6.如图①,小明用总长为a m的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,中间篱笆隔离栏将矩形菜园分割成两个较小的矩形.设大矩形垂直于墙的一边长为x m,菜园的总面积为y m²,y关于x的函数图象如图②,则a的值是().

A.10
B.20
C.50
D.不能确定

6.B

【分析】
解题时需先结合菜园的篱笆构造，推导面积y关于x的函数关系式，再结合二次函数图象给出的信息联立求解a。首先分析篱笆构成：垂直于墙的篱笆共2段（左右两边），每段长x；平行于墙的篱笆共2段（底部边、中间隔离栏），每段长度等于大矩形平行于墙的边长，由此可通过篱笆总长表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式得到y与x的函数关系；最后结合图象的顶点信息或函数解析式对应系数即可求出a。
【解析】
设大矩形平行于墙的边长为$ b\ \mathrm{m} $：
1. 由篱笆总长为$ a\ \mathrm{m} $，垂直于墙的篱笆共2段、平行于墙的篱笆共2段，可得：
$ a=2x+2b $，整理得$ b=\frac{a-2x}{2} $
2. 菜园总面积为大矩形面积，因此：
$ y=x· b=x·\frac{a-2x}{2}=-x^2+\frac{a}{2}x $
3. 由图②可知，二次函数顶点为$ (5,25) $，即当$ x=5 $时，$ y $取最大值25，将$ x=5,y=25 $代入上述函数式：
$ 25=-5^2+\frac{a}{2}×5 $
$ 25=-25+\frac{5a}{2} $
$ \frac{5a}{2}=50 $
解得$ a=20 $
【答案】B
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何实际场景和二次函数图象考查函数应用，解题核心是正确分析篱笆的分段数量得到面积的函数表达式，能有效考查学生数形结合的能力和应用二次函数解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.65

7.如图,一张正方形纸板的边长为2 cm,将它剪去4个全等的直角三角形部分(图中阴影部分).设$AE=BF=CG=DH=x$ cm,四边形$EFGH$的面积为$y$ cm²,则$y$关于$x$的函数解析式为（化为一般形式）.

7.$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$

【分析】
要求四边形EFGH的面积，可采用割补法：用大正方形的面积减去4个全等的阴影直角三角形的面积即可。首先根据正方形边长和已知的线段长表示出每个直角三角形的两条直角边，再分别计算正方形面积和4个三角形的总面积，作差后化简整理为二次函数的一般形式，最后根据线段的实际意义确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：已知正方形纸板边长为2 cm，因此正方形的面积为：
$S_{正方形}=2^2=4\ \mathrm{cm}^2$
由题意得$AE=BF=CG=DH=x\ \mathrm{cm}$，正方形各边均为2 cm，因此每个阴影直角三角形的另一条直角边长为$2-x\ \mathrm{cm}$。
单个阴影直角三角形的面积为：$\frac{1}{2}x(2-x)\ \mathrm{cm}^2$
4个阴影三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}x(2-x)=2x(2-x)=4x-2x^2\ \mathrm{cm}^2$
四边形EFGH的面积$y$等于正方形面积减去4个阴影三角形的面积：
$y=4-(4x-2x^2)$
整理为一般形式：$y=2x^2-4x+4$
结合实际意义，线段长度大于0，因此$x＞0$且$2-x＞0$，即$0＜x＜2$。
【答案】
$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 正方形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是灵活运用割补法转化面积，结合正方形的性质表示出相关线段的长度，列关系式时要注意自变量的取值范围需符合实际情况。
【难度系数】
0.7

8.某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆,围成两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆,且不浪费篱笆).
(1)方案一:如图①,利用全部的围墙,在矩形ADGH中留一个宽AE=1 m的水池(矩形AEFH).若总种植面积(基地除水池外的部分)为32 m²,求CG,DG的长.
(2)方案二:如图②,围成矩形ADGH和矩形BCGH.为使总种植面积最大,BC应设计为多长?此时总种植面积为多少?

8.(1)两块矩形的面积之和为 $12×\frac{21-12}{3}=36(\mathrm{m}^2).$
设水池的长为 $AH=a$ m,
$\because$ 总种植面积为 $32\ \mathrm{m}^2,\therefore 36-a×1=32,$ 解得 $a=4,\therefore DG=AH=4\ \mathrm{m},$
$\therefore CG=CD-DG=8\ \mathrm{m}.$
(2)设 $BC$ 长为 $x$ m,总种植面积为 $S\ \mathrm{m}^2,$
则 $CD$ 长为 $(21-3x)$ m,$S=(21-3x)x=-3(x^2-7x)=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4},$
$\because -3＜0,\therefore$ 当 $x=\frac{7}{2}$ 时,$S$ 有最大值 $\frac{147}{4}.$
$\therefore BC$ 设计为 $\frac{7}{2}\ \mathrm{m}$ 时总种植面积最大,此时总种植面积为 $\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2.$

【分析】
(1) 方案一首先利用围墙总长12m，先计算垂直于围墙的篱笆长度：总篱笆长21m，平行于围墙方向全部使用围墙，剩余篱笆为3段垂直于围墙的等长边，即可算出单段垂直边的长度，进而得到两块矩形基地的总面积。再根据“总种植面积=基地总面积-水池面积”列方程，求出水池的长AH，也就是DG的长度，最后用CD总长（等于围墙长12m）减去DG得到CG的长度。
(2) 方案二设BC的长度为x m，3段垂直于围墙的篱笆总长为3x，因此平行于围墙的CD长度为(21-3x)m，结合墙长限制可确定x的取值范围。再根据矩形面积公式写出总种植面积S关于x的二次函数解析式，配方为顶点式后结合二次函数的开口方向，即可求出S的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 已知围墙AB长12m，篱笆总长21m，垂直于围墙的篱笆共3段，每段长度相等，因此每段垂直边长为$\frac{21-12}{3}=3\ \mathrm{m}$。
两块矩形基地的总面积为：$12×3=36\ \mathrm{m}^2$。
设水池的长AH为$a$ m，水池宽$AE=1\ \mathrm{m}$，已知总种植面积为$32\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$36 - 1× a=32$
解得$a=4$，因此$DG=AH=4\ \mathrm{m}$。
$CG=CD-DG=12-4=8\ \mathrm{m}$。
(2) 设BC的长度为$x$ m，总种植面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
垂直于围墙的篱笆共3段，总长为$3x$ m，因此平行于围墙的CD边长为$(21-3x)\ \mathrm{m}$，结合墙长限制可得$0＜21-3x\le12$，即$3\le x＜7$。
总种植面积为矩形ABCD的面积，因此：
$S=x·(21-3x)=-3x^2+21x$
配方得：$S=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$
$\because$二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，且$x=\frac{7}{2}=3.5$在$3\le x＜7$的取值范围内，
$\therefore$当$x=\frac{7}{2}$时，$S$取得最大值$\frac{147}{4}$。
【答案】
(1) CG长8m，DG长4m；
(2) BC应设计为$\frac{7}{2}\ \mathrm{m}$，此时总种植面积为$\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元一次方程的应用，二次函数最值应用，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察方程与二次函数的应用，解题时需要先分析篱笆的构成明确各边的数量关系，同时要注意结合围墙长度验证未知数取值的合理性，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65