1. 如图，将抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且$△ AOB$为等腰直角三角形。
(1)求$a$的值；
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使$△ ABC$为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求$S_{△ ABC}$；若不存在，请说明理由。

(1)依题意将抛物线$y=x^2$平移后为抛物线$y=(x-a)^2$,即$y=x^2-2ax+a^2. \because OA=OB$,点 A 的坐标为$(a,0)$,点 B 的坐标为$(0,a^2), \therefore a^2=a. \because a≠0, \therefore a=1.$
(2)存在. 点 C 的坐标为$(2,1)$,此时 $AB=AC,∠BAC=90°$. 易知 $AB=AC=\sqrt{2}, \therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1.$

2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-1,0), B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)若 $Q$ 为抛物线对称轴上一动点，求使 $△ QBC$ 为直角三角形的点 $Q$ 的坐标。

(1)$\because A(-1,0),C(0,-3)$在$y = x^2 + bx + c$ 的图象上，$\therefore \begin{cases} 1-b+c=0,\\ c=-3. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-2,\\ c=-3. \end{cases} \therefore$ 二次函数的解析式为 $y=x^2-2x-3.$
(2)$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$ $\therefore$ 对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 可设 Q 点坐标为$(1,t). \because B(3,0),C(0,-3), \therefore BQ^2=(1-3)^2+t^2=t^2+4,CQ^2=1^2+(t+3)^2=t^2+6t+10,BC^2=18,$ $\because △QBC$ 为直角三角形,$\therefore$ 可分为 $∠BQC=90°,∠CBQ=90°$和$∠BCQ=90°$三种情况: ①当$∠BQC=90°$时,则有 $BQ^2+CQ^2=BC^2$,即 $t^2 +4 + t^2 + 6t + 10 = 18$, 解得 $t = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或 $t=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$,此时 Q 点的坐标为 $(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$ 或 $(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$; ②当$∠CBQ=90°$时,则有 $BC^2+BQ^2=CQ^2$,即 $18+t^2+4=t^2+6t+10$,解得 $t=2$,此时 Q 的坐标为$(1,2)$; ③当$∠BCQ=90°$时,则有 $BC^2+CQ^2=BQ^2$,即 $18+t^2+6t+10=t^2+4$,解得 $t=-4$,此时 Q 点坐标为$(1,-4)$. 综上可知:点 Q 的坐标为 $(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$ 或 $(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$ 或$(1,2)$或$(1,-4).$