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10.已知抛物线 $ L: y = x^2 - mx + m - 2 $.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)若 $ x_1, x_2 $ 是抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴的交点的横坐标,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $,求 $ m $ 的值.
(3)若直线 $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ 经过抛物线 $ L $ 的最低点,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)若 $ x_1, x_2 $ 是抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴的交点的横坐标,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $,求 $ m $ 的值.
(3)若直线 $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ 经过抛物线 $ L $ 的最低点,求 $ m $ 的值.
答案
10.(1)证明:$\Delta =b^2-4ac=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$,
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,
$\therefore$ 无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)根据题意得 $ x_1+x_2=m,x_1x_2=m-2 $,
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$,
$\therefore m^2-2(m-2)=7$,整理得 $ m^2-2m-3=0 $,解得 $ m_1=3,m_2=-1 $.
(3)$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,
$\because 1＞0,\therefore$ 抛物线 $ L $ 的最低点为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\because$ 直线 $ y=\dfrac{1}{2}x-2 $ 经过$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,解得 $ m_1=0,m_2=3 $.
$\therefore m=0$ 或 $ 3 $.
$\because (m-2)^2≥0,\therefore (m-2)^2+4＞0$,
$\therefore$ 无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ L $ 与 $ x $ 轴总有两个不同的交点.
(2)根据题意得 $ x_1+x_2=m,x_1x_2=m-2 $,
$\because {x_1}^2+{x_2}^2=7,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$,
$\therefore m^2-2(m-2)=7$,整理得 $ m^2-2m-3=0 $,解得 $ m_1=3,m_2=-1 $.
(3)$y=x^2-mx+m-2=(x-\dfrac{m}{2})^2-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,
$\because 1＞0,\therefore$ 抛物线 $ L $ 的最低点为$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\because$ 直线 $ y=\dfrac{1}{2}x-2 $ 经过$(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}+m-2)$,
$\therefore \dfrac{1}{2}×\dfrac{m}{2}-2=-\dfrac{m^2}{4}+m-2$,解得 $ m_1=0,m_2=3 $.
$\therefore m=0$ 或 $ 3 $.
解析
【分析】
(1) 要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，本质是判断对应一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式Δ，通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于m的表达式，代入已知条件列方程求解即可。
(3) 抛物线开口向上，最低点就是抛物线的顶点，先将二次函数配方为顶点式得到顶点坐标，再根据顶点在已知直线上，将坐标代入直线解析式列方程求解m即可。
【解析】
(1) 证明：抛物线对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m - 2) = (m-2)^2 + 4$，
$\because (m-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (m-2)^2 + 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$m$为何值，抛物线$L$与$x$轴总有两个不同的交点。
(2) 解：根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = m$，$x_1x_2 = m - 2$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = 7$，
$\therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7$，
代入得$m^2 - 2(m-2) = 7$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
解得$m_1 = 3$，$m_2 = -1$。
(3) 解：将抛物线解析式配方为顶点式：
$y = x^2 - mx + m - 2 = (x-\frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m - 2$，
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 抛物线$L$的最低点即顶点为$(\frac{m}{2}, -\frac{m^2}{4} + m - 2)$，
$\because$ 直线$y=\frac{1}{2}x - 2$经过该点，
$\therefore \frac{1}{2}×\frac{m}{2} - 2 = -\frac{m^2}{4} + m - 2$，
整理得$m^2 - 3m = 0$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = 3$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $m$的值为$3$或$-1$；
(3) $m$的值为$0$或$3$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根与系数的关系
3. 二次函数的顶点性质
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题型，三个小问层层递进，覆盖了判别式、韦达定理、顶点坐标应用等核心考点，解题的关键是熟练掌握二次函数相关公式及变形技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明抛物线与x轴总有两个不同交点，本质是判断对应一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式Δ，通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2) 已知两根的平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于m的表达式，代入已知条件列方程求解即可。
(3) 抛物线开口向上，最低点就是抛物线的顶点，先将二次函数配方为顶点式得到顶点坐标，再根据顶点在已知直线上，将坐标代入直线解析式列方程求解m即可。
【解析】
(1) 证明：抛物线对应的一元二次方程为$x^2 - mx + m - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m - 2) = (m-2)^2 + 4$，
$\because (m-2)^2 ≥ 0$，$\therefore (m-2)^2 + 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$m$为何值，抛物线$L$与$x$轴总有两个不同的交点。
(2) 解：根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = m$，$x_1x_2 = m - 2$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = 7$，
$\therefore (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7$，
代入得$m^2 - 2(m-2) = 7$，整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，
解得$m_1 = 3$，$m_2 = -1$。
(3) 解：将抛物线解析式配方为顶点式：
$y = x^2 - mx + m - 2 = (x-\frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m - 2$，
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 抛物线$L$的最低点即顶点为$(\frac{m}{2}, -\frac{m^2}{4} + m - 2)$，
$\because$ 直线$y=\frac{1}{2}x - 2$经过该点，
$\therefore \frac{1}{2}×\frac{m}{2} - 2 = -\frac{m^2}{4} + m - 2$，
整理得$m^2 - 3m = 0$，解得$m_1 = 0$，$m_2 = 3$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $m$的值为$3$或$-1$；
(3) $m$的值为$0$或$3$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根与系数的关系
3. 二次函数的顶点性质
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题型，三个小问层层递进，覆盖了判别式、韦达定理、顶点坐标应用等核心考点，解题的关键是熟练掌握二次函数相关公式及变形技巧。
【难度系数】
0.7
11.已知抛物线$y=-x^2+2x+3$与直线$y=3x-3$交于A,B(点A在点B左侧)两点.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)平移直线AB,使其与抛物线有唯一公共点,求平移后的直线的解析式.
(3)平移直线AB,使其与抛物线交于M,N(异于A,B)两点,若点H为MN的中点,直接写出点H的横坐标.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)平移直线AB,使其与抛物线有唯一公共点,求平移后的直线的解析式.
(3)平移直线AB,使其与抛物线交于M,N(异于A,B)两点,若点H为MN的中点,直接写出点H的横坐标.
答案
11.(1)$A(-3,-12),B(2,3)$.
(2)设平移后的直线解析式为 $ y=3x+t $,
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3,\\ y=3x+t, \end{cases}$整理得 $ x^2+x+t-3=0 $,
$\because$ 平移后的直线与抛物线有唯一公共点,
$\therefore \Delta=1-4(t-3)=0$,解得 $ t=\dfrac{13}{4} $.
$\therefore$ 平移后的直线的解析式为 $ y=3x+\dfrac{13}{4} $.
(3)$-\dfrac{1}{2}$.
提示:联立解析式后,利用一元二次方程的根与系数的关系.
(2)设平移后的直线解析式为 $ y=3x+t $,
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3,\\ y=3x+t, \end{cases}$整理得 $ x^2+x+t-3=0 $,
$\because$ 平移后的直线与抛物线有唯一公共点,
$\therefore \Delta=1-4(t-3)=0$,解得 $ t=\dfrac{13}{4} $.
$\therefore$ 平移后的直线的解析式为 $ y=3x+\dfrac{13}{4} $.
(3)$-\dfrac{1}{2}$.
提示:联立解析式后,利用一元二次方程的根与系数的关系.
解析
【分析】
(1) 求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点坐标，再根据点A在点B左侧，确定A、B的对应坐标即可。
(2) 一次函数平移时斜率k不变，因此可设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，直线与抛物线有唯一公共点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$，代入求解t即可得到平移后的直线解析式。
(3) 设平移后直线与抛物线交点M、N的横坐标为$x_1、x_2$，中点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}$，联立两个解析式得到一元二次方程后，利用根与系数的关系直接求出$x_1+x_2$的值，即可得到中点横坐标，无需解出方程的根。
【解析】
(1) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x-3 \end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+3=3x-3$，整理得$x^2+x-6=0$
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3，x_2=2$
将x=-3代入$y=3x-3$得$y=-12$；将x=2代入$y=3x-3$得$y=3$
∵点A在点B左侧，
∴$A(-3,-12)，B(2,3)$
(2) 直线平移后斜率不变，设平移后的直线解析式为$y=3x+t$
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x+t \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+x+t-3=0$
∵平移后的直线与抛物线有唯一公共点，即上述方程有两个相等的实数根
∴根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(t-3)=0$
解得$t=\dfrac{13}{4}$
∴平移后的直线解析式为$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3) 设平移后直线与抛物线交点M的横坐标为$x_1$，N的横坐标为$x_2$，联立后的方程仍为$x^2+x+t-3=0$
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-1$
∵H是MN的中点，
∴点H的横坐标为$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$A(-3,-12),B(2,3)$
(2)$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
函数交点问题；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题围绕二次函数与一次函数的交点问题展开，将函数交点问题转化为一元二次方程解的问题是解题的核心思路，解题时注意一次函数平移时k不变的性质，第三问利用根与系数的关系求中点坐标，可大幅简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
(1) 求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式组成方程组，方程组的解就是交点坐标，再根据点A在点B左侧，确定A、B的对应坐标即可。
(2) 一次函数平移时斜率k不变，因此可设平移后的直线解析式为$y=3x+t$，直线与抛物线有唯一公共点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$，代入求解t即可得到平移后的直线解析式。
(3) 设平移后直线与抛物线交点M、N的横坐标为$x_1、x_2$，中点H的横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}$，联立两个解析式得到一元二次方程后，利用根与系数的关系直接求出$x_1+x_2$的值，即可得到中点横坐标，无需解出方程的根。
【解析】
(1) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x-3 \end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+3=3x-3$，整理得$x^2+x-6=0$
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3，x_2=2$
将x=-3代入$y=3x-3$得$y=-12$；将x=2代入$y=3x-3$得$y=3$
∵点A在点B左侧，
∴$A(-3,-12)，B(2,3)$
(2) 直线平移后斜率不变，设平移后的直线解析式为$y=3x+t$
联立得$\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=3x+t \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+x+t-3=0$
∵平移后的直线与抛物线有唯一公共点，即上述方程有两个相等的实数根
∴根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(t-3)=0$
解得$t=\dfrac{13}{4}$
∴平移后的直线解析式为$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3) 设平移后直线与抛物线交点M的横坐标为$x_1$，N的横坐标为$x_2$，联立后的方程仍为$x^2+x+t-3=0$
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-1$
∵H是MN的中点，
∴点H的横坐标为$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$A(-3,-12),B(2,3)$
(2)$y=3x+\dfrac{13}{4}$
(3)$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
函数交点问题；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题围绕二次函数与一次函数的交点问题展开，将函数交点问题转化为一元二次方程解的问题是解题的核心思路，解题时注意一次函数平移时k不变的性质，第三问利用根与系数的关系求中点坐标，可大幅简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
