例1 如图，D是△ABC的边AB上的一点，若∠1=，则△ADC∽△ACB；若∠2=，则△ADC∽△ACB。

【思路导析】从对应关系进行分析。
【请你解答】。
知识点二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

∠B；∠ACB。

【分析】
要判定△ADC∽△ACB，首先观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组对应角相等。根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再找到一组对应相等的角即可。结合图形找准对应角的位置：∠1是△ADC中顶点C处的角，它的对应角是△ACB中顶点B处的∠B；∠2是△ADC中顶点D处的角，它的对应角是△ACB中顶点C处的∠ACB。
【解析】
在△ADC和△ACB中，∠A是两个三角形的公共角，即$∠ A = ∠ A$：
1. 当$∠ 1 = ∠ B$时，△ADC和△ACB满足两组角分别相等，因此$△ ADC ∽ △ ACB$；
2. 当$∠ 2 = ∠ ACB$时，△ADC和△ACB满足两组角分别相等，因此$△ ADC ∽ △ ACB$。
【答案】
$∠ B$；$∠ ACB$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握两角分别相等判定三角形相似的定理，同时要注意找准相似三角形的对应角，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8

例2 下列条件,能判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的是()

A.$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$
B.$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}$且$∠ A=∠ C'$
C.$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$且$∠ B=∠ B'$
D.$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$且$∠ B=∠ B'$
【思路导析】画图按定理判定.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 圆中的相似三角形

C

【分析】
要判断两个三角形是否相似，需结合三角形相似的判定定理分析各个选项。核心要注意：当给出两组边对应成比例的条件时，相等的角必须是这两组对应边的夹角，才能满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，若相等的角不是夹角，则无法判定相似，我们按照这个规则逐一验证选项即可。
【解析】
结合三角形相似的判定定理逐个分析选项：
1. 选项A：仅给出$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，缺少两组对应边的夹角$∠ A=∠ A'$的条件，不满足相似判定要求，无法判定两三角形相似。
2. 选项B：将$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}$变形可得$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，这两组边的夹角应为$∠ A$和$∠ A'$，但题目给出的是$∠ A=∠ C'$，不是对应夹角，不符合判定条件，无法判定相似。
3. 选项C：$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$，且$∠ B$是边$AB$与$BC$的夹角，$∠ B'$是边$A'B'$与$B'C'$的夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理，可以判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
4. 选项D：给出$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，但$∠ B$和$∠ B'$不是这两组对应边的夹角，属于两边成比例且一边的对角相等，无法判定相似。
综上，只有选项C的条件可以判定两三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
三角形相似的判定；对应边与对应角识别
【点评】
本题重点考查“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，解题的关键是准确识别两组对应边的夹角，避免误将非夹角的等角作为判定依据导致出错。
【难度系数】
0.7

例3 如图所示，BD是$\odot O$的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ ADB$；
(2)求AB的长.
【探究点拨】(1)证明$∠ ABC=∠ D$即可；(2)由(1)中的比例式求解.
【规范解答】(1)证明:$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C$.
又$∠ C=∠ D$，$\therefore ∠ ABC=∠ D$.
又$∠ EAB=∠ BAD$，$\therefore △ ABE ∽ △ ADB$.
(2)$\because △ ABE ∽ △ ADB$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
$AB^2=AE · AD=2 × 6=12$，
$\therefore AB=2\sqrt{3}$.

(1) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C。
又∵ ∠C=∠D，
∴ ∠ABC=∠D。
又∵ ∠EAB=∠BAD，
∴ △ABE∽△ADB。
(2) 解：
∵ △ABE∽△ADB，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴ $AB^2 = AE · AD$。
∵ $AD = AE + ED = 2 + 4 = 6$，
∴ $AB^2 = 2 × 6 = 12$，
∴ $AB = 2\sqrt{3}$。

【分析】
(1)要证明△ABE∽△ADB，可通过两角对应相等的判定定理推导：首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠ABC=∠C；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠D，由此推出∠ABC=∠D；又两个三角形有公共角∠EAB=∠BAD，满足两角对应相等的相似判定条件，即可证得相似。
(2)利用(1)得到的相似三角形结论，对应边成比例可得到关于AB的比例式，结合已知的AE、ED长度求出AD的总长，代入计算即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C。
又
∵ 同弧AB所对的圆周角相等，即∠C=∠D，
∴ ∠ABC=∠D。
又
∵ ∠EAB=∠BAD（公共角），
∴ △ABE∽△ADB。
(2) 解：
∵ △ABE∽△ADB，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴ $AB^2 = AE · AD$。
∵ $AD = AE + ED = 2 + 4 = 6$，
∴ $AB^2 = 2 × 6 = 12$，
∴ $AB = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 已证△ABE∽△ADB；
(2) $AB=2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的典型基础题，解题核心是通过等角转换找到相似三角形的判定条件，再借助相似的比例性质求解线段长度，能很好地巩固圆周角性质和相似三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7

1.如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，$∠ 1=∠ 2$，求证：$∠ ABC=∠ AED$。

证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠EAC = ∠2 + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
又∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴ △ABC ∽ △AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠ABC = ∠AED。

【分析】
要证明∠ABC=∠AED，观察可知两个角分别在△ABC和△AED中，因此可通过证明两个三角形相似，利用相似三角形对应角相等推导结论。首先根据已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠EAC，即可得到两个三角形的一组对应夹角∠BAC=∠EAD；再结合题目给出的两边对应成比例的条件，刚好符合“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理，即可证明△ABC∽△AED，最终推出对应角相等。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠EAC = ∠2 + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
又
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴ △ABC ∽ △AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠ABC = ∠AED。
【答案】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠EAC = ∠2 + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠EAD。
又
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴ △ABC ∽ △AED（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠ABC = ∠AED。
【知识点】
三角形相似判定，相似三角形性质，角的和差运算
【点评】
本题是基础的相似三角形证明题，核心是通过已知等角推导得到相似所需的对应夹角相等，结合边的比例关系判定三角形相似，再利用相似性质得到对应角相等，解题时要注意找准对应边和对应角。
【难度系数】
0.7