个三角形已有公共角$∠ P$，只需再找一组对应角相等即可，结合圆的圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此先连接辅助线AN、BM，利用同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等得到另一组等角，即可证明三角形相似，进而得到待证比例式。
【解析】
证明：连接AN，BM。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又
∵ $∠ P$是$△ PAN$和$△ PMB$的公共角，即$∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，即可得$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
【答案】
证明：连接AN，BM。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又
∵ $∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于圆与相似三角形结合的基础题型，解题关键是结合待证比例式定位需证明的相似三角形，合理添加辅助线，灵活运用圆周角定理得到相等角来证明三角形相似。
【难度系数】
0.8
要证明比例式$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$，通常可通过证明对应三角形相似推导得到。观察四条线段所属的三角形，可尝试证明$△ PAN ∽ △ PMB$。两个三角形已有公共角$∠ P$，只需再找一组对应角相等即可，结合圆的圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此先连接辅助线AN、BM，利用同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等得到另一组等角，即可证明三角形相似，进而得到待证比例式。
【解析】
证明：连接AN，BM。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又
∵ $∠ P$是$△ PAN$和$△ PMB$的公共角，即$∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例的性质，即可得$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
【答案】
证明：连接AN，BM。
∵ 在$\odot O$中，同弧$\overset{\frown}{BN}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ PAN = ∠ PMB$。
又
∵ $∠ P = ∠ P$，
∴ $△ PAN ∽ △ PMB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$。
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于圆与相似三角形结合的基础题型，解题关键是结合待证比例式定位需证明的相似三角形，合理添加辅助线，灵活运用圆周角定理得到相等角来证明三角形相似。
【难度系数】
0.8
1.如图所示，若∠1=∠2=∠B，则有△ACD∽△；△CDE∽△；△AED∽△。
答案
解：
1. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ A = ∠ A$（公共角），
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. $\because ∠ 1 = ∠ B$，
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CDE$和$△ BCD$中，
$∠ EDC = ∠ DCB$，
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ CDE ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. $\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$，
在$△ AED$和$△ ABC$中，
$∠ AED = ∠ ACB$，
$∠ 1 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
答案依次为：$\boldsymbol{ABC}$；$\boldsymbol{BCD}$；$\boldsymbol{ABC}$。
1. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ A = ∠ A$（公共角），
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. $\because ∠ 1 = ∠ B$，
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CDE$和$△ BCD$中，
$∠ EDC = ∠ DCB$，
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ CDE ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. $\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$，
在$△ AED$和$△ ABC$中，
$∠ AED = ∠ ACB$，
$∠ 1 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
答案依次为：$\boldsymbol{ABC}$；$\boldsymbol{BCD}$；$\boldsymbol{ABC}$。
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合已知相等角的条件推导平行线，得到更多相等的对应角，逐一分析每组三角形的对应角即可。第一步分析△ACD的相似三角形：先找公共角∠A，结合已知∠2=∠B，两组角对应相等即可判定相似；第二步分析△CDE的相似三角形：先由∠1=∠B推出DE//BC，得到内错角∠EDC=∠DCB，再结合已知∠2=∠B，两组角对应相等判定相似；第三步分析△AED的相似三角形：由DE//BC得同位角∠AED=∠ACB，结合已知∠1=∠B，两组角对应相等判定相似。
【解析】
1. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ A = ∠ A$（公共角），
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. $\because ∠ 1 = ∠ B$，
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CDE$和$△ BCD$中，
$∠ EDC = ∠ DCB$，
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ CDE ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. $\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
在$△ AED$和$△ ABC$中，
$∠ AED = ∠ ACB$，
$∠ 1 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$ABC$；$BCD$；$ABC$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是结合已知角相等的条件，正确找到两个三角形对应的相等角，必要时通过平行线的性质推导相等的角，熟练掌握两角法判定相似是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的判定，解题核心是利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合已知相等角的条件推导平行线，得到更多相等的对应角，逐一分析每组三角形的对应角即可。第一步分析△ACD的相似三角形：先找公共角∠A，结合已知∠2=∠B，两组角对应相等即可判定相似；第二步分析△CDE的相似三角形：先由∠1=∠B推出DE//BC，得到内错角∠EDC=∠DCB，再结合已知∠2=∠B，两组角对应相等判定相似；第三步分析△AED的相似三角形：由DE//BC得同位角∠AED=∠ACB，结合已知∠1=∠B，两组角对应相等判定相似。
【解析】
1. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ A = ∠ A$（公共角），
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. $\because ∠ 1 = ∠ B$，
$\therefore DE // BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ EDC = ∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CDE$和$△ BCD$中，
$∠ EDC = ∠ DCB$，
$∠ 2 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ CDE ∽ △ BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. $\because DE // BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB$（两直线平行，同位角相等），
在$△ AED$和$△ ABC$中，
$∠ AED = ∠ ACB$，
$∠ 1 = ∠ B$（已知），
$\therefore △ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$ABC$；$BCD$；$ABC$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是结合已知角相等的条件，正确找到两个三角形对应的相等角，必要时通过平行线的性质推导相等的角，熟练掌握两角法判定相似是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，则$△ ABC ∽$。
答案
$△ BDC$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠A=36°，可先求出两个底角的度数；再根据BD平分∠ABC求出∠CBD的度数；要判断和△ABC相似的三角形，根据两角对应相等的三角形相似的判定定理，寻找与△ABC有两组对应角相等的三角形即可：可发现∠C是公共角，且计算得出∠CBD=∠A，满足AA判定条件，即可得到相似三角形。
【解析】
在△ABC中：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴∠CBD=∠A=36°，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ BDC$。
【答案】
$△ BDC$
【知识点】
等腰三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是利用等腰三角形和角平分线的性质求出对应角的度数，找到两组相等的对应角即可快速求解，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠A=36°，可先求出两个底角的度数；再根据BD平分∠ABC求出∠CBD的度数；要判断和△ABC相似的三角形，根据两角对应相等的三角形相似的判定定理，寻找与△ABC有两组对应角相等的三角形即可：可发现∠C是公共角，且计算得出∠CBD=∠A，满足AA判定条件，即可得到相似三角形。
【解析】
在△ABC中：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴∠CBD=∠A=36°，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ BDC$。
【答案】
$△ BDC$
【知识点】
等腰三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是利用等腰三角形和角平分线的性质求出对应角的度数，找到两组相等的对应角即可快速求解，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
3.如图所示，已知点D在△ABC的AB边上，AD=1，BD=2，AC=√3，则△ACD∽。
答案
$△ ABC$
解析
【分析】要找出与△ACD相似的三角形，首先观察图形可知△ACD和待求三角形存在公共角∠A，此时只需验证夹∠A的两组对应边是否成比例，即可结合相似三角形的判定定理得出结论。第一步先计算AB的总长度，第二步分别计算两组边的比值，第三步对比比值是否相等，相等即可判定相似。
【解析】
解：已知$AD=1$，$BD=2$，因此AB的长度为：
$AB = AD + BD = 1 + 2 = 3$
计算夹公共角∠A的两组边的比值：
$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
可得$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，又因为∠A是△ACD和△ABC的公共角，即$∠ A = ∠ A$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$。
【答案】$△ ABC$
【知识点】相似三角形的判定，比例线段计算
【点评】本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是先找到公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】
解：已知$AD=1$，$BD=2$，因此AB的长度为：
$AB = AD + BD = 1 + 2 = 3$
计算夹公共角∠A的两组边的比值：
$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
可得$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，又因为∠A是△ACD和△ABC的公共角，即$∠ A = ∠ A$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$。
【答案】$△ ABC$
【知识点】相似三角形的判定，比例线段计算
【点评】本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是先找到公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
4.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上的点$B'$处，折痕为EF.已知$AB=AC=3,BC=4$,若以点$B',F,C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,则$BF$的长是.
答案
解：
设$BF = x$，由折叠的性质得：$B'F = BF = x$，
$\therefore FC = BC - BF = 4 - x$。
已知$AB=AC=3$，$∠ C$为公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，
则 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入得 $\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
解得 $x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，
则 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
$\because AB=AC=3$，
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得 $x=2$。
综上，$BF$的长为$\frac{12}{7}$或$2$。
设$BF = x$，由折叠的性质得：$B'F = BF = x$，
$\therefore FC = BC - BF = 4 - x$。
已知$AB=AC=3$，$∠ C$为公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，
则 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入得 $\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
解得 $x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，
则 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
$\because AB=AC=3$，
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得 $x=2$。
综上，$BF$的长为$\frac{12}{7}$或$2$。
解析
【分析】
首先根据折叠的性质可知BF=B'F，设BF为x，即可表示出FC的长度。由于△B'FC与△ABC有公共角∠C，因此两个三角形相似时存在两种不同的对应关系，需分类讨论：分别根据不同的相似对应关系列出比例式，求解后验证解的合理性，即可得到BF的长度。
【解析】
设$BF = x$，由折叠的性质可得：$B'F = BF = x$，
$\therefore FC = BC - BF = 4 - x$。
已知$AB=AC=3$，$∠ C$为$△ B'FC$和$△ ABC$的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例可得 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入数值得 $\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
解得 $x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例可得 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
$\because AB=AC=3$，
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得 $x=2$。
经检验，两种情况的解均符合题意。
【答案】
$\frac{12}{7}$或$2$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是利用折叠性质得到相等的边，结合公共角的条件，对相似三角形的对应关系进行分类讨论，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
首先根据折叠的性质可知BF=B'F，设BF为x，即可表示出FC的长度。由于△B'FC与△ABC有公共角∠C，因此两个三角形相似时存在两种不同的对应关系，需分类讨论：分别根据不同的相似对应关系列出比例式，求解后验证解的合理性，即可得到BF的长度。
【解析】
设$BF = x$，由折叠的性质可得：$B'F = BF = x$，
$\therefore FC = BC - BF = 4 - x$。
已知$AB=AC=3$，$∠ C$为$△ B'FC$和$△ ABC$的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ B'FC ∽ △ ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例可得 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$，
代入数值得 $\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$，
解得 $x=\frac{12}{7}$；
② 当$△ FB'C ∽ △ ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例可得 $\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$，
$\because AB=AC=3$，
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$，
解得 $x=2$。
经检验，两种情况的解均符合题意。
【答案】
$\frac{12}{7}$或$2$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是利用折叠性质得到相等的边，结合公共角的条件，对相似三角形的对应关系进行分类讨论，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=9 cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2 cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点,则线段BG的长度是()
A.$\sqrt{5}$ cm
B.$\dfrac{20}{3}$ cm
C.$\dfrac{10}{3}$ cm
D.$\sqrt{13}$ cm
A.$\sqrt{5}$ cm
B.$\dfrac{20}{3}$ cm
C.$\dfrac{10}{3}$ cm
D.$\sqrt{13}$ cm
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据矩形的性质得到边的长度和直角，先求出EB的长度：已知AB=6cm，AE=2cm，所以EB=AB-AE=4cm；第二步，因为△EBF是直角三角形，G是EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得BG=½EF，因此只需要求出EF的长度就能得到BG的长度；第三步，求EF需要先求BF的长度，结合G在对角线BD上，可推出∠EFB=∠DBC，结合∠EBF=∠C=90°，可证明△EBF∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出BF的长度；第四步，最后用勾股定理求出EF的长度，除以2即可得到BG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=6cm，BC=AD=9cm，∠ABC=∠C=90°
∴EB = AB - AE = 6 - 2 = 4cm
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，G是EF的中点
∴BG = $\frac{1}{2}$EF，且∠GBF=∠GFB
∵∠GBF=∠DBC，
∴∠GFB=∠DBC
在△EBF和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBF=∠ C=90°\\ ∠ EFB=∠ DBC\end{array} $
∴△EBF∽△BCD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EB}{CD}=\frac{BF}{BC}$
代入EB=4cm，CD=6cm，BC=9cm得：
$\frac{4}{6}=\frac{BF}{9}$
解得BF=6cm
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EB^2+BF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
∴$BG=\frac{1}{2}EF=\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过直角三角形斜边中线的性质将求BG的问题转化为求EF的问题，再利用相似三角形求出未知边BF的长度，最后结合勾股定理计算结果，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和常见几何图形的性质。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据矩形的性质得到边的长度和直角，先求出EB的长度：已知AB=6cm，AE=2cm，所以EB=AB-AE=4cm；第二步，因为△EBF是直角三角形，G是EF的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得BG=½EF，因此只需要求出EF的长度就能得到BG的长度；第三步，求EF需要先求BF的长度，结合G在对角线BD上，可推出∠EFB=∠DBC，结合∠EBF=∠C=90°，可证明△EBF∽△BCD，利用相似三角形对应边成比例即可求出BF的长度；第四步，最后用勾股定理求出EF的长度，除以2即可得到BG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=6cm，BC=AD=9cm，∠ABC=∠C=90°
∴EB = AB - AE = 6 - 2 = 4cm
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，G是EF的中点
∴BG = $\frac{1}{2}$EF，且∠GBF=∠GFB
∵∠GBF=∠DBC，
∴∠GFB=∠DBC
在△EBF和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBF=∠ C=90°\\ ∠ EFB=∠ DBC\end{array} $
∴△EBF∽△BCD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EB}{CD}=\frac{BF}{BC}$
代入EB=4cm，CD=6cm，BC=9cm得：
$\frac{4}{6}=\frac{BF}{9}$
解得BF=6cm
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EB^2+BF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
∴$BG=\frac{1}{2}EF=\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过直角三角形斜边中线的性质将求BG的问题转化为求EF的问题，再利用相似三角形求出未知边BF的长度，最后结合勾股定理计算结果，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和常见几何图形的性质。
【难度系数】
0.6
6.如图,两条不等长的对角线AC,BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若$OA:OC=OB:OD=1:2$,则关于这四个三角形的关系,下列叙述正确的是()
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
答案
B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：OA:OC=OB:OD=1:2，对角线相交形成对顶角相等。第一步判断甲和丙的关系：甲是△AOB、丙是△COD，两个三角形的夹对顶角的边对应成比例，且夹角是对顶角相等，符合相似三角形的判定条件，可得甲丙相似。第二步判断乙和丁的关系：乙是△BOC、丁是△AOD，夹对顶角的两组边比值不对应相等，不满足相似判定条件，故乙丁不相似，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 判定甲、丙的相似性：
甲为$△ AOB$，丙为$△ COD$，
已知$OA:OC=OB:OD=1:2$，且$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，因此$∠ AOB=∠ COD$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ AOB ∽ △ COD$，即甲、丙相似。
2. 判定乙、丁的相似性：
乙为$△ BOC$，丁为$△ AOD$，
已知$OA:OC=1:2$，$OB:OD=1:2$，即$OD:OB=2:1$，
夹$∠ AOD$（丁的内角）的两边为$OA、OD$，夹$∠ COB$（乙的内角，与$∠ AOD$是对顶角，二者相等）的两边为$OC、OB$，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OD}{OB}=\frac{2}{1}$，两组边比值不相等，不满足相似三角形的判定条件，因此乙、丁不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题的关键是找准对应边的比例关系和对应的夹角，避免因边的对应关系混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：OA:OC=OB:OD=1:2，对角线相交形成对顶角相等。第一步判断甲和丙的关系：甲是△AOB、丙是△COD，两个三角形的夹对顶角的边对应成比例，且夹角是对顶角相等，符合相似三角形的判定条件，可得甲丙相似。第二步判断乙和丁的关系：乙是△BOC、丁是△AOD，夹对顶角的两组边比值不对应相等，不满足相似判定条件，故乙丁不相似，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 判定甲、丙的相似性：
甲为$△ AOB$，丙为$△ COD$，
已知$OA:OC=OB:OD=1:2$，且$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，因此$∠ AOB=∠ COD$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ AOB ∽ △ COD$，即甲、丙相似。
2. 判定乙、丁的相似性：
乙为$△ BOC$，丁为$△ AOD$，
已知$OA:OC=1:2$，$OB:OD=1:2$，即$OD:OB=2:1$，
夹$∠ AOD$（丁的内角）的两边为$OA、OD$，夹$∠ COB$（乙的内角，与$∠ AOD$是对顶角，二者相等）的两边为$OC、OB$，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OD}{OB}=\frac{2}{1}$，两组边比值不相等，不满足相似三角形的判定条件，因此乙、丁不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题的关键是找准对应边的比例关系和对应的夹角，避免因边的对应关系混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
