3.(凉山州中考改编)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线经过$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,-1)$三点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.

(1)$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1.$
(2)如图所示， ①当 AB 为边时,只要 $PQ// AB$,且 $PQ=AB=4$ 即可,又知点 Q 在 y 轴上,$\therefore$ 点 P 的横坐标为 4 或-4,这时,符合条件的点 P 有两个,分别记为 $P_1$、$P_2$. 而当 $x=4$ 时,$y=\frac{5}{3}$;当 $x=-4$ 时,$y=7$. 此时 $P_1(4,\frac{5}{3}),P_2(-4,7)$; ②当 AB 为对角线时,只要线段 PQ 与线段 AB 互相平分即可,又知点 Q 在 y 轴上,Q 点横坐标为 0 且线段 AB 中点的横坐标为 1,$\therefore$ 点 P 的横坐标为 2,这时,符合条件的点 P 只有一个,记为 $P_3$. 而当 $x=2$ 时,$y=-1$,此时 $P_3(2,-1)$. 综上,满足条件的点 P 的坐标为 $P_1(4,\frac{5}{3}),P_2(-4,7),P_3(2,-1).$

4.如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是$M'$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线$AM'$与此抛物线的另一交点为C,求$△ CAB$的面积;
(3)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

(1)将 A,B 点坐标代入函数解析式, 得 $\begin{cases} 1-b+c=0,\\ 9+3b+c=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3.$
(2)将抛物线的解析式写成顶点式,得 $y=(x-1)^2-4$, $\therefore M$ 点的坐标为$(1,-4)$,则点 M 关于 x 轴的对称点 $M'(1,4)$. 设直线 $AM'$ 的解析式为 $y=kx+n$,将 A, $M'$ 点的坐标代入,得 $\begin{cases} -k+n=0,\\ k+n=4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ n=2, \end{cases}$ 故直线 $AM'$ 的解析式为 $y=2x+2$. 联立直线 $AM'$ 与抛物线的解析式得 $\begin{cases} y=2x+2,\\ y=x^2-2x-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x_1=-1,\\ y_1=0, \end{cases}$ $\begin{cases} x_2=5,\\ y_2=12. \end{cases}$ 则点 C 坐标为$(5,12)$. 故 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×12=24.$
(3)存在过 A,B 两点的抛物线,其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q,使得四边形 APBQ 为正方形. 由四边形 APBQ 是正方形,$A(-1,0),B(3,0)$得 $P(1,-2),Q(1,2)$,或 $P(1,2),Q(1,-2)$. ①当顶点 $P(1,-2)$时,设抛物线的解析式为 $y=a(x-1)^2-2$,将 A 点坐标代入函数解析式,得 $a(-1-1)^2-2=0$,解得 $a=\frac{1}{2}$,故抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$; ②当顶点 $P(1,2)$时,设抛物线解析式为 $y=d(x-1)^2+2$,将 A 点坐标代入函数解析式,得 $d(-1-1)^2+2=0$,解得 $d=-\frac{1}{2}$. 故抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$. 综上所述,存在抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+2$,使得四边形 APBQ 为正方形.