6.如图①,小明用总长为a m的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,中间篱笆隔离栏将矩形菜园分割成两个较小的矩形.设大矩形垂直于墙的一边长为x m,菜园的总面积为y m²,y关于x的函数图象如图②,则a的值是().

A.10
B.20
C.50
D.不能确定

6.B

【分析】
解题时首先结合图①分析篱笆的构成：靠墙一侧不需要篱笆，中间隔离栏平行于墙，垂直于墙的边总共有2段，每段长为x m，因此2段垂直墙的篱笆总长为2x m，剩余篱笆是2段平行于墙的，每段长度为$\frac{a-2x}{2}$ m。接下来根据矩形面积公式可写出总面积y关于x的二次函数关系式，该函数开口向下，最大值在顶点处取得。再结合图②给出的顶点坐标(5,25)，将x=5、y=25代入函数关系式即可求出a的值。
【解析】
根据题意，垂直于墙的边长为x m，可知：
1. 2段垂直于墙的篱笆总长为$2x$ m，因此平行于墙的每段篱笆长度为$\frac{a-2x}{2}$ m；
2. 菜园总面积$y = x · \frac{a-2x}{2}$；
3. 由图②可知，当$x=5$时，$y$取得最大值25，将$x=5$，$y=25$代入上式：
$25 = 5 × \frac{a - 2 × 5}{2}$
化简求解：
$25 = \frac{5(a-10)}{2}$
两边同除以5得：$5 = \frac{a-10}{2}$
两边同乘2得：$10 = a-10$
解得$a=20$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的顶点性质，列代数式
【点评】
本题考查二次函数在实际面积问题中的应用，解题的关键是准确分析篱笆的结构，正确列出面积与边长的函数关系式，再结合二次函数图像的顶点坐标代入求解，易错点是误判隔离栏的方向导致列错函数式。
【难度系数】
0.7

7.如图,一张正方形纸板的边长为2 cm,将它剪去4个全等的直角三角形部分(图中阴影部分).设$AE=BF=CG=DH=x$ cm,四边形$EFGH$的面积为$y$ cm²,则$y$关于$x$的函数解析式为（化为一般形式）.

7.$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$

【分析】
要求四边形EFGH的面积，可采用“割补法”，用大正方形的面积减去4个全等阴影直角三角形的面积求解。首先计算大正方形的面积，再表示出每个直角三角形的两条直角边长，算出单个三角形面积后得到4个三角形的总面积，最后作差化简即可得到函数解析式，同时要根据线段长度为正确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：已知正方形纸板边长为2 cm，因此大正方形ABCD的面积为：$2×2=4\ \mathrm{cm^2}$。
因为$AE=BF=CG=DH=x\ \mathrm{cm}$，所以每个阴影直角三角形的另一条直角边长为$2-x\ \mathrm{cm}$。
单个阴影直角三角形的面积为：$\frac{1}{2}× x×(2-x)\ \mathrm{cm^2}$，
4个阴影三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}x(2-x)=2x(2-x)\ \mathrm{cm^2}$。
四边形EFGH的面积$y$等于大正方形面积减去4个阴影三角形的面积，因此：
$\begin{aligned}y&=4 - 2x(2-x)\\&=4 -4x +2x^2\\&=2x^2 -4x +4\end{aligned}$
结合实际意义，线段长度为正，因此$x＞0$且$2-x＞0$，即$0＜x＜2$。
【答案】
$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
【知识点】
二次函数实际应用，正方形面积计算，直角三角形面积计算
【点评】
本题通过图形面积的和差关系推导函数解析式，解题的核心是准确表示出各部分图形的面积，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免遗漏取值范围导致解题不完整。
【难度系数】
0.7

8.某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆,围成两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆,且不浪费篱笆).
(1)方案一:如图①,利用全部的围墙,在矩形ADGH中留一个宽AE=1 m的水池(矩形AEFH).若总种植面积(基地除水池外的部分)为32 m²,求CG,DG的长.
(2)方案二:如图②,围成矩形ADGH和矩形BCGH.为使总种植面积最大,BC应设计为多长?此时总种植面积为多少?

8.(1)两块矩形的面积之和为 $12×\frac{21-12}{3}=36(\mathrm{m}^2).$
设水池的长为 $AH=a$ m,
$\because$ 总种植面积为 $32\ \mathrm{m}^2,\therefore 36-a×1=32,$ 解得 $a=4,\therefore DG=AH=4\ \mathrm{m},$
$\therefore CG=CD-DG=8\ \mathrm{m}.$
(2)设 $BC$ 长为 $x$ m,总种植面积为 $S\ \mathrm{m}^2,$
则 $CD$ 长为 $(21-3x)$ m,$S=(21-3x)x=-3(x^2-7x)=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4},$
$\because -3＜0,\therefore$ 当 $x=\frac{7}{2}$ 时,$S$ 有最大值 $\frac{147}{4}.$
$\therefore BC$ 设计为 $\frac{7}{2}\ \mathrm{m}$ 时总种植面积最大,此时总种植面积为 $\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2.$

【分析】
(1) 方案一使用全部12m围墙，先明确篱笆的构成：3段垂直于围墙的边+总长度为12m的水平底边，结合篱笆总长21m可先求出垂直于围墙的边长，进而得到两块矩形基地的总面积；总种植面积为总面积减去水池面积，水池宽已知为1m，长等于DG的长度，据此列方程求解DG，再计算CG即可。
(2) 方案二设BC长为x m，先根据篱笆构成表示出水平边CD的长度为(21-3x)m，结合矩形面积公式写出总种植面积S关于x的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值即可，注意验证CD长度不超过围墙长12m的限制。
【解析】
(1) 方案一利用全部围墙，故水平边总长度$CD=AB=12\ \mathrm{m}$，
篱笆由3段垂直于围墙的边和CD段组成，因此垂直于围墙的边长为：
$\frac{21-12}{3}=3\ \mathrm{m}$，
两块矩形基地的总面积为：$12×3=36\ \mathrm{m}^2$。
设$DG$的长为$a\ \mathrm{m}$，即水池的长$AH=a\ \mathrm{m}$，已知水池宽$AE=1\ \mathrm{m}$，由总种植面积为$32\ \mathrm{m}^2$得：
$36 - 1× a=32$，
解得$a=4$，即$DG=4\ \mathrm{m}$，
因此$CG=CD-DG=12-4=8\ \mathrm{m}$。
(2) 设$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$，总种植面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
由篱笆构成可知，水平边$CD$的长为$(21-3x)\ \mathrm{m}$，结合墙长限制得$21-3x≤12$，即$x≥3$，且$21-3x＞0$即$x＜7$。
根据矩形面积公式得：
$S=x(21-3x)=-3x^2+21x$，
配方得：$S=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$，
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，且$x=\frac{7}{2}=3.5$满足$3≤ x＜7$，
$\therefore$ 当$x=\frac{7}{2}$时，$S$取得最大值$\frac{147}{4}$。
【答案】
(1) $CG$长为$8\ \mathrm{m}$，$DG$长为$4\ \mathrm{m}$；
(2) $BC$应设计为$\frac{7}{2}\ \mathrm{m}$，此时总种植面积为$\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查方程与函数的应用，解题关键是结合图形理清篱笆的分段组成，准确列出等量关系，求解二次函数最值时要注意自变量的实际取值范围，判断最值是否符合实际要求，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.65