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10.已知抛物线 $ L: y = x^2 - mx + m - 2 $.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)若 $ x_1, x_2 $ 是抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴的交点的横坐标,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $,求 $ m $ 的值.
(3)若直线 $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ 经过抛物线 $ L $ 的最低点,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)若 $ x_1, x_2 $ 是抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴的交点的横坐标,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $,求 $ m $ 的值.
(3)若直线 $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ 经过抛物线 $ L $ 的最低点,求 $ m $ 的值.
答案
10.(1)证明:$\Delta =b^2-4ac=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$,
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,
$\therefore$ 无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)根据题意得 $ x_1+x_2=m,x_1x_2=m-2 $,
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$,
$\therefore m^2-2(m-2)=7$,整理得 $ m^2-2m-3=0 $,解得 $ m_1=3,m_2=-1 $.
(3)$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,
$\because 1＞0,\therefore$ 抛物线 $ L $ 的最低点为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\because$ 直线 $ y=\dfrac{1}{2}x-2 $ 经过$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,解得 $ m_1=0,m_2=3 $.
$\therefore m=0$ 或 $ 3 $.
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,
$\therefore$ 无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)根据题意得 $ x_1+x_2=m,x_1x_2=m-2 $,
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$,
$\therefore m^2-2(m-2)=7$,整理得 $ m^2-2m-3=0 $,解得 $ m_1=3,m_2=-1 $.
(3)$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,
$\because 1＞0,\therefore$ 抛物线 $ L $ 的最低点为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\because$ 直线 $ y=\dfrac{1}{2}x-2 $ 经过$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,解得 $ m_1=0,m_2=3 $.
$\therefore m=0$ 或 $ 3 $.
解析
【分析】
(1)要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，只需证明对应一元二次方程的判别式Δ恒大于0即可，先写出Δ的表达式，再配方判断其取值范围。
(2)抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知条件列方程求解m。
(3)抛物线开口向上，最低点就是顶点，先将二次函数一般式配方为顶点式得到顶点坐标，再把顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1)证明：对于抛物线$y = x^2 - mx + m - 2$，对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2=0$，判别式$\Delta =b^2-4ac=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$，
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 为何值，抛物线 $L$ 与 $x$ 轴总有两个不同的交点。
(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1+x_2=m$，$x_1x_2=m-2$，
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7$，
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
代入得$m^2-2(m-2)=7$，整理得 $m^2-2m-3=0$，解得 $m_1=3$，$m_2=-1$。
(3)解：将抛物线解析式配方得$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线 $L$ 的最低点（顶点）为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$，
$\because$ 直线 $y=\dfrac{1}{2}x-2$ 经过该点，
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$，
解得 $m_1=0$，$m_2=3$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$m=3$或$m=-1$；
(3)$m=0$或$m=3$
【知识点】
判别式的应用、根与系数的关系、二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕二次函数与一元二次方程的关联设置考点，解题思路清晰，方法常规，能很好地考查学生对二次函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1)要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，只需证明对应一元二次方程的判别式Δ恒大于0即可，先写出Δ的表达式，再配方判断其取值范围。
(2)抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知条件列方程求解m。
(3)抛物线开口向上，最低点就是顶点，先将二次函数一般式配方为顶点式得到顶点坐标，再把顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1)证明：对于抛物线$y = x^2 - mx + m - 2$，对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2=0$，判别式$\Delta =b^2-4ac=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$，
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2+4＞0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 为何值，抛物线 $L$ 与 $x$ 轴总有两个不同的交点。
(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1+x_2=m$，$x_1x_2=m-2$，
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7$，
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
代入得$m^2-2(m-2)=7$，整理得 $m^2-2m-3=0$，解得 $m_1=3$，$m_2=-1$。
(3)解：将抛物线解析式配方得$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 抛物线 $L$ 的最低点（顶点）为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$，
$\because$ 直线 $y=\dfrac{1}{2}x-2$ 经过该点，
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$，
解得 $m_1=0$，$m_2=3$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$m=3$或$m=-1$；
(3)$m=0$或$m=3$
【知识点】
判别式的应用、根与系数的关系、二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕二次函数与一元二次方程的关联设置考点，解题思路清晰，方法常规，能很好地考查学生对二次函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
11.已知抛物线$y=-x^2+2x+3$与直线$y=3x-3$交于A,B(点A在点B左侧)两点.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)平移直线AB,使其与抛物线有唯一公共点,求平移后的直线的解析式.
(3)平移直线AB,使其与抛物线交于M,N(异于A,B)两点,若点H为MN的中点,直接写出点H的横坐标.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)平移直线AB,使其与抛物线有唯一公共点,求平移后的直线的解析式.
(3)平移直线AB,使其与抛物线交于M,N(异于A,B)两点,若点H为MN的中点,直接写出点H的横坐标.
答案
11.(1)$A(-3,-12),B(2,3)$.
(2)设平移后的直线解析式为 $ y=3x+t $,
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3,\\ y=3x+t, \end{cases}$整理得 $ x^2+x+t-3=0 $,
$\because$ 平移后的直线与抛物线有唯一公共点,
$\therefore \Delta=1-4(t-3)=0$,解得 $ t=\dfrac{13}{4} $.
$\therefore$ 平移后的直线的解析式为 $ y=3x+\dfrac{13}{4} $.
(3)$-\dfrac{1}{2}$.
提示:联立解析式后,利用一元二次方程的根与系数的关系.
(2)设平移后的直线解析式为 $ y=3x+t $,
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3,\\ y=3x+t, \end{cases}$整理得 $ x^2+x+t-3=0 $,
$\because$ 平移后的直线与抛物线有唯一公共点,
$\therefore \Delta=1-4(t-3)=0$,解得 $ t=\dfrac{13}{4} $.
$\therefore$ 平移后的直线的解析式为 $ y=3x+\dfrac{13}{4} $.
(3)$-\dfrac{1}{2}$.
提示:联立解析式后,利用一元二次方程的根与系数的关系.
解析
【分析】
(1) 求直线与抛物线的交点坐标，思路是联立两个函数的解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值，再代入函数解析式求出对应的y值，根据点A在点B左侧（即A点横坐标更小），即可确定A、B的坐标。
(2) 直线平移时斜率k不变，因此可设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，将其与抛物线解析式联立得到一元二次方程，直线与抛物线有唯一公共点说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，代入求解即可得到t的值，进而得到平移后的直线解析式。
(3) 设M、N的横坐标分别为$x_1、x_2$，联立平移后的直线与抛物线解析式得到的一元二次方程中，$x_1、x_2$就是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可直接求出$x_1+x_2$的值，而中点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}$，代入即可求出结果，无需计算t的具体值。
【解析】
(1) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x-3 \end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+3=3x-3$，整理得$x^2+x-6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3,x_2=2$，
将x=-3代入$y=3x-3$得$y=-12$，将x=2代入$y=3x-3$得$y=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-3,-12),B(2,3)$。
(2) 直线平移后斜率不变，设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x+t \end{cases}$，消去y整理得$x^2+x+t-3=0$，
∵平移后的直线与抛物线有唯一公共点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=1^2-4×1×(t-3)=0$，
解得$t=\frac{13}{4}$，
∴平移后的直线的解析式为$y=3x+\frac{13}{4}$。
(3) 设M点横坐标为$x_1$，N点横坐标为$x_2$，
联立平移后的直线与抛物线解析式得方程$x^2+x+t-3=0$，
由根与系数的关系得$x_1+x_2=-1$，
∵H是MN的中点，
∴点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$A(-3,-12),B(2,3)$
(2)$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数平移性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系
【点评】
本题围绕一次函数与二次函数的交点问题展开，考查了函数交点坐标的求法、一次函数平移的规律、判别式的应用以及根与系数的关系，属于二次函数的基础综合题，熟练掌握联立方程转化为一元二次方程的解题思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线与抛物线的交点坐标，思路是联立两个函数的解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值，再代入函数解析式求出对应的y值，根据点A在点B左侧（即A点横坐标更小），即可确定A、B的坐标。
(2) 直线平移时斜率k不变，因此可设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，将其与抛物线解析式联立得到一元二次方程，直线与抛物线有唯一公共点说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，代入求解即可得到t的值，进而得到平移后的直线解析式。
(3) 设M、N的横坐标分别为$x_1、x_2$，联立平移后的直线与抛物线解析式得到的一元二次方程中，$x_1、x_2$就是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可直接求出$x_1+x_2$的值，而中点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}$，代入即可求出结果，无需计算t的具体值。
【解析】
(1) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x-3 \end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+3=3x-3$，整理得$x^2+x-6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3,x_2=2$，
将x=-3代入$y=3x-3$得$y=-12$，将x=2代入$y=3x-3$得$y=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-3,-12),B(2,3)$。
(2) 直线平移后斜率不变，设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x+t \end{cases}$，消去y整理得$x^2+x+t-3=0$，
∵平移后的直线与抛物线有唯一公共点，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=1^2-4×1×(t-3)=0$，
解得$t=\frac{13}{4}$，
∴平移后的直线的解析式为$y=3x+\frac{13}{4}$。
(3) 设M点横坐标为$x_1$，N点横坐标为$x_2$，
联立平移后的直线与抛物线解析式得方程$x^2+x+t-3=0$，
由根与系数的关系得$x_1+x_2=-1$，
∵H是MN的中点，
∴点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$A(-3,-12),B(2,3)$
(2)$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数平移性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系
【点评】
本题围绕一次函数与二次函数的交点问题展开，考查了函数交点坐标的求法、一次函数平移的规律、判别式的应用以及根与系数的关系，属于二次函数的基础综合题，熟练掌握联立方程转化为一元二次方程的解题思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
