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2. 在$□ ABCD$中，E为AD的延长线上的点.求证:
(1)$△ AEB ∽ △ CBF$;
(2)$AB · BC = AE · FC$.
(1)$△ AEB ∽ △ CBF$;
(2)$AB · BC = AE · FC$.
答案
证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A = ∠C，
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠CBF，
在△AEB和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠AEB = ∠CBF\end{array} $
∴ △AEB ∽ △CBF。
(2) ∵ △AEB ∽ △CBF，
∴ $\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘可得：$AB · BC = AE · FC$。
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A = ∠C，
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠CBF，
在△AEB和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠AEB = ∠CBF\end{array} $
∴ △AEB ∽ △CBF。
(2) ∵ △AEB ∽ △CBF，
∴ $\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘可得：$AB · BC = AE · FC$。
解析
【分析】
(1) 要证明△AEB∽△CBF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导：首先结合平行四边形的性质，可得一组对应角∠A=∠C；再由平行四边形对边平行的性质，得AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠CBF，满足两组角对应相等，即可证得相似。
(2) 要证明等积式$AB · BC = AE · FC$，可先由相似三角形对应边成比例得到比例式，再将比例式交叉相乘即可得到待证的等积式。
【解析】
(1) 先利用平行四边形的性质推导角的关系：
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AD//BC，且平行四边形对角相等，即∠A = ∠C；
由AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AEB = ∠CBF；
在△AEB和△CBF中，有两组角对应相等，根据相似三角形的判定定理，可证得△AEB ∽ △CBF。
(2) 利用相似三角形的性质推导等积式：
由(1)已证△AEB ∽ △CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$；
对该比例式交叉相乘，即可得到$AB · BC = AE · FC$。
【答案】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A = ∠C，
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠CBF，
在△AEB和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠AEB = ∠CBF\end{array} $
∴ △AEB ∽ △CBF。
(2)
∵ △AEB ∽ △CBF，
∴ $\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘可得：$AB · BC = AE · FC$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的基础题型，解题核心是利用平行四边形的性质找到相似需要的相等角，再通过相似的性质推导等积式，熟练掌握基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△AEB∽△CBF，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导：首先结合平行四边形的性质，可得一组对应角∠A=∠C；再由平行四边形对边平行的性质，得AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠CBF，满足两组角对应相等，即可证得相似。
(2) 要证明等积式$AB · BC = AE · FC$，可先由相似三角形对应边成比例得到比例式，再将比例式交叉相乘即可得到待证的等积式。
【解析】
(1) 先利用平行四边形的性质推导角的关系：
已知四边形ABCD是平行四边形，因此AD//BC，且平行四边形对角相等，即∠A = ∠C；
由AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AEB = ∠CBF；
在△AEB和△CBF中，有两组角对应相等，根据相似三角形的判定定理，可证得△AEB ∽ △CBF。
(2) 利用相似三角形的性质推导等积式：
由(1)已证△AEB ∽ △CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$；
对该比例式交叉相乘，即可得到$AB · BC = AE · FC$。
【答案】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A = ∠C，
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠CBF，
在△AEB和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠AEB = ∠CBF\end{array} $
∴ △AEB ∽ △CBF。
(2)
∵ △AEB ∽ △CBF，
∴ $\frac{AB}{FC}=\frac{AE}{BC}$，
交叉相乘可得：$AB · BC = AE · FC$。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的基础题型，解题核心是利用平行四边形的性质找到相似需要的相等角，再通过相似的性质推导等积式，熟练掌握基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
1.如图，DE//BC，若AD：DB=1：2，则DE：BC=。
答案
$\boldsymbol{1:3}$
解析
【分析】
解题时先观察到DE平行于BC，根据相似三角形的预备定理可判定△ADE和△ABC相似；已知AD:DB=1:2，需要先将该比例转化为AD与AB的比例关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，就能求出DE与BC的比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∵$AD:DB=1:2$，
设$AD=k$，则$DB=2k$，
∴$AB=AD+DB=k+2k=3k$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，
∵相似三角形对应边成比例，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
即$DE:BC=1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
平行线判定相似；相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行线得到相似三角形，要注意将已知的AD与DB的线段比转化为相似三角形对应边的比，不要直接误用$AD:DB$的比值作为结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察到DE平行于BC，根据相似三角形的预备定理可判定△ADE和△ABC相似；已知AD:DB=1:2，需要先将该比例转化为AD与AB的比例关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，就能求出DE与BC的比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∵$AD:DB=1:2$，
设$AD=k$，则$DB=2k$，
∴$AB=AD+DB=k+2k=3k$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，
∵相似三角形对应边成比例，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
即$DE:BC=1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
平行线判定相似；相似三角形性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是通过平行线得到相似三角形，要注意将已知的AD与DB的线段比转化为相似三角形对应边的比，不要直接误用$AD:DB$的比值作为结果。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知$AB// CD$，AD与BC相交于点P，$AB=4$，$CD=7$，$AD=10$，则AP的长为。
答案
解：
∵ $AB// CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。
设$AP = x$，由$AD=10$得$DP=10-x$，
将$AB=4$，$CD=7$代入得：
$\frac{x}{10-x}=\frac{4}{7}$
解得：$7x=40-4x$，
$11x=40$，
$x=\frac{40}{11}$。
$\frac{40}{11}$
∵ $AB// CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。
设$AP = x$，由$AD=10$得$DP=10-x$，
将$AB=4$，$CD=7$代入得：
$\frac{x}{10-x}=\frac{4}{7}$
解得：$7x=40-4x$，
$11x=40$，
$x=\frac{40}{11}$。
$\frac{40}{11}$
解析
【分析】
首先观察图形，已知AB平行于CD，AD和BC交于点P，可推出两个三角形的对应角相等（内错角相等、对顶角相等），根据相似三角形的预备定理即可判定△PAB和△PDC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AP与DP的比值等于AB与CD的比值，结合AD总长为10，设AP为未知数，代入比例式列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
∵ $AB// CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。
设$AP = x$，由$AD=10$得$DP=10-x$，
将$AB=4$，$CD=7$代入得：
$\frac{x}{10-x}=\frac{4}{7}$
交叉相乘得：$7x=4(10-x)$，
整理得：$7x=40-4x$，
移项合并同类项得：$11x=40$，
解得：$x=\frac{40}{11}$。
【答案】
$\frac{40}{11}$
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是利用平行关系判定三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质列方程计算，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知AB平行于CD，AD和BC交于点P，可推出两个三角形的对应角相等（内错角相等、对顶角相等），根据相似三角形的预备定理即可判定△PAB和△PDC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AP与DP的比值等于AB与CD的比值，结合AD总长为10，设AP为未知数，代入比例式列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
∵ $AB// CD$，
∴ $△ PAB ∽ △ PDC$，
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。
设$AP = x$，由$AD=10$得$DP=10-x$，
将$AB=4$，$CD=7$代入得：
$\frac{x}{10-x}=\frac{4}{7}$
交叉相乘得：$7x=4(10-x)$，
整理得：$7x=40-4x$，
移项合并同类项得：$11x=40$，
解得：$x=\frac{40}{11}$。
【答案】
$\frac{40}{11}$
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是利用平行关系判定三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质列方程计算，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$□ ABCD$中，E为AB的中点，DE交AC于点F，则$△ AEF ∽\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
由AB//CD，根据相似三角形的预备定理，可得$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，
∴ $△ AEF$与$△ CDF$的相似比为$AE:CD = 1:2$。
∵ $△ AEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$，
∵ $AF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FC = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = AF + FC = 2 + 4 = 6\ \mathrm{cm}$。
答案依次为：$△ CDF$；$1:2$；$6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
由AB//CD，根据相似三角形的预备定理，可得$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，
∴ $△ AEF$与$△ CDF$的相似比为$AE:CD = 1:2$。
∵ $△ AEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$，
∵ $AF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FC = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = AF + FC = 2 + 4 = 6\ \mathrm{cm}$。
答案依次为：$△ CDF$；$1:2$；$6$。
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，由AB//CD可得△AEF和△CDF的对应角相等，结合相似三角形的预备定理即可确定相似的三角形；再利用E是AB中点的条件，推导得到两个三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AF的长度计算出FC的长度，求和即可得到AC的总长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
由AB//CD，可得∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，又∠AFE=∠CFD（对顶角相等），根据相似三角形的预备定理，可得$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，
∴ $△ AEF$与$△ CDF$的相似比为$AE:CD = 1:2$。
∵ $△ AEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{CD} = \frac{1}{2}$，
已知$AF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FC = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = AF + FC = 2 + 4 = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$△ CDF$；$1:2$；$6$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握平行线推相似的常见模型，准确找到相似三角形的对应边，结合比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，由AB//CD可得△AEF和△CDF的对应角相等，结合相似三角形的预备定理即可确定相似的三角形；再利用E是AB中点的条件，推导得到两个三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AF的长度计算出FC的长度，求和即可得到AC的总长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
由AB//CD，可得∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，又∠AFE=∠CFD（对顶角相等），根据相似三角形的预备定理，可得$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，
∴ $△ AEF$与$△ CDF$的相似比为$AE:CD = 1:2$。
∵ $△ AEF ∽ △ CDF$，
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{CD} = \frac{1}{2}$，
已知$AF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FC = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC = AF + FC = 2 + 4 = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$△ CDF$；$1:2$；$6$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握平行线推相似的常见模型，准确找到相似三角形的对应边，结合比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.75
4.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,点E在AC上,且$∠ EAD=∠ ADE$,$AB=3$,$AC=4$,则$\frac{BD}{CD}$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：第一步，利用角平分线性质得到∠BAD=∠EAD，结合已知∠EAD=∠ADE，等量代换得∠BAD=∠ADE，可推出DE//AB，同时由等角对等边得AE=DE；第二步，根据相似三角形预备定理，DE//AB可证△CDE∽△CBA，结合对应边成比例代入DE=AE，可推出AE与CE的比值；第三步，根据平行线分线段成比例的推论，DE//AB时对应线段BD与CD的比等于AE与CE的比，即可求出结果。
【解析】
1. 已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质可得：$∠ BAD=∠ EAD$。
2. 又$\because ∠ EAD=∠ ADE$，$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$，且由等角对等边得$AE=DE$。
3. 由内错角相等，两直线平行，可得$DE// AB$。
4. $\because DE// AB$，根据相似三角形的预备定理，可得$△ CDE ∽ △ CBA$，因此对应边成比例：$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
5. 将$DE=AE$，$AB=3$，$AC=4$代入上式得：$\frac{AE}{3}=\frac{CE}{4}$，变形可得$\frac{AE}{CE}=\frac{3}{4}$。
6. 再由平行线分线段成比例的推论，$DE// AB$时$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，因此$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
角平分线的性质、相似三角形预备定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线判定、等腰三角形性质以及相似三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量关系推导出平行线，再结合比例关系求解，需要学生熟练掌握基础定理之间的关联应用。
【难度系数】
0.7
解题可按以下步骤思考：第一步，利用角平分线性质得到∠BAD=∠EAD，结合已知∠EAD=∠ADE，等量代换得∠BAD=∠ADE，可推出DE//AB，同时由等角对等边得AE=DE；第二步，根据相似三角形预备定理，DE//AB可证△CDE∽△CBA，结合对应边成比例代入DE=AE，可推出AE与CE的比值；第三步，根据平行线分线段成比例的推论，DE//AB时对应线段BD与CD的比等于AE与CE的比，即可求出结果。
【解析】
1. 已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质可得：$∠ BAD=∠ EAD$。
2. 又$\because ∠ EAD=∠ ADE$，$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$，且由等角对等边得$AE=DE$。
3. 由内错角相等，两直线平行，可得$DE// AB$。
4. $\because DE// AB$，根据相似三角形的预备定理，可得$△ CDE ∽ △ CBA$，因此对应边成比例：$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
5. 将$DE=AE$，$AB=3$，$AC=4$代入上式得：$\frac{AE}{3}=\frac{CE}{4}$，变形可得$\frac{AE}{CE}=\frac{3}{4}$。
6. 再由平行线分线段成比例的推论，$DE// AB$时$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，因此$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
角平分线的性质、相似三角形预备定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线判定、等腰三角形性质以及相似三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量关系推导出平行线，再结合比例关系求解，需要学生熟练掌握基础定理之间的关联应用。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，BE⊥CE于点E，交半圆O于点F，已知CE＝12，BE＝9，则CO的长为。
答案
解：
连接OD，
∵ CD切半圆O于点D，
∴ OD⊥CE，
∵ BE⊥CE，
∴ OD//BE，
∴ △COD∽△CBE，
在Rt△CBE中，∠E=90°，CE=12，BE=9，
∴ BC=√(CE²+BE²)=√(12²+9²)=15，
设半圆O的半径为r，则OD=r，OB=r，且CO=CB-OB=15-r，
由△COD∽△CBE得：$\frac{OD}{BE}=\frac{CO}{CB}$，
代入得：$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得：$r=\frac{45}{8}$，
∴ $CO=15-\frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
$\frac{75}{8}$
连接OD，
∵ CD切半圆O于点D，
∴ OD⊥CE，
∵ BE⊥CE，
∴ OD//BE，
∴ △COD∽△CBE，
在Rt△CBE中，∠E=90°，CE=12，BE=9，
∴ BC=√(CE²+BE²)=√(12²+9²)=15，
设半圆O的半径为r，则OD=r，OB=r，且CO=CB-OB=15-r，
由△COD∽△CBE得：$\frac{OD}{BE}=\frac{CO}{CB}$，
代入得：$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得：$r=\frac{45}{8}$，
∴ $CO=15-\frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
$\frac{75}{8}$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点D的半径OD，可得OD⊥CE；结合BE⊥CE可推出OD//BE，进而得到△COD∽△CBE。先在Rt△CBE中用勾股定理求出BC的长度，再设半圆半径为r，用含r的式子表示出CO的长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求出半径r，最后计算CO的长度即可。
【解析】
连接OD，
∵ CD切半圆O于点D，
∴ OD⊥CE，
∵ BE⊥CE，
∴ OD//BE，
∴ △COD∽△CBE，
在Rt△CBE中，∠E=90°，CE=12，BE=9，
∴ BC=√(CE²+BE²)=√(12²+9²)=15，
设半圆O的半径为r，则OD=r，OB=r，且CO=CB-OB=15-r，
由△COD∽△CBE得：$\frac{OD}{BE}=\frac{CO}{CB}$，
代入得：$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
交叉相乘得$15r=9(15-r)$，解得：$r=\frac{45}{8}$，
∴ $CO=15-\frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规题型，解题核心是通过连接半径构造平行线，进而得到相似三角形，结合勾股定理和方程思想求解，要求熟练掌握切线性质和相似三角形的应用。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据切线的性质，连接过切点D的半径OD，可得OD⊥CE；结合BE⊥CE可推出OD//BE，进而得到△COD∽△CBE。先在Rt△CBE中用勾股定理求出BC的长度，再设半圆半径为r，用含r的式子表示出CO的长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求出半径r，最后计算CO的长度即可。
【解析】
连接OD，
∵ CD切半圆O于点D，
∴ OD⊥CE，
∵ BE⊥CE，
∴ OD//BE，
∴ △COD∽△CBE，
在Rt△CBE中，∠E=90°，CE=12，BE=9，
∴ BC=√(CE²+BE²)=√(12²+9²)=15，
设半圆O的半径为r，则OD=r，OB=r，且CO=CB-OB=15-r，
由△COD∽△CBE得：$\frac{OD}{BE}=\frac{CO}{CB}$，
代入得：$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
交叉相乘得$15r=9(15-r)$，解得：$r=\frac{45}{8}$，
∴ $CO=15-\frac{45}{8}=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\frac{75}{8}$
【知识点】
切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规题型，解题核心是通过连接半径构造平行线，进而得到相似三角形，结合勾股定理和方程思想求解，要求熟练掌握切线性质和相似三角形的应用。
【难度系数】
0.65
6.如图，在$□ ABCD$中，F是AD上一点，连接BF并延长，与CD的延长线交于点E，则图中与$△ DEF$相似的三角形共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要找出与△DEF相似的三角形，先结合平行四边形对边平行的性质，再利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）排查即可：首先明确平行四边形ABCD中AB//CD、AD//BC，再分别找与△DEF有两组角对应相等的三角形。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
① 由AB//CD可得：∠E=∠ABF，∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABF（两角分别相等的两个三角形相似）；
② 由AD//BC可得：∠EDF=∠C，∠EFD=∠EBC，
又
∵∠E是公共角，
∴△DEF∽△CEB（两角分别相等的两个三角形相似）。
其余三角形均不满足与△DEF相似的条件，故共有2个与△DEF相似的三角形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查相似三角形的判定，熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”是解题的关键，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要找出与△DEF相似的三角形，先结合平行四边形对边平行的性质，再利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）排查即可：首先明确平行四边形ABCD中AB//CD、AD//BC，再分别找与△DEF有两组角对应相等的三角形。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
① 由AB//CD可得：∠E=∠ABF，∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABF（两角分别相等的两个三角形相似）；
② 由AD//BC可得：∠EDF=∠C，∠EFD=∠EBC，
又
∵∠E是公共角，
∴△DEF∽△CEB（两角分别相等的两个三角形相似）。
其余三角形均不满足与△DEF相似的条件，故共有2个与△DEF相似的三角形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查相似三角形的判定，熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”是解题的关键，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
7. 在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC，BD交于点O，若AD＝1，BC＝3，则$\frac{AO}{CO}$等于（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{9}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
B
解析
【分析】
已知梯形中AD平行于BC，首先可根据平行线的性质得到两组内错角相等，结合对顶角相等，能判定△AOD和△COB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，建立AO与CO的比值和AD、BC边长的关系，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴△AOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AD}{BC}$，
将AD=1，BC=3代入，得$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用梯形上下底平行的条件推导得到相似三角形，再借助相似三角形对应边成比例的性质求解线段比值，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
已知梯形中AD平行于BC，首先可根据平行线的性质得到两组内错角相等，结合对顶角相等，能判定△AOD和△COB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，建立AO与CO的比值和AD、BC边长的关系，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴△AOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{AD}{BC}$，
将AD=1，BC=3代入，得$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用梯形上下底平行的条件推导得到相似三角形，再借助相似三角形对应边成比例的性质求解线段比值，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
