8.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，则它的外心与顶点的距离为（）.

A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$13\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$6.5\ \mathrm{cm}$

8.D

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离等于外接圆的半径。对于直角三角形，它的外心恰好落在斜边的中点处，因此外心到顶点的距离就是斜边长度的一半。所以解题可分两步：第一步用勾股定理求出斜边AB的长度，第二步计算斜边长度的一半即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
因为直角三角形的外心为斜边的中点，外心到顶点的距离等于外接圆的半径，
所以外接圆半径$R=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$，即外心与顶点的距离为$6.5\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；三角形外心的性质；直角三角形外接圆特征
【点评】
本题是基础题型，将直角三角形的性质和圆的相关概念结合考查，解题的关键是熟记直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边长度的一半，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=6$，$BC=8$，那么这个三角形的外接圆半径是（）.

A.5
B.10
C.5或4
D.10或8

9.C

【分析】
解题时首先要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径为斜边长的一半。本题未明确给出直角顶点，需要结合边长分情况讨论斜边的可能取值，同时注意斜边是直角三角形中最长的边，可据此排除不符合逻辑的情况，最后分别计算对应外接圆半径即可。
【解析】
直角三角形外接圆半径$r=\frac{1}{2}×$斜边长，结合题干边长分情况讨论：
1. 当$∠ B$为直角时，$AB$、$BC$为直角边，由勾股定理得斜边长$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，此时外接圆半径$r=\frac{1}{2}×10=5$；
2. 当$∠ A$为直角时，最长边$BC$为斜边，$BC=8$，此时外接圆半径$r=\frac{1}{2}×8=4$；
若$∠ C$为直角，斜边应为$AB=6$，小于$BC=8$，不符合斜边为最长边的性质，该情况不成立。
综上，外接圆半径为5或4。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形外接圆性质、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略题干未明确直角顶点，直接默认$∠ B$为直角只算出半径5从而错选，遇到未指明直角的直角三角形问题时，一定要结合边长合理分类，同时用“斜边最长”的性质排除无效情况。
【难度系数】
0.6

10.如图，△ABC中，∠A=70°,O为△ABC的外心，则∠BOC的度数为。

10.$140°$

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是其外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在这个外接圆上。接下来分析角的对应关系：∠A是外接圆中弧BC所对的圆周角，∠BOC是同一段弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此可通过∠A的度数直接求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O是△ABC的外心，
∴A、B、C三点都在以O为圆心的△ABC的外接圆上，
∴∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ A$，
已知$∠ A=70°$，代入得：
$∠ BOC=2×70°=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形外心的性质和圆周角定理的直接应用，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(2,0),(3,3),$\odot M$是$△ OAB$的外接圆,则$\odot M$的半径为.

11.$\sqrt{5}$

【分析】要计算△OAB外接圆的半径，首先明确外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此先求出两条边的垂直平分线方程，联立得到圆心坐标，再计算圆心到任意顶点的距离即为半径。首先观察OA边的特点：O(0,0)、A(2,0)在x轴上，它的垂直平分线易求为x=1；再求出AB边的垂直平分线方程，联立x=1即可得到外心M的坐标，最后用两点间距离公式计算半径。
【解析】
解：已知点O(0,0)，A(2,0)，B(3,3)。
1. 求OA边的垂直平分线：
OA的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$，OA沿x轴方向，其垂直平分线为垂直于x轴的直线$\boldsymbol{x=1}$。
2. 求AB边的垂直平分线：
AB的中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{0+3}{2})=(2.5,1.5)$，
AB的斜率$k_{AB}=\frac{3-0}{3-2}=3$，因此AB垂直平分线的斜率为$k=-\frac{1}{3}$，
由点斜式得AB垂直平分线方程：$y - 1.5 = -\frac{1}{3}(x - 2.5)$。
3. 求外心M的坐标：
外心在x=1上，将x=1代入上述方程：
$y = -\frac{1}{3}(1 - 2.5) + 1.5 = 0.5 + 1.5 = 2$，即圆心M坐标为$(1,2)$。
4. 计算外接圆半径：
半径为M到O的距离，由两点间距离公式：
$r = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】三角形外接圆性质，垂直平分线求法，两点间距离公式
【点评】本题解题关键是掌握三角形外心的性质，通过求两条边的垂直平分线联立得到圆心坐标，再计算距离即可。解题时可优先找坐标轴上的边简化计算，能有效降低计算量。
【难度系数】0.65

12.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,且$AE⊥ BC$,$AF⊥ CD$.
(1)求证:$A,E,C,F$四点共圆.
(2)设线段$BD$与(1)中的圆交于点$M,N$.求证:$BM=ND$.

12.(1)证明:连接$AC$,取$AC$的中点$O$,连接$OE$,$OF$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中$OE=\frac{1}{2}AC$,在$\mathrm{Rt}△ ACF$中$OF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore OA=OE=OC=OF$.
$\therefore A,E,C,F$四点共圆.
(2)由(1)可知$AC$是直径,$O$为圆心.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AC$的中点为$BD$的中点,$\therefore OB=OD$,
$\because OM=ON$,$\therefore OB-OM=OD-ON$,$\therefore BM=DN$.

【分析】
(1) 证明四点共圆的常用方法之一是证明四个点到同一个定点的距离相等。观察图形，已知AE⊥BC、AF⊥CD，可得△AEC和△AFC都是直角三角形，且二者斜边均为AC。我们可以取AC的中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可证得O到A、E、C、F四个点的距离相等，即可判定四点共圆。
(2) 由(1)的结论可知，该圆的直径为AC，圆心是AC中点O。结合平行四边形对角线互相平分的性质，可得O同时是BD的中点，即OB=OD；又因为M、N都是圆上的点，根据同圆半径相等可得OM=ON，对OB、OD作等量减法，即可得到BM=ND的结论。
【解析】
(1) 证明：连接$AC$，取$AC$的中点$O$，连接$OE$、$OF$。
$\because AE⊥ BC$，$\therefore △ ACE$为直角三角形，
$\because O$是$AC$的中点，$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。
同理，$AF⊥ CD$，$△ ACF$为直角三角形，
$\therefore OF=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。
$\therefore OA=OE=OC=OF$，
$\therefore A、E、C、F$四点在以$O$为圆心，$OA$为半径的圆上，即四点共圆。
(2) 证明：由(1)可知，上述圆以$AC$为直径，$O$为圆心。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
$\therefore AC$与$BD$的中点重合，即$O$也是$BD$的中点，$\therefore OB=OD$。
$\because$ 点$M、N$在圆$O$上，$\therefore OM=ON$（同圆的半径相等）。
$\therefore OB-OM=OD-ON$，即$BM=ND$。
【答案】
(1) $A、E、C、F$四点共圆得证；
(2) $BM=ND$得证。
【知识点】
四点共圆的判定；直角三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、直角三角形和圆的性质结合考查，解题的突破口是构造AC的中点，利用直角三角形斜边中线的性质证明四点共圆，再结合平行四边形对角线的性质即可推导线段相等，解题逻辑清晰，对几何基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.65

13.已知等腰三角形ABC是直径为10 cm的$\odot O$的内接三角形，且$△ ABC$的底边BC长8 cm，求$△ ABC$的面积.

13.$\because AB=AC$,$\therefore$ 点$O$在$BC$的中垂线上.
当圆心在三角形内部时,$OA=OB=5\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,
根据勾股定理,$OD=3\ \mathrm{cm}$,则$AD=8\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{cm}^2)$;
当圆心在三角形外部时,$OA=OB=5\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,
根据勾股定理,$OD=3\ \mathrm{cm}$,则$AD=2\ \mathrm{cm}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2=8(\mathrm{cm}^2)$.
$\therefore △ ABC$的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$或$8\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
等腰△ABC内接于⊙O，顶点A可在BC所对的优弧上，也可在BC所对的劣弧上，因此需分两种情况讨论：①圆心在三角形内部；②圆心在三角形外部。根据等腰三角形三线合一的性质和垂径定理，可知AO所在直线垂直平分BC，先求出BC一半的长度，再结合圆的半径利用勾股定理求出圆心到BC的距离，进而得到BC边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点O在BC的中垂线上，设AO与BC交于点D，则AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4 cm。
已知⊙O的直径为10 cm，因此半径OA=OB=5 cm。
①当圆心在三角形内部时：
在Rt△OBD中，由勾股定理得$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm，
则BC边上的高AD=OA+OD=5+3=8 cm，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32(\mathrm{cm}^2)$。
②当圆心在三角形外部时：
同理可得OD=3 cm，
则BC边上的高AD=OA-OD=5-3=2 cm，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×2=8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$△ ABC$的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$或$8\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易忽略圆心在三角形外部的情况造成漏解，需要熟练结合圆的性质、等腰三角形性质和勾股定理进行综合计算。
【难度系数】
0.6