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7. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，垂足为F，$OE ⊥ AC$，垂足为E，若$OE=3$，$OB=5$，则CD的长度是（）
A.9.6
B.$4\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{3}$
D.10
A.9.6
B.$4\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{3}$
D.10
答案
A
解析
【分析】
解题时先根据圆的半径相等得到OA=OC=OB=5，再利用垂径定理得到E是AC中点，先在Rt△AOE中用勾股定理算出AE的长度，进而得到AC的总长度。由于CD⊥AB，同样由垂径定理可知CD=2CF，只需求出CF即可得到CD长度。观察发现△AEO和△AFC有公共角∠A，且均为直角三角形，可通过AA判定两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长度，最终计算得到CD的长度。
【解析】
解：
∵OB为⊙O的半径，OB=5，
∴OA=OC=OB=5。
∵OE⊥AC，且OE过圆心O，根据垂径定理，E为AC中点，即AC=2AE。
在Rt△AOE中，OA=5，OE=3，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AC=2AE=8$。
∵CD⊥AB，且AB过圆心O，根据垂径定理，F为CD中点，即$CD=2CF$，且$∠AEO=∠AFC=90°$。
又
∵∠OAE=∠CAF（公共角），
∴△AEO∽△AFC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{OE}{CF}=\frac{AO}{AC}$，
代入数值：$\frac{3}{CF}=\frac{5}{8}$，解得$CF=\frac{24}{5}=4.8$。
∴$CD=2CF=2×4.8=9.6$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，相似三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形相似的综合基础题，解题的核心是结合垂径定理得到线段的倍分关系，再利用相似三角形的性质建立比例式求解，是圆与几何结合的典型考法，需要熟练掌握各性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
解题时先根据圆的半径相等得到OA=OC=OB=5，再利用垂径定理得到E是AC中点，先在Rt△AOE中用勾股定理算出AE的长度，进而得到AC的总长度。由于CD⊥AB，同样由垂径定理可知CD=2CF，只需求出CF即可得到CD长度。观察发现△AEO和△AFC有公共角∠A，且均为直角三角形，可通过AA判定两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长度，最终计算得到CD的长度。
【解析】
解：
∵OB为⊙O的半径，OB=5，
∴OA=OC=OB=5。
∵OE⊥AC，且OE过圆心O，根据垂径定理，E为AC中点，即AC=2AE。
在Rt△AOE中，OA=5，OE=3，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AC=2AE=8$。
∵CD⊥AB，且AB过圆心O，根据垂径定理，F为CD中点，即$CD=2CF$，且$∠AEO=∠AFC=90°$。
又
∵∠OAE=∠CAF（公共角），
∴△AEO∽△AFC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{OE}{CF}=\frac{AO}{AC}$，
代入数值：$\frac{3}{CF}=\frac{5}{8}$，解得$CF=\frac{24}{5}=4.8$。
∴$CD=2CF=2×4.8=9.6$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，相似三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形相似的综合基础题，解题的核心是结合垂径定理得到线段的倍分关系，再利用相似三角形的性质建立比例式求解，是圆与几何结合的典型考法，需要熟练掌握各性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,$D$为$AB$的中点.若点$E$在边$AC$上,且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,则$AE$的长为()
A.1
B.2
C.1或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1或2
A.1
B.2
C.1或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1或2
答案
D
解析
【分析】
首先根据直角三角形30°角的性质求出AC、AB的长度，结合D是AB中点及已知比例式求出DE的长度。由于满足DE长度为1的点E在AC上存在两个位置，可通过作垂线构造相似三角形求出垂线段长度及垂足到A的距离，再结合勾股定理分两种情况计算AE的长度，避免漏解。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴ AC=2BC=4（30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵ D是AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，
已知$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{1}{2}=\frac{DE}{2}$，解得$DE=1$。
过点D作DF⊥AC于点F，
∵ ∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A，
∴ △AFD∽△ABC，
∴ $\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AB}$，代入已知边长得$\frac{DF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{AF}{2\sqrt{3}}$，
解得$DF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AF=\frac{3}{2}$。
在Rt△DFE中，DE=1，$DF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$。
分两种情况讨论：
① 当点E在线段AF上时，$AE=AF-EF=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$；
② 当点E在线段FC上时，$AE=AF+EF=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$。
综上，AE的长为1或2。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质，相似三角形判定，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略DE存在两种不同位置，仅计算出一个AE的长度，解题时要结合图形特征，全面考虑所有可能的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
首先根据直角三角形30°角的性质求出AC、AB的长度，结合D是AB中点及已知比例式求出DE的长度。由于满足DE长度为1的点E在AC上存在两个位置，可通过作垂线构造相似三角形求出垂线段长度及垂足到A的距离，再结合勾股定理分两种情况计算AE的长度，避免漏解。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴ AC=2BC=4（30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
∵ D是AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，
已知$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{1}{2}=\frac{DE}{2}$，解得$DE=1$。
过点D作DF⊥AC于点F，
∵ ∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A，
∴ △AFD∽△ABC，
∴ $\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AB}$，代入已知边长得$\frac{DF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{AF}{2\sqrt{3}}$，
解得$DF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AF=\frac{3}{2}$。
在Rt△DFE中，DE=1，$DF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{1}{2}$。
分两种情况讨论：
① 当点E在线段AF上时，$AE=AF-EF=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$；
② 当点E在线段FC上时，$AE=AF+EF=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$。
综上，AE的长为1或2。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质，相似三角形判定，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略DE存在两种不同位置，仅计算出一个AE的长度，解题时要结合图形特征，全面考虑所有可能的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
9.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E是BC延长线上一点,且$ AB^2 = DB · CE $.
(1)试证明$ △ ADB ∽ △ EAC $;
(2)若$ ∠ BAC = 40° $,求$ ∠ DAE $的度数.
(1)试证明$ △ ADB ∽ △ EAC $;
(2)若$ ∠ BAC = 40° $,求$ ∠ DAE $的度数.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $180°-∠ ABC = 180°-∠ ACB$，即 $∠ ABD = ∠ ECA$。
∵ $AB^2 = DB· CE$，且 $AB=AC$，
∴ $AB· AC = DB· CE$，变形得 $\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$。
在$△ ADB$和$△ EAC$中：
$\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$，且 $∠ ABD = ∠ ECA$，
∴ $△ ADB ∽ △ EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $∠ BAC=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180° - 40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质得：$∠ D + ∠ DAB = ∠ ABC =70°$。
∵ $△ ADB ∽ △ EAC$，
∴ $∠ D = ∠ CAE$，
∴ $∠ CAE + ∠ DAB = 70°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 70° + 40° = 110°$。
答：$∠ DAE$的度数为$110°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $180°-∠ ABC = 180°-∠ ACB$，即 $∠ ABD = ∠ ECA$。
∵ $AB^2 = DB· CE$，且 $AB=AC$，
∴ $AB· AC = DB· CE$，变形得 $\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$。
在$△ ADB$和$△ EAC$中：
$\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$，且 $∠ ABD = ∠ ECA$，
∴ $△ ADB ∽ △ EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $∠ BAC=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180° - 40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质得：$∠ D + ∠ DAB = ∠ ABC =70°$。
∵ $△ ADB ∽ △ EAC$，
∴ $∠ D = ∠ CAE$，
∴ $∠ CAE + ∠ DAB = 70°$，
∴ $∠ DAE = ∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 70° + 40° = 110°$。
答：$∠ DAE$的度数为$110°$。
解析
【分析】
(1)要证明△ADB∽△EAC，首先利用等腰三角形AB=AC的性质可得底角相等，进而推出底角的补角∠ABD=∠ECA；再将已知的乘积式$AB^2=DB·CE$结合AB=AC转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似三角形的判定条件。(2)求∠DAE的度数时，先根据等腰三角形内角和算出△ABC的底角度数，再结合三角形外角性质和第一问相似三角形对应角相等的结论，进行角的代换即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ABC = ∠ACB$，
∴ $180°-∠ABC = 180°-∠ACB$，即 $∠ABD = ∠ECA$。
∵ $AB^2 = DB·CE$，且 $AB=AC$，
∴ $AB·AC = DB·CE$，变形得 $\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$。
在$△ADB$和$△EAC$中：
$\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$，且 $∠ABD = ∠ECA$，
∴ $△ADB ∽ △EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $∠BAC=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - 40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质得：$∠D + ∠DAB = ∠ABC =70°$。
∵ $△ADB ∽ △EAC$，
∴ $∠D = ∠CAE$，
∴ $∠CAE + ∠DAB = 70°$，
∴ $∠DAE = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 70° + 40° = 110°$。
【答案】
(1) △ADB∽△EAC得证；
(2) $\boxed{110°}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形相似与等腰三角形结合的基础典型题，解题关键是第一问将乘积式转化为比例式，结合等腰三角形性质找到相似判定条件；第二问利用相似对应角相等实现角的代换，能有效巩固相似相关知识点的应用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ADB∽△EAC，首先利用等腰三角形AB=AC的性质可得底角相等，进而推出底角的补角∠ABD=∠ECA；再将已知的乘积式$AB^2=DB·CE$结合AB=AC转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似三角形的判定条件。(2)求∠DAE的度数时，先根据等腰三角形内角和算出△ABC的底角度数，再结合三角形外角性质和第一问相似三角形对应角相等的结论，进行角的代换即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ABC = ∠ACB$，
∴ $180°-∠ABC = 180°-∠ACB$，即 $∠ABD = ∠ECA$。
∵ $AB^2 = DB·CE$，且 $AB=AC$，
∴ $AB·AC = DB·CE$，变形得 $\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$。
在$△ADB$和$△EAC$中：
$\frac{AB}{CE}=\frac{DB}{AC}$，且 $∠ABD = ∠ECA$，
∴ $△ADB ∽ △EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $∠BAC=40°$，$AB=AC$，
∴ $∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - 40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质得：$∠D + ∠DAB = ∠ABC =70°$。
∵ $△ADB ∽ △EAC$，
∴ $∠D = ∠CAE$，
∴ $∠CAE + ∠DAB = 70°$，
∴ $∠DAE = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 70° + 40° = 110°$。
【答案】
(1) △ADB∽△EAC得证；
(2) $\boxed{110°}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形相似与等腰三角形结合的基础典型题，解题关键是第一问将乘积式转化为比例式，结合等腰三角形性质找到相似判定条件；第二问利用相似对应角相等实现角的代换，能有效巩固相似相关知识点的应用。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=3，CD=18.(1)求AC的长；(2)求证：△ABE∽△ACB.
第10题图
第10题图答案
(1) 解：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CDE$，$∠ BAE = ∠ DCE$，
∴ $△ ABE ∽ △ CDE$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
将$AB=6$，$AE=3$，$CD=18$代入得：
$\frac{6}{18}=\frac{3}{CE}$，
解得$CE=9$，
∴ $AC = AE + CE = 3 + 9 = 12$。
(2) 证明：
∵ $AE=3$，$AB=6$，$AC=12$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}$。
又∵ $∠ A$是$△ ABE$和$△ ACB$的公共角，
∴ $△ ABE ∽ △ ACB$。
最终结论：(1) $AC$的长为$\boldsymbol{12}$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CDE$，$∠ BAE = ∠ DCE$，
∴ $△ ABE ∽ △ CDE$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
将$AB=6$，$AE=3$，$CD=18$代入得：
$\frac{6}{18}=\frac{3}{CE}$，
解得$CE=9$，
∴ $AC = AE + CE = 3 + 9 = 12$。
(2) 证明：
∵ $AE=3$，$AB=6$，$AC=12$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}$。
又∵ $∠ A$是$△ ABE$和$△ ACB$的公共角，
∴ $△ ABE ∽ △ ACB$。
最终结论：(1) $AC$的长为$\boldsymbol{12}$。
解析
【分析】
（1）首先由AB平行CD可得到两组内错角相等，进而判定△ABE与△CDE相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长度，再结合AC=AE+CE就能算出AC的长。
（2）要证明△ABE∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，此时只需验证夹公共角的两组对应边成比例即可，即计算$\frac{AE}{AB}$和$\frac{AB}{AC}$的比值，若比值相等，就可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ABE = ∠CDE$，$∠BAE = ∠DCE$，
∴ $△ABE ∽ △CDE$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
将$AB=6$，$AE=3$，$CD=18$代入得：
$\frac{6}{18}=\frac{3}{CE}$，
解得$CE=9$，
∴ $AC = AE + CE = 3 + 9 = 12$。
(2) 证明：
∵ $AE=3$，$AB=6$，$AC=12$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}$。
又
∵ $∠A$是$△ABE$和$△ACB$的公共角，
∴ $△ABE ∽ △ACB$。
【答案】
(1) $AC$的长为$\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{△ABE∽△ACB}$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础常规题，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，先借助平行线构造相似三角形求得线段长度，再利用两边成比例加公共角判定相似，整体考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
（1）首先由AB平行CD可得到两组内错角相等，进而判定△ABE与△CDE相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CE的长度，再结合AC=AE+CE就能算出AC的长。
（2）要证明△ABE∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，此时只需验证夹公共角的两组对应边成比例即可，即计算$\frac{AE}{AB}$和$\frac{AB}{AC}$的比值，若比值相等，就可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ABE = ∠CDE$，$∠BAE = ∠DCE$，
∴ $△ABE ∽ △CDE$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$。
将$AB=6$，$AE=3$，$CD=18$代入得：
$\frac{6}{18}=\frac{3}{CE}$，
解得$CE=9$，
∴ $AC = AE + CE = 3 + 9 = 12$。
(2) 证明：
∵ $AE=3$，$AB=6$，$AC=12$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}$。
又
∵ $∠A$是$△ABE$和$△ACB$的公共角，
∴ $△ABE ∽ △ACB$。
【答案】
(1) $AC$的长为$\boldsymbol{12}$；(2) $\boldsymbol{△ABE∽△ACB}$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础常规题，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，先借助平行线构造相似三角形求得线段长度，再利用两边成比例加公共角判定相似，整体考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$BC$上移动(点$E$不与点$B,C$重合),满足$∠ DEF=∠ B$,且点$D,F$分别在边$AB$,$AC$上.
(1)求证:$△ BDE ∽ △ CEF$；
(2)当点$E$移动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠ DFC$.
(1)求证:$△ BDE ∽ △ CEF$；
(2)当点$E$移动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠ DFC$.
答案
证明：(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE$，
即 $∠ DEF + ∠ CEF = ∠ B + ∠ BDE$，
又∵ $∠ DEF = ∠ B$，
∴ $∠ CEF = ∠ BDE$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
证明：(2)
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。
∵ $E$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BE = CE$，
∴ $\frac{CE}{CF} = \frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE} = \frac{CF}{EF}$。
又∵ $∠ DEF = ∠ B = ∠ C$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即 $FE$ 平分 $∠ DFC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE$，
即 $∠ DEF + ∠ CEF = ∠ B + ∠ BDE$，
又∵ $∠ DEF = ∠ B$，
∴ $∠ CEF = ∠ BDE$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
证明：(2)
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。
∵ $E$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BE = CE$，
∴ $\frac{CE}{CF} = \frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE} = \frac{CF}{EF}$。
又∵ $∠ DEF = ∠ B = ∠ C$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即 $FE$ 平分 $∠ DFC$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE∽△CEF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导。首先由AB=AC可知△ABC为等腰三角形，可得∠B=∠C，得到第一组相等角；再根据三角形外角的性质，∠DEC是△BDE的外角，故∠DEC=∠B+∠BDE，同时∠DEC可拆分为∠DEF+∠CEF，结合已知∠DEF=∠B，即可推出∠CEF=∠BDE，得到第二组相等角，即可证明两三角形相似。
(2) 要证明FE平分∠DFC，即需证∠DFE=∠CFE。首先由(1)的相似结论可得对应边成比例，再结合E是BC中点，将BE替换为CE后调整比例式，结合∠DEF=∠C，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明△DEF∽△ECF，由相似三角形对应角相等即可得到∠DFE=∠CFE，进而证明FE平分∠DFC。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE$，
即 $∠ DEF + ∠ CEF = ∠ B + ∠ BDE$，
又
∵ $∠ DEF = ∠ B$，
∴ $∠ CEF = ∠ BDE$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。
∵ $E$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BE = CE$，
∴ $\frac{CE}{CF} = \frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE} = \frac{CF}{EF}$。
又
∵ $∠ DEF = ∠ B = ∠ C$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即 $FE$ 平分 $∠ DFC$。
【答案】
(1) 已证$△ BDE ∽ △ CEF$；
(2) 已证$FE$平分$∠ DFC$。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的递进式几何证明题，两小问层层关联，第一问考查相似三角形的基础判定，第二问需要借助前一问的结论进一步推导新的相似关系，解题时要灵活进行边角的等量代换，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△BDE∽△CEF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导。首先由AB=AC可知△ABC为等腰三角形，可得∠B=∠C，得到第一组相等角；再根据三角形外角的性质，∠DEC是△BDE的外角，故∠DEC=∠B+∠BDE，同时∠DEC可拆分为∠DEF+∠CEF，结合已知∠DEF=∠B，即可推出∠CEF=∠BDE，得到第二组相等角，即可证明两三角形相似。
(2) 要证明FE平分∠DFC，即需证∠DFE=∠CFE。首先由(1)的相似结论可得对应边成比例，再结合E是BC中点，将BE替换为CE后调整比例式，结合∠DEF=∠C，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明△DEF∽△ECF，由相似三角形对应角相等即可得到∠DFE=∠CFE，进而证明FE平分∠DFC。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE$，
即 $∠ DEF + ∠ CEF = ∠ B + ∠ BDE$，
又
∵ $∠ DEF = ∠ B$，
∴ $∠ CEF = ∠ BDE$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。
∵ $E$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BE = CE$，
∴ $\frac{CE}{CF} = \frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE} = \frac{CF}{EF}$。
又
∵ $∠ DEF = ∠ B = ∠ C$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即 $FE$ 平分 $∠ DFC$。
【答案】
(1) 已证$△ BDE ∽ △ CEF$；
(2) 已证$FE$平分$∠ DFC$。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的递进式几何证明题，两小问层层关联，第一问考查相似三角形的基础判定，第二问需要借助前一问的结论进一步推导新的相似关系，解题时要灵活进行边角的等量代换，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
12.如图,已知在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是中线,$P$为$AD$上一点,过$C$作$CF// AB$,延长$BP$交$AC$于点$E$,交$CF$于点$F$,求证:$PB^2 = PE· PF$.
答案
证明：
连接PC。
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ PB=PC，
∴ ∠PBC=∠PCB。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB，
即 ∠ABP=∠ACP。
∵ CF//AB，
∴ ∠ABP=∠F，
∴ ∠ACP=∠F。
又∵ ∠CPE=∠FPC，
∴ △CPE ∽ △FPC，
∴ $\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
即 $PC^2 = PE· PF$。
又∵ PB=PC，
∴ $PB^2 = PE· PF$。
连接PC。
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD垂直平分BC，
∴ PB=PC，
∴ ∠PBC=∠PCB。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB，
即 ∠ABP=∠ACP。
∵ CF//AB，
∴ ∠ABP=∠F，
∴ ∠ACP=∠F。
又∵ ∠CPE=∠FPC，
∴ △CPE ∽ △FPC，
∴ $\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
即 $PC^2 = PE· PF$。
又∵ PB=PC，
∴ $PB^2 = PE· PF$。
解析
【分析】
要证明等积式$PB^2 = PE· PF$，通常先将其转化为比例式$\frac{PB}{PE}=\frac{PF}{PB}$，但观察发现PB、PE、PF无法直接构成一对相似三角形，因此考虑通过等线段替换转化问题。已知$△ ABC$是等腰三角形，AD是底边中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分BC，因此AD上的点P到B、C的距离相等，即$PB=PC$，此时只需证明$PC^2=PE·PF$，对应比例式为$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，该比例式对应$△ CPE$和$△ FPC$，接下来只需结合平行线的性质和等腰三角形的角的关系推导两个三角形的对应角相等，即可证明三角形相似，进而得到结论。
【解析】
证明：
连接PC。
∵ $AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $AD$垂直平分$BC$，
∴ $PB=PC$，
∴ $∠PBC=∠PCB$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ABC=∠ACB$，
∴ $∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB$，
即 $∠ABP=∠ACP$。
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ABP=∠F$，
∴ $∠ACP=∠F$。
又
∵ $∠CPE=∠FPC$，
∴ $△ CPE ∽ △ FPC$，
∴ $\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
即 $PC^2 = PE· PF$。
又
∵ $PB=PC$，
∴ $PB^2 = PE· PF$。
【答案】
$PB^2 = PE· PF$成立
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等积式证明的典型题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质完成等线段替换，将待证的等积式转化为可通过三角形相似证明的形式，能有效考查学生对等腰三角形、相似三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$PB^2 = PE· PF$，通常先将其转化为比例式$\frac{PB}{PE}=\frac{PF}{PB}$，但观察发现PB、PE、PF无法直接构成一对相似三角形，因此考虑通过等线段替换转化问题。已知$△ ABC$是等腰三角形，AD是底边中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分BC，因此AD上的点P到B、C的距离相等，即$PB=PC$，此时只需证明$PC^2=PE·PF$，对应比例式为$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，该比例式对应$△ CPE$和$△ FPC$，接下来只需结合平行线的性质和等腰三角形的角的关系推导两个三角形的对应角相等，即可证明三角形相似，进而得到结论。
【解析】
证明：
连接PC。
∵ $AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $AD$垂直平分$BC$，
∴ $PB=PC$，
∴ $∠PBC=∠PCB$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ABC=∠ACB$，
∴ $∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB$，
即 $∠ABP=∠ACP$。
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ABP=∠F$，
∴ $∠ACP=∠F$。
又
∵ $∠CPE=∠FPC$，
∴ $△ CPE ∽ △ FPC$，
∴ $\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
即 $PC^2 = PE· PF$。
又
∵ $PB=PC$，
∴ $PB^2 = PE· PF$。
【答案】
$PB^2 = PE· PF$成立
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等积式证明的典型题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质完成等线段替换，将待证的等积式转化为可通过三角形相似证明的形式，能有效考查学生对等腰三角形、相似三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
