8.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，则它的外心与顶点的距离为（）.

A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$13\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$6.5\ \mathrm{cm}$

8.D

【分析】
首先明确解题思路：1. 先回忆三角形外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径。2. 结合直角三角形的特殊性：直角三角形的外心恰好落在斜边的中点处，因此外接圆的半径等于斜边长度的一半。3. 因此本题只需要先用勾股定理求出斜边AB的长度，再除以2即可得到外心到顶点的距离。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形的外心为斜边的中点，外心到顶点的距离等于外接圆的半径，
所以外接圆半径$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×13=6.5\ \mathrm{cm}$，即外心与顶点的距离为$6.5\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；三角形的外接圆与外心
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解，熟记“直角三角形的外心是斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半”是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85

9.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=6$，$BC=8$，那么这个三角形的外接圆半径是（）.

A.5
B.10
C.5或4
D.10或8

9.C

【分析】
解题时首先明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此外接圆半径为斜边的一半。由于题目未明确直角顶点，且斜边为直角三角形最长边，已知AB=6＜BC=8，因此AB不可能为斜边，只需分两种情况讨论：①BC为斜边；②AB和BC为直角边、AC为斜边，分别计算斜边长度后即可求出对应半径。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径为斜边的一半，分两种情况计算：
1. 当BC为Rt△ABC的斜边时：
外接圆直径为BC=8，因此半径$R=\frac{8}{2}=4$；
2. 当AB和BC为Rt△ABC的两条直角边时：
由勾股定理可得斜边$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，因此外接圆半径$R=\frac{10}{2}=5$。
综上，该三角形的外接圆半径为5或4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形外接圆性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略未明确直角顶点的条件，直接默认两条已知边为直角边导致漏解，解题时遇到未明确直角的直角三角形问题，要先判断可能的斜边情况，分类讨论求解。
【难度系数】
0.7

10.如图，△ABC中，∠A=70°,O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为。

10.$140°$

【分析】
解题时首先明确外心的概念：三角形的外心是其外接圆的圆心，因此点O是△ABC外接圆的圆心。接下来观察角的对应关系：∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用∠A的度数乘2即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O为△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，∠A为弧BC所对的圆周角，∠BOC为弧BC所对的圆心角。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得：
∠BOC=2∠A
又
∵∠A=70°，
∴∠BOC=2×70°=140°。
【答案】
140°
【知识点】
外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题考查三角形外心的性质与圆周角定理的应用，解题的关键是判断出两个角对应同一段弧，熟练掌握同弧所对圆心角和圆周角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(2,0),(3,3),$\odot M$是$△ OAB$的外接圆,则$\odot M$的半径为.

11.$\sqrt{5}$

【分析】三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径。解题思路：1. 先求边OA的垂直平分线，OA在x轴上，中点为(1,0)，其垂直平分线为垂直于x轴的直线x=1；2. 再求边OB的垂直平分线，先求OB中点，再根据垂直直线斜率乘积为-1求出垂直平分线斜率，用点斜式写出方程；3. 两条垂直平分线的交点即为圆心M的坐标；4. 用两点间距离公式计算M到任意顶点的距离，得到半径。
【解析】解：已知$O(0,0)$，$A(2,0)$，$B(3,3)$。
1. 求OA的垂直平分线：
OA的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$，OA沿x轴方向，其垂直平分线垂直于x轴，方程为$x=1$。
2. 求OB的垂直平分线：
OB的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+3}{2})=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，
OB的斜率$k_{OB}=\frac{3-0}{3-0}=1$，则其垂直平分线的斜率为$-1$，
由点斜式得OB的垂直平分线方程：$y-\frac{3}{2}=-1×(x-\frac{3}{2})$，化简得$y=-x+3$。
3. 求圆心M坐标：
联立$\begin{cases}x=1 \\ y=-x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$，即圆心$M(1,2)$。
4. 计算半径：
由两点间距离公式，半径$r=OM=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】三角形外接圆性质，一次函数应用，两点间距离公式
【点评】本题考查三角形外心的性质，结合平面直角坐标系求垂直平分线方程是解题的核心，需熟练掌握垂直平分线的特点和两点间距离公式的应用。
【难度系数】0.65

12.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,且$AE⊥ BC$,$AF⊥ CD$.
(1)求证:$A,E,C,F$四点共圆.
(2)设线段$BD$与(1)中的圆交于点$M,N$.求证:$BM=ND$.

12.(1)证明:连接$AC$,取$AC$的中点$O$,连接$OE$,$OF$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中$OE=\frac{1}{2}AC$,在$\mathrm{Rt}△ ACF$中$OF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore OA=OE=OC=OF$.
$\therefore A,E,C,F$四点共圆.
(2)由(1)可知$AC$是直径,$O$为圆心.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AC$的中点为$BD$的中点,$\therefore OB=OD$,
$\because OM=ON$,$\therefore OB-OM=OD-ON$,$\therefore BM=DN$.

【分析】
(1) 要证明四点共圆，可通过证明四点到同一个定点的距离相等实现。本题中AE⊥BC、AF⊥CD，可得△ACE和△ACF都是以AC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC中点O，即可推出O到A、E、C、F四点距离相等，从而证得四点共圆。
(2) 要证BM=ND，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知AC的中点O也是BD的中点，即OB=OD；再结合M、N都在(1)的圆上，同圆半径相等可得OM=ON，利用等式性质作差即可推出BM=ND。
【解析】
(1) 证明：连接$AC$，取$AC$的中点$O$，连接$OE$，$OF$。
$\because AE⊥ BC$，$\therefore △ ACE$是直角三角形，$OE$是$Rt△ ACE$斜边$AC$的中线，$\therefore OE=\frac{1}{2}AC$。
同理，$AF⊥ CD$，$△ ACF$是直角三角形，$OF$是$Rt△ ACF$斜边$AC$的中线，$\therefore OF=\frac{1}{2}AC$。
$\because O$是$AC$中点，$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore OA=OE=OC=OF$，
$\therefore A、E、C、F$四点在以$O$为圆心的同一个圆上，即四点共圆。
(2) 证明：由(1)可知，$A、E、C、F$四点所在圆的直径为$AC$，圆心为$O$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
$\therefore O$同时是$BD$的中点，$\therefore OB=OD$。
$\because M、N$是$BD$与圆$O$的交点，$\therefore OM、ON$都是圆$O$的半径，$\therefore OM=ON$。
$\therefore OB-OM=OD-ON$，即$BM=ND$。
【答案】
(1) $A、E、C、F$四点共圆得证；
(2) $BM=ND$得证。
【知识点】
1. 四点共圆的判定
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 平行四边形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础证明题，侧重考察基础几何性质的综合应用，解题的关键是抓住共斜边的直角三角形这一特征，结合斜边中线性质完成共圆证明，再利用平行四边形和圆的基本性质推导线段相等。
【难度系数】
0.7

13.已知等腰三角形ABC是直径为10 cm的$\odot O$的内接三角形，且$△ ABC$的底边BC长8 cm，求$△ ABC$的面积.

13.$\because AB=AC$,$\therefore$ 点$O$在$BC$的中垂线上.
当圆心在三角形内部时,$OA=OB=5\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,
根据勾股定理,$OD=3\ \mathrm{cm}$,则$AD=8\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{cm}^2)$;
当圆心在三角形外部时,$OA=OB=5\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,
根据勾股定理,$OD=3\ \mathrm{cm}$,则$AD=2\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2=8(\mathrm{cm}^2)$.
$\therefore △ ABC$的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$或$8\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
本题是圆内接等腰三角形的面积计算问题，首先结合等腰三角形三线合一的性质，可知过顶点A和圆心O的直线垂直平分底边BC，由圆的直径为10cm可得半径长为5cm。需要注意圆心O的位置有两种情况：在△ABC内部、在△ABC外部，因此要分类讨论求解：先利用勾股定理求出圆心到BC的距离OD，再分别计算两种情况下△ABC的高AD，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：已知⊙O的直径为10cm，因此⊙O的半径$OA=OB=5\ \mathrm{cm}$。
∵$AB=AC$，△ABC为等腰三角形，
∴点A、O都在BC的垂直平分线上，即AO所在直线垂直BC于点D，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当圆心O在△ABC内部时：
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
此时△ABC的高$AD=AO+OD=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{cm}^2)$。
②当圆心O在△ABC外部时：
同理可得$OD=3\ \mathrm{cm}$，
此时△ABC的高$AD=AO-OD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×2=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
△ABC的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$或$8\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆的内接三角形，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题的易错点是容易忽略圆心在三角形外部的情况导致漏解，解题时要结合图形的对称性分类讨论，明确不同情况下三角形高的计算方式，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6