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1.一张长为20 cm、宽为10 cm的矩形卡纸，四个角上分别剪去边长为x cm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为$y\ \mathrm{cm}^2$的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数解析式为(
A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
C
).A.$y=(10-x)(20-x)(0＜x＜5)$
B.$y=200-4x^2(0＜x＜5)$
C.$y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)$
D.$y=200+4x^2(0＜x＜5)$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确折成无盖长方体盒子后底面的边长与原卡纸边长、小正方形边长的关系：四个角各剪去边长为x的小正方形后，原卡纸的长和宽都会在左右、上下两侧各减少x的长度，因此底面矩形的长和宽分别为原长减2x、原宽减2x；再结合矩形面积公式即可写出底面积y的表达式；最后根据实际意义（边长必须为正）确定x的取值范围，对应选项得出结果即可。
【解析】
步骤1：表示底面矩形的长和宽
剪去边长为x cm的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面是矩形：
底面的长 = 原卡纸长 - 2×小正方形边长 = (20 - 2x) cm
底面的宽 = 原卡纸宽 - 2×小正方形边长 = (10 - 2x) cm
步骤2：写出底面积的函数表达式
根据矩形面积=长×宽，可得：
y = (20 - 2x)(10 - 2x)
步骤3：确定自变量x的取值范围
根据实际意义，边长必须为正数：
① 小正方形边长x＞0
② 底面的宽10-2x＞0，解得x＜5
因此x的取值范围是0＜x＜5
综上，y与x的函数解析式为y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何折叠问题中的基础应用题型，解题的关键是结合图形剪折的特点准确表示出底面矩形的长和宽，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现边长为负的逻辑错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确折成无盖长方体盒子后底面的边长与原卡纸边长、小正方形边长的关系：四个角各剪去边长为x的小正方形后，原卡纸的长和宽都会在左右、上下两侧各减少x的长度，因此底面矩形的长和宽分别为原长减2x、原宽减2x；再结合矩形面积公式即可写出底面积y的表达式；最后根据实际意义（边长必须为正）确定x的取值范围，对应选项得出结果即可。
【解析】
步骤1：表示底面矩形的长和宽
剪去边长为x cm的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面是矩形：
底面的长 = 原卡纸长 - 2×小正方形边长 = (20 - 2x) cm
底面的宽 = 原卡纸宽 - 2×小正方形边长 = (10 - 2x) cm
步骤2：写出底面积的函数表达式
根据矩形面积=长×宽，可得：
y = (20 - 2x)(10 - 2x)
步骤3：确定自变量x的取值范围
根据实际意义，边长必须为正数：
① 小正方形边长x＞0
② 底面的宽10-2x＞0，解得x＜5
因此x的取值范围是0＜x＜5
综上，y与x的函数解析式为y=(10-2x)(20-2x)(0＜x＜5)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在几何折叠问题中的基础应用题型，解题的关键是结合图形剪折的特点准确表示出底面矩形的长和宽，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现边长为负的逻辑错误。
【难度系数】
0.8
2.用 12 m 长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园,设垂直于墙面的边长为 x m,矩形的面积为 y m²,根据题意,可列式为(
A.$y=12-2x$
B.$y=(12-x)x$
C.$y=(12-2x)x$
D.$y=(6-x)x$
C
).A.$y=12-2x$
B.$y=(12-x)x$
C.$y=(12-2x)x$
D.$y=(6-x)x$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确围栏仅围矩形的3条边（1条边靠墙无需围栏）：第一步先确定两条垂直于墙面的边长总和为2x m；第二步用围栏总长度减去两条垂直边的总长，得到平行于墙面的边长；最后根据矩形面积=长×宽的公式列出面积表达式即可。
【解析】
已知垂直于墙面的边长为x m，因此两条垂直于墙面的围栏总长度为2x m。
因为围栏总长为12 m，所以平行于墙面的边长为$(12 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得面积$y = x·(12 - 2x) = (12 - 2x)x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算；实际问题列函数式
【点评】
本题是几何实际应用的基础题，易错点是误将平行于墙面的边长计算为$12-x$，忽略了垂直于墙面的边有2条。只要明确3条围栏边的长度和为总围栏长，结合矩形面积公式就能准确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确围栏仅围矩形的3条边（1条边靠墙无需围栏）：第一步先确定两条垂直于墙面的边长总和为2x m；第二步用围栏总长度减去两条垂直边的总长，得到平行于墙面的边长；最后根据矩形面积=长×宽的公式列出面积表达式即可。
【解析】
已知垂直于墙面的边长为x m，因此两条垂直于墙面的围栏总长度为2x m。
因为围栏总长为12 m，所以平行于墙面的边长为$(12 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得面积$y = x·(12 - 2x) = (12 - 2x)x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算；实际问题列函数式
【点评】
本题是几何实际应用的基础题，易错点是误将平行于墙面的边长计算为$12-x$，忽略了垂直于墙面的边有2条。只要明确3条围栏边的长度和为总围栏长，结合矩形面积公式就能准确求解。
【难度系数】
0.8
3.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长18 m),墙对面有一个2 m宽的门,另外三边用木栏围成,木栏长30 m.若养鸡场垂直于墙的边长为x m,养鸡场的面积为S m²,则S与x之间的函数解析式为
S=x(32−2x)
.答案
3.$S=x(32-2x)$
解析
【分析】
要得到S与x的函数解析式，首先需要用x表示出长方形养鸡场平行于墙的边长。先计算垂直于墙的两条边消耗的木栏长度，再结合总木栏长度、门的宽度推导平行于墙的边长，最后根据长方形面积公式即可得到函数关系：垂直于墙的边长为x m，两条这样的边共消耗木栏2x m；剩余木栏都用于平行于墙的方向，因为该方向有2m宽的门不需要木栏，因此平行于墙的总边长=该方向的木栏长度+门宽，代入数据得到平行边长后，用“面积=长×宽”即可列式。
【解析】
解：已知养鸡场垂直于墙的边长为x m，
则两条垂直于墙的边共使用木栏长度为2x m，
平行于墙的方向使用的木栏长度为：$30-2x$ m，
由于该方向有2m宽的门，不需要木栏，因此平行于墙的总边长为：$(30-2x)+2=32-2x$ m，
根据长方形面积公式可得：
$S=x(32-2x)$
【答案】
$S=x(32-2x)$
【知识点】
二次函数实际应用，列函数解析式，长方形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是正确推导平行于墙的边长，需注意门的位置不需要占用木栏，因此平行边长要在对应木栏长度的基础上加门宽，避免因忽略门的条件导致边长计算错误。
【难度系数】
0.7
要得到S与x的函数解析式，首先需要用x表示出长方形养鸡场平行于墙的边长。先计算垂直于墙的两条边消耗的木栏长度，再结合总木栏长度、门的宽度推导平行于墙的边长，最后根据长方形面积公式即可得到函数关系：垂直于墙的边长为x m，两条这样的边共消耗木栏2x m；剩余木栏都用于平行于墙的方向，因为该方向有2m宽的门不需要木栏，因此平行于墙的总边长=该方向的木栏长度+门宽，代入数据得到平行边长后，用“面积=长×宽”即可列式。
【解析】
解：已知养鸡场垂直于墙的边长为x m，
则两条垂直于墙的边共使用木栏长度为2x m，
平行于墙的方向使用的木栏长度为：$30-2x$ m，
由于该方向有2m宽的门，不需要木栏，因此平行于墙的总边长为：$(30-2x)+2=32-2x$ m，
根据长方形面积公式可得：
$S=x(32-2x)$
【答案】
$S=x(32-2x)$
【知识点】
二次函数实际应用，列函数解析式，长方形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是正确推导平行于墙的边长，需注意门的位置不需要占用木栏，因此平行边长要在对应木栏长度的基础上加门宽，避免因忽略门的条件导致边长计算错误。
【难度系数】
0.7
4.某农户用一段长 20 m 的旧围墙和总长 40 m 的篱笆围一个矩形菜园(一边为旧围墙，另外三边为篱笆).设矩形菜园垂直于旧围墙的一边长为 x m，矩形菜园的面积为 y m²，求 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围.
答案
根据题意,可知矩形平行于旧围墙的一边长为$(40-2x)$ m,则$y=(40-2x)x$,
由条件可知$10≤ x＜20,\therefore y=-2x^2+40x(10≤ x＜20).$
由条件可知$10≤ x＜20,\therefore y=-2x^2+40x(10≤ x＜20).$
解析
【分析】
要得到y与x的函数解析式，首先需明确矩形菜园两条邻边的长度：已知垂直于旧围墙的边长为x m，因篱笆仅围三边，总篱笆长40m，因此平行于旧围墙的边长为(40-2x)m，再结合矩形面积公式即可列出函数关系式。求自变量x的取值范围时，需结合实际意义：一是矩形的边长必须为正数，二是平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度20m，据此列不等式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，矩形菜园平行于旧围墙的一边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$y = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
接下来求自变量x的取值范围：
① 平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度，即$40-2x ≤ 20$，解得$x ≥ 10$；
② 矩形的边长为正数，即$40-2x ＞ 0$，解得$x ＜ 20$。
综上，自变量x的取值范围为$10 ≤ x ＜ 20$。
因此函数解析式为$y=-2x^2+40x(10≤ x ＜ 20)$。
【答案】
$y=-2x^2+40x(10≤ x＜20)$
【知识点】
二次函数实际应用；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，解题的核心是准确用含x的代数式表示出矩形各边的长度，尤其要注意结合旧围墙的长度限制确定自变量的取值范围，避免因忽略实际意义导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
要得到y与x的函数解析式，首先需明确矩形菜园两条邻边的长度：已知垂直于旧围墙的边长为x m，因篱笆仅围三边，总篱笆长40m，因此平行于旧围墙的边长为(40-2x)m，再结合矩形面积公式即可列出函数关系式。求自变量x的取值范围时，需结合实际意义：一是矩形的边长必须为正数，二是平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度20m，据此列不等式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，矩形菜园平行于旧围墙的一边长为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$y = x(40-2x) = -2x^2 + 40x$
接下来求自变量x的取值范围：
① 平行于旧围墙的边长不能超过旧围墙的长度，即$40-2x ≤ 20$，解得$x ≥ 10$；
② 矩形的边长为正数，即$40-2x ＞ 0$，解得$x ＜ 20$。
综上，自变量x的取值范围为$10 ≤ x ＜ 20$。
因此函数解析式为$y=-2x^2+40x(10≤ x ＜ 20)$。
【答案】
$y=-2x^2+40x(10≤ x＜20)$
【知识点】
二次函数实际应用；自变量取值范围确定；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用，解题的核心是准确用含x的代数式表示出矩形各边的长度，尤其要注意结合旧围墙的长度限制确定自变量的取值范围，避免因忽略实际意义导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
5.用12 m长的木条围成一个“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积(木条宽度和损耗忽略不计)为(
A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
A
)。A.6 m²
B.16 m²
C.24 m²
D.36 m²
答案
5.A
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最值的问题，解题步骤可按以下思路展开：第一步，结合“日”字形窗框的结构，明确木条由2条竖直边、3条水平边组成，设出合适的边长变量；第二步，根据木条总长度12m的条件，用一个变量表示出另一个边长；第三步，结合长方形面积公式列出面积关于变量的二次函数表达式；第四步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可，注意边长需满足大于0的实际要求。
【解析】
解：设“日”字形窗框竖直边长为$ x \, \mathrm{m} $，水平边长为$ y \, \mathrm{m} $。
由木条总长度为12m可得：
$ 2x + 3y = 12 $
整理得：$ y = 4 - \frac{2}{3}x $（其中$ 0 ＜ x ＜ 6 $，保证边长为正）
窗户透光面积为长方形面积，即$ S = x · y $，代入$ y $的表达式得：
$ S = x(4 - \frac{2}{3}x) = -\frac{2}{3}x^2 + 4x $
该二次函数二次项系数$ a = -\frac{2}{3} ＜ 0 $，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，其中$ b = 4 $，代入得：
$ x = -\frac{4}{2 × (-\frac{2}{3})} = 3 $
将$ x = 3 $代入$ y = 4 - \frac{2}{3}x $，得$ y = 2 $
因此最大透光面积$ S = 3 × 2 = 6 \, \mathrm{m}^2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数的典型实际应用题，解题核心是准确梳理图形的边长数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意变量的实际取值范围，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求实际最值的问题，解题步骤可按以下思路展开：第一步，结合“日”字形窗框的结构，明确木条由2条竖直边、3条水平边组成，设出合适的边长变量；第二步，根据木条总长度12m的条件，用一个变量表示出另一个边长；第三步，结合长方形面积公式列出面积关于变量的二次函数表达式；第四步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可，注意边长需满足大于0的实际要求。
【解析】
解：设“日”字形窗框竖直边长为$ x \, \mathrm{m} $，水平边长为$ y \, \mathrm{m} $。
由木条总长度为12m可得：
$ 2x + 3y = 12 $
整理得：$ y = 4 - \frac{2}{3}x $（其中$ 0 ＜ x ＜ 6 $，保证边长为正）
窗户透光面积为长方形面积，即$ S = x · y $，代入$ y $的表达式得：
$ S = x(4 - \frac{2}{3}x) = -\frac{2}{3}x^2 + 4x $
该二次函数二次项系数$ a = -\frac{2}{3} ＜ 0 $，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，其中$ b = 4 $，代入得：
$ x = -\frac{4}{2 × (-\frac{2}{3})} = 3 $
将$ x = 3 $代入$ y = 4 - \frac{2}{3}x $，得$ y = 2 $
因此最大透光面积$ S = 3 × 2 = 6 \, \mathrm{m}^2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数的典型实际应用题，解题核心是准确梳理图形的边长数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意变量的实际取值范围，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
