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1.在同一个圆中有下列说法:①垂直于弦的直径平分这条弦;②平分弦的直径垂直于弦;③圆是轴对称图形,每条直径都是其对称轴;④弦的垂直平分线经过圆心.
其中正确的说法是
其中正确的说法是
①④
(填序号).答案
①④
解析
【分析】
本题考查圆的有关性质相关知识，解题时需结合垂径定理、圆的轴对称性、垂直平分线的性质等内容，逐一判断每个说法的正误，判断时要特别注意定理的适用前提以及概念的准确表述。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
①根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，该说法正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法缺少前提条件，错误；
③圆是轴对称图形，对称轴是直线，而直径是线段，正确表述应为“每条直径所在的直线是圆的对称轴”，该说法错误；
④根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，因为圆心到弦两端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心在弦的垂直平分线上，该说法正确。
综上，正确的说法是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及其推论，圆的轴对称性，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，以及混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，学习相关定理时要记准完整内容，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的有关性质相关知识，解题时需结合垂径定理、圆的轴对称性、垂直平分线的性质等内容，逐一判断每个说法的正误，判断时要特别注意定理的适用前提以及概念的准确表述。
【解析】
我们对4个说法逐一分析：
①根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，该说法正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法缺少前提条件，错误；
③圆是轴对称图形，对称轴是直线，而直径是线段，正确表述应为“每条直径所在的直线是圆的对称轴”，该说法错误；
④根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，因为圆心到弦两端点的距离均为半径，长度相等，因此圆心在弦的垂直平分线上，该说法正确。
综上，正确的说法是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及其推论，圆的轴对称性，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易忽略平分弦的直径垂直于弦的前提是“弦不是直径”，以及混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，学习相关定理时要记准完整内容，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7
2.如图，CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$于点M.若$CD=10$，$MC=2$，则$AB=$
8
.答案
8
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“CD是直径，AB⊥CD”，可联想到垂径定理，得到AB=2AM，因此只需求出AM的长度即可得到AB的长度。接下来连接半径OA构造直角三角形OMA，先根据直径长度求出圆的半径，再计算出OM的长度，最后利用勾股定理求出AM，就能得到AB的长度。
【解析】
连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴$\odot O$的半径$OA=OC=\frac{1}{2}CD=5$，
∵$MC=2$，
∴$OM=OC-MC=5-2=3$，
又
∵$AB⊥CD$于M，根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，且$△ OMA$为直角三角形，
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AB=2AM=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件“CD是直径，AB⊥CD”，可联想到垂径定理，得到AB=2AM，因此只需求出AM的长度即可得到AB的长度。接下来连接半径OA构造直角三角形OMA，先根据直径长度求出圆的半径，再计算出OM的长度，最后利用勾股定理求出AM，就能得到AB的长度。
【解析】
连接OA，
∵CD是$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴$\odot O$的半径$OA=OC=\frac{1}{2}CD=5$，
∵$MC=2$，
∴$OM=OC-MC=5-2=3$，
又
∵$AB⊥CD$于M，根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，且$△ OMA$为直角三角形，
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴$AB=2AM=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，是圆中求弦长的典型题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，$OC=15$，$CD=24$，则$OE=$
9
.答案
9
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可先求出弦CD的一半CE的长度；此时△OCE是直角三角形，已知斜边OC和直角边CE的长度，即可用勾股定理计算出OE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于点E
∴根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，且$∠ OEC=90°$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=15$，$CE=12$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$
【答案】
9
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心是将圆的性质与直角三角形的计算结合，熟练掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可先求出弦CD的一半CE的长度；此时△OCE是直角三角形，已知斜边OC和直角边CE的长度，即可用勾股定理计算出OE的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于点E
∴根据垂径定理可得：$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，且$∠ OEC=90°$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=15$，$CE=12$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$
【答案】
9
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心是将圆的性质与直角三角形的计算结合，熟练掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AC$于点E，连接BC，OB，若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$AE=2\ \mathrm{cm}$，则$△ OBC$的面积是
10
$\mathrm{cm}^2$。答案
10
解析
【分析】
解题时首先观察到直径AC垂直弦BD，优先运用垂径定理得到BE的长度；要求△OBC的面积，已知高为BE，只需求出底OC的长度（即圆的半径）即可。设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OBE的各边长，再通过勾股定理列方程求出半径，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 根据垂径定理：
∵ 弦$BD⊥AC$，AC是$\odot O$直径，
∴ $BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
2. 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
$OE=OA-AE=r-2\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得：$4r=20$，解得$r=5$，即$OC=5\ \mathrm{cm}$。
4. 计算$△ OBC$的面积：
$△ OBC$中，OC边上的高等于BE的长度，
∴ $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC × BE=\frac{1}{2}×5×4=10\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是圆的性质的常规题型，解题关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理列方程求出圆的半径，整体难度不高，侧重对基础定理的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到直径AC垂直弦BD，优先运用垂径定理得到BE的长度；要求△OBC的面积，已知高为BE，只需求出底OC的长度（即圆的半径）即可。设半径为r，用含r的式子表示出Rt△OBE的各边长，再通过勾股定理列方程求出半径，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 根据垂径定理：
∵ 弦$BD⊥AC$，AC是$\odot O$直径，
∴ $BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
2. 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，
$OE=OA-AE=r-2\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得：$4r=20$，解得$r=5$，即$OC=5\ \mathrm{cm}$。
4. 计算$△ OBC$的面积：
$△ OBC$中，OC边上的高等于BE的长度，
∴ $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OC × BE=\frac{1}{2}×5×4=10\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是圆的性质的常规题型，解题关键是熟练运用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理列方程求出圆的半径，整体难度不高，侧重对基础定理的应用能力考查。
【难度系数】
0.7
5.如图,往半径为26 cm的圆柱形容器内注入一些水以后,若截面水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为
16
cm.答案
16
解析
【分析】
要求水的最大深度，即劣弧AB对应的弓形的高，可借助垂径定理求解：先过圆心作弦AB的垂线，得到弦AB的一半长度，再在直角三角形中利用勾股定理求出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D。
由垂径定理可得：$ AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×48 = 24\ \mathrm{cm} $
已知圆O的半径$ OA = OD = 26\ \mathrm{cm} $，在Rt△OAC中，根据勾股定理：
$ OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm} $
则水的最大深度$ CD = OD - OC = 26 - 10 = 16\ \mathrm{cm} $
【答案】
16
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将求深度的问题转化为弦心距相关的计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要求水的最大深度，即劣弧AB对应的弓形的高，可借助垂径定理求解：先过圆心作弦AB的垂线，得到弦AB的一半长度，再在直角三角形中利用勾股定理求出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离即可得到水的最大深度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D。
由垂径定理可得：$ AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×48 = 24\ \mathrm{cm} $
已知圆O的半径$ OA = OD = 26\ \mathrm{cm} $，在Rt△OAC中，根据勾股定理：
$ OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm} $
则水的最大深度$ CD = OD - OC = 26 - 10 = 16\ \mathrm{cm} $
【答案】
16
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将求深度的问题转化为弦心距相关的计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
6.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:AD=BC.
(2)若AC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,求CD的长.
(1)求证:AD=BC.
(2)若AC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,求CD的长.
答案
(1)证明:作 $OH ⊥ CD$ 于点 $H$.
$\because OH ⊥ CD,\therefore CH=DH,AH=BH$,
$\therefore AH-CH=BH-DH,\therefore AC=BD,\therefore AD=BC$.
(2)连接 $OC$,设 $CH=x$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCH$ 中,$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$,
$\therefore 4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$,解得 $x=\dfrac{11}{6}$,
$\therefore CD=2CH=\dfrac{11}{3}$.
$\because OH ⊥ CD,\therefore CH=DH,AH=BH$,
$\therefore AH-CH=BH-DH,\therefore AC=BD,\therefore AD=BC$.
(2)连接 $OC$,设 $CH=x$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCH$ 中,$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$,
$\therefore 4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$,解得 $x=\dfrac{11}{6}$,
$\therefore CD=2CH=\dfrac{11}{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明AD=BC，可先证明AC=BD推导。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此作OH⊥AB于H，可得AH=BH、CH=DH，利用等式性质作差即可得到AC=BD，进而推出AD=BC。(2)求CD长，CD是小圆的弦，由垂径定理得CD=2CH，因此只需求出CH即可。OH是两个直角三角形△OCH和△OAH的公共直角边，可分别用勾股定理表示OH²，结合已知的半径和AC的长度列方程求解CH，即可得到CD的长度。
【解析】
(1)证明：过点O作$OH ⊥ CD$于点H。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\because OH ⊥ CD$，$\therefore CH=DH$，$AH=BH$，
$\therefore AH-CH=BH-DH$，即$AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$。
(2)解：连接$OC$，设$CH=x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$AH=AC+CH=3+x$，由勾股定理得：$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$，
联立得：$4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$，
展开计算：$16-x^2=36-(9+6x+x^2)$，
化简得：$16=27-6x$，解得 $x=\dfrac{11}{6}$，
由垂径定理得$CD=2CH=2×\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\dfrac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是圆的基础应用题，过圆心作弦的垂线是解决弦长相关问题的常用辅助线，将几何问题转化为方程求解的思路十分典型，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用。
【难度系数】
0.65
(1)要证明AD=BC，可先证明AC=BD推导。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此作OH⊥AB于H，可得AH=BH、CH=DH，利用等式性质作差即可得到AC=BD，进而推出AD=BC。(2)求CD长，CD是小圆的弦，由垂径定理得CD=2CH，因此只需求出CH即可。OH是两个直角三角形△OCH和△OAH的公共直角边，可分别用勾股定理表示OH²，结合已知的半径和AC的长度列方程求解CH，即可得到CD的长度。
【解析】
(1)证明：过点O作$OH ⊥ CD$于点H。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\because OH ⊥ CD$，$\therefore CH=DH$，$AH=BH$，
$\therefore AH-CH=BH-DH$，即$AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$。
(2)解：连接$OC$，设$CH=x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：$OH^2=OC^2-CH^2=4^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$AH=AC+CH=3+x$，由勾股定理得：$OH^2=OA^2-AH^2=6^2-(3+x)^2$，
联立得：$4^2-x^2=6^2-(3+x)^2$，
展开计算：$16-x^2=36-(9+6x+x^2)$，
化简得：$16=27-6x$，解得 $x=\dfrac{11}{6}$，
由垂径定理得$CD=2CH=2×\dfrac{11}{6}=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\dfrac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是圆的基础应用题，过圆心作弦的垂线是解决弦长相关问题的常用辅助线，将几何问题转化为方程求解的思路十分典型，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合运用。
【难度系数】
0.65
