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1.如图，小明不慎把家里的一块圆形玻璃打碎了.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
B
).A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
答案
1.B
解析
【分析】
要配制与原来大小相同的圆形玻璃，本质是要确定原圆的圆心与半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此只要碎片上保留一段足够长的完整原圆弧，就可以在弧上取三个点，通过作弦的垂直平分线找到圆心，从而确定圆的大小。观察四块碎片，只有第②块带有符合要求的完整原圆弧，其余碎片的原弧长过短，无法提取到三个有效点确定原圆。
【解析】
根据圆的相关性质：不在同一直线上的三个点能够确定唯一的圆。我们可以通过圆弧上的三个点确定原圆的圆心和半径：
1. 在圆弧上任取三个不共线的点，连接得到两条不同的弦；
2. 分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，圆心到圆弧上任意点的距离为半径，由此即可得到与原大小一致的圆。
观察四块碎片，仅第②块含有足够长度的完整原圆弧，可以完成上述操作，其余碎片均不满足条件，因此选择带第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用，解题的核心是掌握确定圆的条件，明确完整圆弧对确定圆的大小的作用，和生活场景结合紧密，容易理解。
【难度系数】
0.7
要配制与原来大小相同的圆形玻璃，本质是要确定原圆的圆心与半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此只要碎片上保留一段足够长的完整原圆弧，就可以在弧上取三个点，通过作弦的垂直平分线找到圆心，从而确定圆的大小。观察四块碎片，只有第②块带有符合要求的完整原圆弧，其余碎片的原弧长过短，无法提取到三个有效点确定原圆。
【解析】
根据圆的相关性质：不在同一直线上的三个点能够确定唯一的圆。我们可以通过圆弧上的三个点确定原圆的圆心和半径：
1. 在圆弧上任取三个不共线的点，连接得到两条不同的弦；
2. 分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，圆心到圆弧上任意点的距离为半径，由此即可得到与原大小一致的圆。
观察四块碎片，仅第②块含有足够长度的完整原圆弧，可以完成上述操作，其余碎片均不满足条件，因此选择带第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用，解题的核心是掌握确定圆的条件，明确完整圆弧对确定圆的大小的作用，和生活场景结合紧密，容易理解。
【难度系数】
0.7
2.对于三角形的外心,下列说法错误的是(
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它是三角形外接圆的圆心
C.它是三角形三条边中垂线的交点
D.它一定在三角形的外部
D
).A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它是三角形外接圆的圆心
C.它是三角形三条边中垂线的交点
D.它一定在三角形的外部
答案
2.D
解析
【分析】
解答本题首先要明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置，再逐一分析每个选项的正确性，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形外心是其外接圆的圆心，外接圆半径相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该说法正确；
B选项：根据定义，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，该说法正确；
C选项：三角形外心的本质是三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的交点，该说法正确；
D选项：不同类型三角形的外心位置不同：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，只有钝角三角形的外心在三角形的外部，因此“一定在三角形的外部”的说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；外心的性质；三角形外接圆
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对三角形外心相关知识的记忆与辨析，易错点是容易忽视不同三角形外心位置的差异，混淆外心和内心的位置特点。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置，再逐一分析每个选项的正确性，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形外心是其外接圆的圆心，外接圆半径相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该说法正确；
B选项：根据定义，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，该说法正确；
C选项：三角形外心的本质是三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的交点，该说法正确；
D选项：不同类型三角形的外心位置不同：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，只有钝角三角形的外心在三角形的外部，因此“一定在三角形的外部”的说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；外心的性质；三角形外接圆
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对三角形外心相关知识的记忆与辨析，易错点是容易忽视不同三角形外心位置的差异，混淆外心和内心的位置特点。
【难度系数】
0.8
3.下列三角形的外心一定在该三角形外部的是(
D
).答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪个三角形的外心在外部，首先回忆三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点（属于三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此本题只需先利用三角形内角和为180°，分别计算各选项三角形的未知角，判断三角形的类型，找到钝角三角形即可得到答案。
【解析】
我们依次分析每个选项：
1. 选项A：三角形第三个角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
2. 选项B：三角形第三个角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
3. 选项C：该三角形有一个直角，属于直角三角形，外心在斜边的中点处，位于三角形的边上，不符合要求；
4. 选项D：该三角形有一个角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握不同类型三角形外心的位置特点，结合三角形内角和定理判断三角形类型即可快速解题，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角形的外心在外部，首先回忆三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点（属于三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此本题只需先利用三角形内角和为180°，分别计算各选项三角形的未知角，判断三角形的类型，找到钝角三角形即可得到答案。
【解析】
我们依次分析每个选项：
1. 选项A：三角形第三个角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
2. 选项B：三角形第三个角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
3. 选项C：该三角形有一个直角，属于直角三角形，外心在斜边的中点处，位于三角形的边上，不符合要求；
4. 选项D：该三角形有一个角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握不同类型三角形外心的位置特点，结合三角形内角和定理判断三角形类型即可快速解题，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4.用反证法证明命题“在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$的对边是$a$，$b$，若$∠ A＞∠ B$，则$a＞b.$”的第一步应假设(
A.$a＜b$
B.$a≤ b$
C.$∠ A＜∠ B$
D.$∠ A≤ ∠ B$
B
).A.$a＜b$
B.$a≤ b$
C.$∠ A＜∠ B$
D.$∠ A≤ ∠ B$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反证法的证明逻辑：反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先我们先拆分原命题的结构：原命题的条件是“在△ABC中，∠A＞∠B”，结论是“a＞b”。我们需要否定结论“a＞b”，注意大于的否定是“不大于”，也就是包含“小于”和“等于”两种情况，不能只考虑小于的情况。接下来逐一排除错误选项：C、D选项否定的是命题的条件，不符合反证法第一步要求；A选项只否定了a＞b的部分情况，遗漏了a=b的可能，因此错误，由此可确定正确选项。
【解析】
反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论为$a＞b$，$a＞b$的反面是$a$不大于$b$，即$a≤b$。
因此第一步应假设$a≤b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是准确识别命题的结论，并正确写出结论的否定，要注意表示不等关系的词的否定需覆盖所有不成立的情况，避免遗漏等于的情况导致错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反证法的证明逻辑：反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先我们先拆分原命题的结构：原命题的条件是“在△ABC中，∠A＞∠B”，结论是“a＞b”。我们需要否定结论“a＞b”，注意大于的否定是“不大于”，也就是包含“小于”和“等于”两种情况，不能只考虑小于的情况。接下来逐一排除错误选项：C、D选项否定的是命题的条件，不符合反证法第一步要求；A选项只否定了a＞b的部分情况，遗漏了a=b的可能，因此错误，由此可确定正确选项。
【解析】
反证法证明命题时，第一步需假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论为$a＞b$，$a＞b$的反面是$a$不大于$b$，即$a≤b$。
因此第一步应假设$a≤b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是准确识别命题的结论，并正确写出结论的否定，要注意表示不等关系的词的否定需覆盖所有不成立的情况，避免遗漏等于的情况导致错选。
【难度系数】
0.8
5.如图,点 A 在平面直角坐标系中的坐标为(-3,0),则△ABC 的外心的坐标为(
A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
D
).A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
答案
5.D
解析
【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，其核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。解题时首先观察图形特征：线段BC是竖直线段，它的垂直平分线为水平线，因此外心的纵坐标等于BC中点的纵坐标，可先排除纵坐标不符的选项；再对剩余选项验证“到点A、B的距离相等”，即可快速得出结果，也可通过求两条边的垂直平分线解析式联立求解交点。
【解析】
步骤1：确定线段BC的垂直平分线。观察图形可知BC为竖直线段，BC中点的纵坐标为1，因此BC的垂直平分线为直线$y=1$，即外心的纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A选项(0,0)、C选项(-2,-1)。
步骤2：验证剩余选项。外心需满足到点A和点B的距离相等：
对B选项(-1,1)：计算其到A、B的距离，发现距离不相等，不符合要求；
对D选项(-2,1)：计算可得该点到A、B、C三点的距离均相等，符合外心的性质。
因此△ABC的外心坐标为(-2,1)。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形外心的相关知识，解题时利用图形特征先排除错误选项可简化计算，降低解题难度，核心是掌握外心到三角形三个顶点距离相等的性质。
【难度系数】
0.7
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，其核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。解题时首先观察图形特征：线段BC是竖直线段，它的垂直平分线为水平线，因此外心的纵坐标等于BC中点的纵坐标，可先排除纵坐标不符的选项；再对剩余选项验证“到点A、B的距离相等”，即可快速得出结果，也可通过求两条边的垂直平分线解析式联立求解交点。
【解析】
步骤1：确定线段BC的垂直平分线。观察图形可知BC为竖直线段，BC中点的纵坐标为1，因此BC的垂直平分线为直线$y=1$，即外心的纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A选项(0,0)、C选项(-2,-1)。
步骤2：验证剩余选项。外心需满足到点A和点B的距离相等：
对B选项(-1,1)：计算其到A、B的距离，发现距离不相等，不符合要求；
对D选项(-2,1)：计算可得该点到A、B、C三点的距离均相等，符合外心的性质。
因此△ABC的外心坐标为(-2,1)。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形外心的相关知识，解题时利用图形特征先排除错误选项可简化计算，降低解题难度，核心是掌握外心到三角形三个顶点距离相等的性质。
【难度系数】
0.7
6.△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC的形状是
直角
三角形。答案
6.直角
解析
【分析】
解题首先要明确三角形外心的核心概念，外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。接着回忆不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部；若外心落在三角形的边上，说明这条边是外接圆的直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，就能推导三角形的形状。
【解析】
解：
∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，
当外心在三角形的某一条边上时，这条边是外接圆的直径（过圆心的弦是圆的直径），
根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∴△ABC有一个内角是直角，即△ABC为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
外心的概念，圆周角定理，外接圆性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查三角形外心位置和三角形形状的对应关系，牢记不同类型三角形外心的位置特点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确三角形外心的核心概念，外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。接着回忆不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部；若外心落在三角形的边上，说明这条边是外接圆的直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，就能推导三角形的形状。
【解析】
解：
∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，
当外心在三角形的某一条边上时，这条边是外接圆的直径（过圆心的弦是圆的直径），
根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∴△ABC有一个内角是直角，即△ABC为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
外心的概念，圆周角定理，外接圆性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查三角形外心位置和三角形形状的对应关系，牢记不同类型三角形外心的位置特点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7.已知A,B,C三点.根据下列条件,说明A,B,C三点能否确定一个圆.如果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)$AB=2\sqrt{3}+1$,$BC=4\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{3}-1$.
(2)$AB=AC=10$,$BC=12$.
(1)$AB=2\sqrt{3}+1$,$BC=4\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{3}-1$.
(2)$AB=AC=10$,$BC=12$.
答案
7.(1)$\because 2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-1=4\sqrt{3},\therefore AB+AC=BC$,$\therefore A,B,C$三点共线，
$\therefore A,B,C$三点不能确定一个圆.
(2)$\because 10+10=20＞12,\therefore A,B,C$三点不共线,$\therefore A,B,C$三点能确定一个圆.
过点$A$作$AD⊥ BC$,连接$BO$.
$\because BC=12,\therefore DB=6$,
$\because AB=10,\therefore AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$OB=x$,则$DO=8-x$,$x^2-6^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.
$\therefore A,B,C$三点能确定一个半径为$\frac{25}{4}$的圆.
$\therefore A,B,C$三点不能确定一个圆.
(2)$\because 10+10=20＞12,\therefore A,B,C$三点不共线,$\therefore A,B,C$三点能确定一个圆.
过点$A$作$AD⊥ BC$,连接$BO$.
$\because BC=12,\therefore DB=6$,
$\because AB=10,\therefore AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$OB=x$,则$DO=8-x$,$x^2-6^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.
$\therefore A,B,C$三点能确定一个半径为$\frac{25}{4}$的圆.
解析
【分析】
要判断A、B、C三点能否确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，因此首先需判断三点是否共线：将三条线段长度排序后，验证较短两条线段的和是否等于最长线段，若相等则三点共线，无法确定圆；若不等则三点构成三角形，可确定一个圆，再结合图形性质求解外接圆半径。
对于(1)，先计算较短两边AB、AC的和，与最长边BC比较即可判断是否共线；对于(2)，先判断三点不共线，再利用等腰三角形三线合一的性质作底边的高，外接圆圆心在这条高上，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 比较三条线段长度：$AB=2\sqrt{3}+1$，$AC=2\sqrt{3}-1$，$BC=4\sqrt{3}$
计算较短两边之和：$AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}=BC$
因此A、B、C三点共线，故不能确定一个圆。
(2) 首先判断三点是否共线：$AB+AC=10+10=20＞12=BC$，说明A、B、C三点不共线，可确定一个圆。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，连接BO（O为外接圆圆心，在AD上）。
∵$AB=AC=10$，$AD⊥ BC$，
∴D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
设外接圆半径$OB=x$，则$OD=AD-AO=8-x$
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$
代入得：$x^2=(8-x)^2+6^2$
展开解方程：$x^2=64-16x+x^2+36$，消去$x^2$得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$
【答案】
(1) A、B、C三点不能确定一个圆，理由是三点共线；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理应用
【点评】
本题围绕三点确定圆的核心知识点展开，既考查了三点共线的判定，又结合等腰三角形的性质考查外接圆半径的计算，解题时需先明确判定逻辑，再通过几何性质构造方程求解，是圆的基础概念的典型应用。
【难度系数】
0.75
要判断A、B、C三点能否确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，因此首先需判断三点是否共线：将三条线段长度排序后，验证较短两条线段的和是否等于最长线段，若相等则三点共线，无法确定圆；若不等则三点构成三角形，可确定一个圆，再结合图形性质求解外接圆半径。
对于(1)，先计算较短两边AB、AC的和，与最长边BC比较即可判断是否共线；对于(2)，先判断三点不共线，再利用等腰三角形三线合一的性质作底边的高，外接圆圆心在这条高上，设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 比较三条线段长度：$AB=2\sqrt{3}+1$，$AC=2\sqrt{3}-1$，$BC=4\sqrt{3}$
计算较短两边之和：$AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}=BC$
因此A、B、C三点共线，故不能确定一个圆。
(2) 首先判断三点是否共线：$AB+AC=10+10=20＞12=BC$，说明A、B、C三点不共线，可确定一个圆。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，连接BO（O为外接圆圆心，在AD上）。
∵$AB=AC=10$，$AD⊥ BC$，
∴D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
设外接圆半径$OB=x$，则$OD=AD-AO=8-x$
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$
代入得：$x^2=(8-x)^2+6^2$
展开解方程：$x^2=64-16x+x^2+36$，消去$x^2$得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$
【答案】
(1) A、B、C三点不能确定一个圆，理由是三点共线；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理应用
【点评】
本题围绕三点确定圆的核心知识点展开，既考查了三点共线的判定，又结合等腰三角形的性质考查外接圆半径的计算，解题时需先明确判定逻辑，再通过几何性质构造方程求解，是圆的基础概念的典型应用。
【难度系数】
0.75
