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1.在同一个圆中有下列说法:①垂直于弦的直径平分这条弦;②平分弦的直径垂直于弦;③圆是轴对称图形,每条直径都是其对称轴;④弦的垂直平分线经过圆心.
其中正确的说法是
其中正确的说法是
①④
(填序号).答案
①④
解析
【分析】
解题时需结合圆的基本性质、垂径定理及推论、对称轴的定义逐一判断每个说法的正误：首先回忆垂径定理的内容判断①；再注意垂径定理推论的前提条件，判断②；接着结合对称轴是直线、直径是线段的属性判断③；最后根据圆心到弦两端点距离相等，结合垂直平分线的判定判断④即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，因此①正确；
②“平分弦的直径垂直于弦”成立的前提是“被平分的弦不是直径”：若弦本身是直径，任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，因此②错误；
③圆是轴对称图形，但对称轴是直线，直径是线段，正确表述应为“每条直径所在的直线是圆的对称轴”，因此③错误；
④圆心到弦的两个端点的距离均等于半径，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，因此④正确。
综上，正确的说法是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及其推论；圆的轴对称性；垂直平分线的判定
【点评】
本题考查圆的相关性质的辨析，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦”的前提是弦非直径，以及混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，解题时要注意定理的适用条件和概念的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时需结合圆的基本性质、垂径定理及推论、对称轴的定义逐一判断每个说法的正误：首先回忆垂径定理的内容判断①；再注意垂径定理推论的前提条件，判断②；接着结合对称轴是直线、直径是线段的属性判断③；最后根据圆心到弦两端点距离相等，结合垂直平分线的判定判断④即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，因此①正确；
②“平分弦的直径垂直于弦”成立的前提是“被平分的弦不是直径”：若弦本身是直径，任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，因此②错误；
③圆是轴对称图形，但对称轴是直线，直径是线段，正确表述应为“每条直径所在的直线是圆的对称轴”，因此③错误；
④圆心到弦的两个端点的距离均等于半径，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知圆心在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心，因此④正确。
综上，正确的说法是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及其推论；圆的轴对称性；垂直平分线的判定
【点评】
本题考查圆的相关性质的辨析，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦”的前提是弦非直径，以及混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，解题时要注意定理的适用条件和概念的准确性。
【难度系数】
0.7
2.如图，CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$于点M.若$CD=10$，$MC=2$，则$AB=$
8
.答案
8
解析
【分析】
首先观察图形，已知直径CD垂直于弦AB，可联想到垂径定理，得出AB=2AM，因此只需求出AM的长度即可。我们可以连接半径OA构造直角三角形，利用勾股定理计算AM：先根据直径长度求出圆的半径，再算出OM的长度，最后在直角三角形中求解AM，进而得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴$OA=OC=\frac{CD}{2}=5$，
∵$MC=2$，
∴$OM=OC-MC=5-2=3$，
∵$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{AB}{2}$，$∠ OMA=90°$，
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$AB=2AM=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题，解题关键是连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，这是圆内弦长计算类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知直径CD垂直于弦AB，可联想到垂径定理，得出AB=2AM，因此只需求出AM的长度即可。我们可以连接半径OA构造直角三角形，利用勾股定理计算AM：先根据直径长度求出圆的半径，再算出OM的长度，最后在直角三角形中求解AM，进而得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴$OA=OC=\frac{CD}{2}=5$，
∵$MC=2$，
∴$OM=OC-MC=5-2=3$，
∵$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{AB}{2}$，$∠ OMA=90°$，
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$AB=2AM=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题，解题关键是连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，这是圆内弦长计算类问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，$OC=15$，$CD=24$，则$OE=$
9
.答案
9
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可得到CE的长度是CD的一半；再观察图形可知△OCE是直角三角形，已知斜边OC和直角边CE的长度，利用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于点E
∴ 根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD$
已知$CD=24$，代入得$CE=\frac{1}{2}×24=12$
在$Rt△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，$OC=15$，$CE=12$
由勾股定理得：$OE^2 + CE^2 = OC^2$
∴ $OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$
【答案】
9
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的常规基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的突破口是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边长，再通过勾股定理计算未知线段，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可得到CE的长度是CD的一半；再观察图形可知△OCE是直角三角形，已知斜边OC和直角边CE的长度，利用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于点E
∴ 根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD$
已知$CD=24$，代入得$CE=\frac{1}{2}×24=12$
在$Rt△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，$OC=15$，$CE=12$
由勾股定理得：$OE^2 + CE^2 = OC^2$
∴ $OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$
【答案】
9
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的常规基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的突破口是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边长，再通过勾股定理计算未知线段，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4.如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AC$于点E，连接BC，OB，若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$，则$△ OBC$的面积是
10
$\mathrm{cm}^2$。答案
10
解析
【分析】
解题首先观察图形特征：AC是直径且垂直弦BD，首先运用垂径定理得到BE的长度；要求△OBC的面积，已知其高为BE，只需求出底OC（即圆的半径）即可；设半径为r，利用Rt△OBE的三边关系（勾股定理）列方程求解半径，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC于E，$BD=8\ \mathrm{cm}$
∴根据垂径定理，得$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
移项化简得：$4r=20$，解得$r=5$，即$OC=5\ \mathrm{cm}$
∵BE⊥AC，即BE是△OBC中OC边上的高
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× BE=\frac{1}{2}×5×4=10\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再通过设半径结合勾股定理列方程求解，是圆与几何计算结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题首先观察图形特征：AC是直径且垂直弦BD，首先运用垂径定理得到BE的长度；要求△OBC的面积，已知其高为BE，只需求出底OC（即圆的半径）即可；设半径为r，利用Rt△OBE的三边关系（勾股定理）列方程求解半径，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC于E，$BD=8\ \mathrm{cm}$
∴根据垂径定理，得$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，$OE=OA-AE=(r-2)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
移项化简得：$4r=20$，解得$r=5$，即$OC=5\ \mathrm{cm}$
∵BE⊥AC，即BE是△OBC中OC边上的高
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC× BE=\frac{1}{2}×5×4=10\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再通过设半径结合勾股定理列方程求解，是圆与几何计算结合的常见题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,往半径为26 cm的圆柱形容器内注入一些水以后,若截面水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为
16
cm.答案
16
解析
【分析】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确水面宽AB是圆的弦，要求水的最大深度，就是求弦AB到其所对劣弧的最短距离。我们可以利用垂径定理，过圆心作AB的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理先算出圆心到弦AB的距离，再用半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D，连接OA。
根据垂径定理，C为AB的中点，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$
已知圆的半径$OA=OD=26\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{676 - 576}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
水的最大深度为线段CD的长度，因此：
$CD=OD - OC=26 - 10=16\ \mathrm{cm}$
【答案】
16
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用类题目，核心是将实际问题中的水面宽度转化为圆的弦长，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理完成计算，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确水面宽AB是圆的弦，要求水的最大深度，就是求弦AB到其所对劣弧的最短距离。我们可以利用垂径定理，过圆心作AB的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理先算出圆心到弦AB的距离，再用半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D，连接OA。
根据垂径定理，C为AB的中点，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$
已知圆的半径$OA=OD=26\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{26^2 - 24^2}=\sqrt{676 - 576}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
水的最大深度为线段CD的长度，因此：
$CD=OD - OC=26 - 10=16\ \mathrm{cm}$
【答案】
16
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用类题目，核心是将实际问题中的水面宽度转化为圆的弦长，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理完成计算，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:AD=BC.
(2)若AC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,求CD的长.
(1)求证:AD=BC.
(2)若AC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,求CD的长.
答案
(1)证明:作 $OH ⊥ CD$ 于点 $H$.
$\because OH ⊥ CD,\therefore CH=DH,AH=BH$,
$\therefore AH-CH=BH-DH,\therefore AC=BD,\therefore AD=BC$.
(2)连接 $OC$,设 $CH=x$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCH$ 中,$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$,
$\therefore 4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$,解得 $x=\dfrac{11}{6}$,
$\therefore CD=2CH=\dfrac{11}{3}$.
$\because OH ⊥ CD,\therefore CH=DH,AH=BH$,
$\therefore AH-CH=BH-DH,\therefore AC=BD,\therefore AD=BC$.
(2)连接 $OC$,设 $CH=x$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCH$ 中,$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$,
$\therefore 4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$,解得 $x=\dfrac{11}{6}$,
$\therefore CD=2CH=\dfrac{11}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明AD=BC，观察线段组成可知AD=AC+CD，BC=BD+CD，因此只需证明AC=BD即可。圆中涉及弦长的等量关系时，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可得到两组相等的线段，作差即可推出AC=BD，进而证得AD=BC。
(2) 求CD的长时，结合(1)中所作的垂线OH，可在两个直角三角形中用勾股定理分别表示公共边OH的平方，列方程求解CH的长度，再根据垂径定理可得CD=2CH，即可算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OH ⊥ AB$于点$H$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
$\because AB$是大圆的弦，$OH ⊥ AB$，$\therefore AH=BH$；
$\because CD$是小圆的弦，$OH ⊥ CD$，$\therefore CH=DH$。
$\therefore AH-CH=BH-DH$，即$AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$。
(2) 解：连接$OC$，设$CH=x$。
$\because AC=3$，$\therefore AH=AC+CH=3+x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，由勾股定理得：$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$。
$\therefore$列方程：$4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$，
展开计算得：$16-x^2=36-9-6x-x^2$，
化简得：$6x=11$，解得$x=\dfrac{11}{6}$。
由垂径定理得$CD=2CH=2×\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\dfrac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，作弦心距是解决圆中弦长相关问题的常用辅助线，通过构造直角三角形结合勾股定理列方程求解的思路，是圆类计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD=BC，观察线段组成可知AD=AC+CD，BC=BD+CD，因此只需证明AC=BD即可。圆中涉及弦长的等量关系时，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可得到两组相等的线段，作差即可推出AC=BD，进而证得AD=BC。
(2) 求CD的长时，结合(1)中所作的垂线OH，可在两个直角三角形中用勾股定理分别表示公共边OH的平方，列方程求解CH的长度，再根据垂径定理可得CD=2CH，即可算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OH ⊥ AB$于点$H$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
$\because AB$是大圆的弦，$OH ⊥ AB$，$\therefore AH=BH$；
$\because CD$是小圆的弦，$OH ⊥ CD$，$\therefore CH=DH$。
$\therefore AH-CH=BH-DH$，即$AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$。
(2) 解：连接$OC$，设$CH=x$。
$\because AC=3$，$\therefore AH=AC+CH=3+x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，由勾股定理得：$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$。
$\therefore$列方程：$4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$，
展开计算得：$16-x^2=36-9-6x-x^2$，
化简得：$6x=11$，解得$x=\dfrac{11}{6}$。
由垂径定理得$CD=2CH=2×\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\dfrac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，作弦心距是解决圆中弦长相关问题的常用辅助线，通过构造直角三角形结合勾股定理列方程求解的思路，是圆类计算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
