1. 如图，$△ ABC$和$△ DEC$都是等边三角形.$D$是$BC$延长线上一点，$AD$与$BE$相交于点$P$，$AC$与$BE$相交于点$M$，$AD$与$CE$相交于点$N$.
(1) 如图①，求证：$AD=BE$；
(2) 如图②，当$△ CDE$绕点$C$沿逆时针方向旋转到图②时，求$∠ APB$的度数.

(1) 证明:
∵ △ABC 和△CDE 都为等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
∴ ∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △BCE(SAS).
∴ AD=BE.
(2) 解:
∵ △ABC 和△CDE 都是等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴ ∠ACB+∠ACE= ∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD. 在△ACD 和△BCE 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △BCE(SAS).
∴ ∠DAC=∠EBC.
∵ ∠AMP=∠BMC,
∴ ∠APB=∠ACB=60°.

2.(1)如图1,已知正方形ABCD和正方形CEFG,点G在边CD上,点E在边BC上,则BE与DG的数量关系为;
(2)将(1)中的正方形CEFG绕点C旋转至如图2时,(1)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若$AB=5\sqrt{2},CE=\sqrt{2},$将(1)中正方形CEFG绕点C旋转α度(0＜α＜90),当B,E,G三点在一条直线上(如图3)时,求DG的长.

(1)$BE=DG$
(2)解:结论成立.证明:由题意得∠BCD=∠ECG=90°,
∴ ∠BCE=∠DCG. 又
∵ BC=DC,EC = GC,
∴ △BCE ≌ △DCG(SAS).
∴ BE=DG.
(3)连接 FC 交 EG 于点 M.
∵ 四边形 CEFG 是正方形,$CE=\sqrt{2}$,
∴ CM=EM=1,EG⊥FC. 由勾股定理,得 $BM=\sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 1^2}=7$,
∴ BE=BM-EM=7-1=6. 同(2)可证 DG=BE=6.