3.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点D,E均在边BC上,且$∠ DAE=45°$.猜想BD,DE,EC应满足的等量关系,并证明.

解:猜想:$DE^2=BD^2+EC^2$.证明:将△ABD绕点A逆时针旋转90°,则AB旋转后的对应边与AC重合,∠DAD' = 90°,△ABD ≌ △ACD',BD=CD',AD=AD'. 连接ED',
∵ ∠DAE = 45°,∠DAD' = 90°,
∴ ∠EAD' = ∠DAE = 45°,
∴ △ADE ≌ △AD'E.
∴ DE = D'E. 在Rt△ABC中,∠B + ∠ACB = 90°,∠B=∠ACD',
∴ ∠ACD' + ∠ACB = 90°. 即∠D'CE = 90°.
∴ ED'^2 = EC^2 + CD'^2.
∴ DE^2 = EC^2 + BD^2.

4. 如图，已知正方形ABCD，点E，F分别在AB，BC边上，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM。
(1)求证：△EDF≌△MDF；
(2)若正方形ABCD的边长为5，AE=2，求EF的长。

(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠A=∠B=∠DCF=90°,AD=AB=BC. 由旋转得∠A=∠DCM=90°,DE=DM,∠EDM=90°,
∴ ∠DCF+∠DCM=180°.
∴ F,C,M三点在同一条直线上.
∵ ∠EDF=45°,
∴ ∠FDM=∠EDM-∠EDF=45°.
∴ ∠EDF=∠FDM.
∵ DF=DF,
∴ △EDF≌△MDF(SAS).
(2)解:设 CF=x,则 BF=BC-CF=5-x. 由旋转得 CM=AE=2,
∴ BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x.
∵ △EDF≌△MDF,
∴ EF=FM=2+x. 在Rt△EBF中,$BE^2 + BF^2 = EF^2$,
∴ 9+(5-x)^2=(2+x)^2.
∴ $x=\frac{15}{7}$.
∴ $EF=2+x=\frac{29}{7}$.
∴ EF 的长为$\frac{29}{7}$.