8.如图,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC边的中点,连接并延长DE至点F,使得$DE=2EF$,再连接BF,交EC于点M,若$AC=10$,则MC的长为()

A.3
B.4
C.4.5
D.$\frac{10}{3}$

第8题图 第9题图

B

【分析】
首先根据D、E是AB、AC中点的条件，可利用三角形中位线定理得到DE与BC的位置关系和数量关系：DE//BC，且DE=½BC；再结合DE=2EF的条件，可推出EF与BC的比值；由DE//BC可证△EFM和△CBM相似，得到EM与MC的比例关系；最后结合E是AC中点，求出EC的长度，再根据EM和MC的比例关系计算出MC的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
∵$DE=2EF$，
∴$EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$，即$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{4}$。
∵$DE// BC$，即$EF// BC$，
∴$∠ FEM=∠ C$，$∠ F=∠ MBC$，
∴$△ EFM ∽ △ CBM$，
∴$\frac{EM}{MC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{4}$，即$MC=4EM$。
∵E是AC中点，$AC=10$，
∴$EC=\frac{1}{2}AC=5$。
又
∵$EC=EM+MC=EM+4EM=5EM$，
∴$5EM=5$，解得$EM=1$，
∴$MC=4EM=4$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的核心是通过中位线得到平行关系，进而利用相似三角形的预备定理证明三角形相似，结合线段比例关系求解目标线段长度，熟练掌握中位线性质和相似三角形的判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9.如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别为B，D，F，且AB=1，CD=3，则EF的长为()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

C

【分析】
首先观察到AB、CD、EF都垂直于BD，可推出三条线段互相平行，根据相似三角形的预备定理，能得到两组相似三角形：△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD。分别写出两组相似三角形对应边的比例式，发现两个比例式的右边分母均为BD，分子相加恰好等于BD，因此将两个比例式相加即可消去未知线段，建立只含EF的等式，进而求解EF的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB//EF//CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$ ①，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$ ②，
将①+②得：$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF+BF}{BD}$，
∵DF+BF=BD，且AB=1，CD=3，
代入得：$EF+\frac{EF}{3}=\frac{BD}{BD}=1$，
整理得$\frac{4EF}{3}=1$，解得$EF=\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是利用平行关系得到相似三角形，再通过比例式相加消去未知线段求解，考查了对相似三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

10.如图，$AD// EG// BC$，$EG$分别交$AB$，$DB$，$AC$于点$E$，$F$，$G$.已知$AD=6$，$BC=10$，$AE=3$，$AB=5$，求$EG$，$FG$的长.

解：
∵ $EG// BC$，
∴ $△ AEG ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{EG}{BC}$，
代入$AE=3$，$AB=5$，$BC=10$，得$\frac{3}{5}=\frac{EG}{10}$，
解得$EG=6$。
∵ $AD// EG$，即$EF// AD$，
∴ $△ BEF ∽ △ BAD$，
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，
∵ $BE = AB - AE = 5 - 3 = 2$，$AD=6$，
代入得$\frac{2}{5}=\frac{EF}{6}$，
解得$EF=\frac{12}{5}$，
∴ $FG = EG - EF = 6 - \frac{12}{5} = \frac{18}{5}$。
答：$EG$的长为$6$，$FG$的长为$\frac{18}{5}$。

【分析】
本题要求线段EG、FG的长度，已知多组平行线，可利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例求解：①求EG时，由EG//BC可证△AEG∽△ABC，对应边成比例代入已知数值即可算出EG；②求FG时，根据FG=EG-EF，需先求EF，由EF//AD可证△BEF∽△BAD，先算出BE的长度，再用相似比算出EF，最后作差即可得到FG的长度。
【解析】
解：
∵ $EG// BC$，
∴ $△ AEG ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{EG}{BC}$，
代入$AE=3$，$AB=5$，$BC=10$，得$\frac{3}{5}=\frac{EG}{10}$，
解得$EG=6$。
∵ $AD// EG$，即$EF// AD$，
∴ $△ BEF ∽ △ BAD$，
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，
∵ $BE = AB - AE = 5 - 3 = 2$，$AD=6$，
代入得$\frac{2}{5}=\frac{EF}{6}$，
解得$EF=\frac{12}{5}$，
∴ $FG = EG - EF = 6 - \frac{12}{5} = \frac{18}{5}$。
【答案】
$EG$的长为$\boldsymbol{6}$，$FG$的长为$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$
【知识点】
相似三角形的预备定理，相似三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是根据平行线找准对应的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列式计算，同时要理清所求线段与已知线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7

11.如图，已知在$△ ABC$中，$EF // CD$，$AF=6$，$AD=10$，$AE=9$。
(1)求$AC$的长；
(2)当$DE // BC$时，求$AB$的长。

解：
(1) $\because EF // CD$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ACD$（相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$。
将$AF=6$，$AD=10$，$AE=9$代入得：
$\frac{6}{10} = \frac{9}{AC}$
解得 $AC=15$。
(2) $\because DE // BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（相似三角形预备定理），
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
将$AD=10$，$AE=9$，$AC=15$代入得：
$\frac{10}{AB} = \frac{9}{15}$
解得 $AB=\frac{50}{3}$。
答：(1) $AC$的长为$15$；(2) $AB$的长为$\frac{50}{3}$。

【分析】
第(1)问：已知EF平行于CD，根据相似三角形预备定理可推出△AEF和△ACD相似，相似三角形对应边成比例，将已知的AF、AD、AE的长度代入比例式，即可求出AC的长；
第(2)问：当DE平行于BC时，同样依据相似三角形预备定理可推出△ADE和△ABC相似，对应边成比例，代入已知的AD、AE和第(1)问求出的AC的长度，即可求出AB的长。
【解析】
(1) $\because EF // CD$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ACD$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$。
将$AF=6$，$AD=10$，$AE=9$代入得：
$\frac{6}{10} = \frac{9}{AC}$
交叉相乘计算得$6AC=90$，解得 $AC=15$。
(2) $\because DE // BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
将$AD=10$，$AE=9$，$AC=15$代入得：
$\frac{10}{AB} = \frac{9}{15}$
交叉相乘计算得$9AB=150$，解得 $AB=\frac{50}{3}$。
【答案】
(1) $AC$的长为$\boxed{15}$；(2) $AB$的长为$\boxed{\frac{50}{3}}$
【知识点】
相似三角形预备定理、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是根据平行线准确找到对应相似三角形，明确对应边的比例关系列方程求解，做题时需注意不要混淆相似三角形的对应边位置。
【难度系数】
0.8

12.如图,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.
(1)求证:$AB=AF$;
(2)当$AB=3,BC=5$时,求$\frac{AE}{AC}$的值.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ AFB = ∠ FBC$。
∵ $BF$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABF = ∠ FBC$，
∴ $∠ ABF = ∠ AFB$，
∴ $AB = AF$。
---
(2) 解：
∵ $AD// BC$，根据相似三角形预备定理，可得$△ AEF ∽ △ CEB$，
∴ $\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{BC}$。
由(1)知$AF = AB = 3$，又$BC=5$，
∴ $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{5}$，
∴ $\frac{AE}{AE+EC} = \frac{3}{3+5}$，
即$\frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}$。
最终$\frac{AE}{AC}$的值为$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$。

【分析】
(1) 要证$AB=AF$，可通过“等角对等边”证明$∠ABF=∠AFB$：首先利用平行四边形对边平行的性质得到$∠AFB=∠FBC$，再结合角平分线的定义得到$∠ABF=∠FBC$，等量代换即可得到等角，进而推得结论。
(2) 求$\frac{AE}{AC}$的值时，先根据$AD// BC$判定$△AEF$与$△CEB$相似，利用相似三角形对应边成比例得到$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{BC}$，结合(1)的结论代入$AF$、$BC$的长度求出$AE$与$EC$的比，再将$AC$转化为$AE+EC$，即可得到$AE$与$AC$的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠AFB = ∠FBC$。
∵ $BF$平分$∠ABC$，
∴ $∠ABF = ∠FBC$，
∴ $∠ABF = ∠AFB$，
∴ $AB = AF$。
(2) 解：
∵ $AD// BC$，
∴ $△AEF ∽ △CEB$，
∴ $\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{BC}$。
由(1)知$AF = AB = 3$，又$BC=5$，
∴ $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{5}$，
∴ $\frac{AE}{AE+EC} = \frac{3}{3+5}$，
即$\frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查基础几何定理的应用，解题关键是灵活利用平行线、角平分线的性质转化角的关系，再结合相似三角形的性质转化线段比例，是几何部分的常规题型。
【难度系数】
0.7

13.如图，$AB// CD$，$AD$，$BC$相交于点$E$，过点$E$作$EF// AB$，交$BD$于点$F$。
(1)求证：$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$；
(2)求证：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$。

证明：
(1) $\because EF// AB$，
根据相似三角形的预备定理，可得 $△ DEF ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，
$\therefore EF// CD$，
根据相似三角形的预备定理，可得 $△ BEF ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$。
(2) 将(1)中两个等式的左右两边分别相加，得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}$
$\because DF+BF=BD$，
$\therefore \frac{DF+BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$，
即 $\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，
等式两边同时除以$EF$，可得：
$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$。

【分析】
(1) 要证明比例式$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，由已知$EF// AB$，可运用相似三角形预备定理证明$△ DEF ∽ △ DAB$，根据相似三角形对应边成比例即可得证；再结合$AB// CD$，由平行线的传递性得$EF// CD$，同理证明$△ BEF ∽ △ BCD$，即可证得$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$。
(2) 观察待证结论的结构，将(1)所得的两个比例式左右两边分别相加，右边的分子$DF+BF=BD$，可化简得右边等于1，再将等式两边同时除以$EF$，即可变形得到要证的结论。
【解析】
(1) $\because EF// AB$，
根据相似三角形的预备定理，可得 $△ DEF ∽ △ DAB$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$。
$\because AB// CD$，$EF// AB$，
$\therefore EF// CD$，
根据相似三角形的预备定理，可得 $△ BEF ∽ △ BCD$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$。
(2) 将(1)中两个等式的左右两边分别相加，得：
$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}$
$\because DF+BF=BD$，
$\therefore \frac{DF+BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$，
即 $\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=1$，
等式两边同时除以$EF$，可得：
$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$。
【答案】
(1) $\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$，证明如上；
(2) $\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$，证明如上。
【知识点】
相似三角形预备定理；平行线的传递性；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形应用的经典基础题，核心是利用平行线构造相似三角形得到比例关系，再通过比例运算推导结论，其中将两个比例式相加凑出分子和等于分母的变形技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7