1.抛物线$y=-3x^2 -x +4$与x轴的交点个数是（）。

A.3
B.2
C.1
D.0

1.B

【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可将问题转化为判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数：若方程有2个不相等的实数根，对应2个交点；有1个相等的实数根，对应1个交点；没有实数根，对应0个交点。因此只需令抛物线解析式中y=0，得到一元二次方程后计算根的判别式Δ，根据Δ的符号即可得出结论。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$-3x^2 -x +4 = 0$
其中$a=-3$，$b=-1$，$c=4$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49 ＞ 0$
因此该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线$y=-3x^2 -x +4$与x轴有2个交点。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题关键是掌握“抛物线与x轴的交点个数等价于对应一元二次方程实数根的个数”的转化思路，结合判别式即可快速求解，这类方法是解决同类问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

2.抛物线 $ y = x^2 - 2x + m $（$ m $ 为常数）与 $ x $ 轴没有交点，则 $ m $ 的取值范围是。

2.$m＞1$

【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断其对应的一元二次方程的实数根个数：抛物线与x轴无交点等价于对应一元二次方程无实根，即根的判别式Δ＜0。本题只需先写出抛物线对应的一元二次方程，代入判别式列不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m $ 与x轴没有交点
∴ 对应的一元二次方程 $ x^2 - 2x + m = 0 $ 无实数根
对于一元二次方程 $ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，根的判别式为 $ \Delta = b^2-4ac $
本题中 $ a=1, b=-2, c=m $，代入判别式得：
$ \Delta = (-2)^2 - 4×1× m ＜ 0 $
化简得 $ 4 - 4m ＜ 0 $
移项后两边同时除以4，解得 $ m ＞ 1 $
【答案】
$ m＞1 $
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题，解题核心是掌握二次函数图象和对应一元二次方程根的情况的转化关系，熟练运用判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=x^2 -4x +m$与x轴有且只有一个交点，则m的值为.

3.$4$

【分析】
要解决这道题，首先需明确抛物线与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的情况的关联：抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点，就是y=0时方程ax²+bx+c=0的实数根。题目中抛物线与x轴有且只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0，接下来代入系数列方程求解m即可。
【解析】
解：令y=0，得到一元二次方程：$x^2 -4x +m = 0$
∵抛物线与x轴有且只有一个交点
∴该方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$a=1$，$b=-4$，$c=m$
代入得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1× m = 16 - 4m = 0$
解上述方程：$16-4m=0$，移项得$4m=16$，解得$m=4$
【答案】
4
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础型考题，核心考查抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式的对应关系，牢记$\Delta＞0$时抛物线与x轴有2个交点、$\Delta=0$时有1个交点、$\Delta＜0$时无交点，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A(1,0),B(3,0)$两点,则关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为.
$\uparrow y \quad \vdots x=1$

4.$x_1=1,x_2=3$

【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。题目已经给出二次函数图象与$x$轴的两个交点坐标，我们只需要提取两个交点的横坐标，即可得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标为对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
已知二次函数图象与$x$轴交于$A(1,0)$、$B(3,0)$两点，两个交点的横坐标分别为1和3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象与x轴交点的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次函数和对应一元二次方程的关联，牢记二次函数与$x$轴交点的横坐标就是对应方程的根即可快速求解，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

5.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示.
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的根为.
(2)方程$ax^2+bx+c=-3$的根为.
(3)方程$ax^2+bx+c=-4$的根为.
(4)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为.

5.(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)$x＞3$ 或 $x＜-1$

【分析】
解决本题的核心是理解二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系：①一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标；②一元二次不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，就是二次函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围。同时结合二次函数的对称性（对称轴为$x=1$）找对应点，即可求解所有问题。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，由图可知图象与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，因此根为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$对应$y=-3$时的x值，由图可知图象过$(0,-3)$，根据对称轴$x=1$，可得与$(0,-3)$对称的点为$(2,-3)$，因此根为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=-4$对应$y=-4$时的x值，由图可知$y=-4$是函数的最小值，对应顶点$(1,-4)$，只有一个交点，因此根为$x_1=x_2=1$。
(4) 不等式$ax^2+bx+c＞0$对应图象在x轴上方的x的范围，观察图象可得，当$x＜-1$或$x＞3$时，图象在x轴上方，因此解集为$x＞3$或$x＜-1$。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)$x＞3$ 或 $x＜-1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与一元二次不等式
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的基础题型，解题关键是建立函数图象与方程根、不等式解集的对应联系，结合二次函数的对称性即可快速求解，熟练掌握相关对应关系能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.8

6.下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值.

关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的一个近似值可能是().

A.1.07
B.1.17
C.1.27
D.1.37

6.C

【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。由于二次函数图象是连续的曲线，当两个相邻的自变量$x$对应的函数值$y$一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的根就在这个区间内。接下来观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间，再匹配选项中落在该区间的数值即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.29＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.14＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$1.2＜x＜1.3$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在1.2到1.3之间。
对比四个选项，只有1.27落在1.2~1.3的区间内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关系，利用二次函数连续的特性，通过函数值的正负变化确定方程根的所在区间，解题思路直观，是对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8

7.二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的图象与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，则关于x的方程$ax^2 -2ax +c=0$的根为.

7.$x_1=-1,x_2=3$

【分析】
解题思路：首先明确一元二次方程$ax^2 -2ax +c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2 -2ax +c$图象与x轴交点的横坐标。我们可以先通过二次函数的对称轴公式求出图象的对称轴，再利用二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点坐标，求出另一个交点的横坐标，即可得到方程的两个根；也可以将已知交点代入函数解析式求出a和c的关系，再代入方程直接求解。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即二次函数图象的对称轴为直线$x=1$。
2. 利用对称性求另一个交点：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(-1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，则：
$\frac{-1+x_2}{2}=1$，解得$x_2=3$。
3. 方程$ax^2 -2ax +c=0$的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，所以根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
方法二（代入求解验证）：
将交点$(-1,0)$代入$y=ax^2 -2ax +c$得：$a×(-1)^2 -2a×(-1)+c=0$，化简得$3a+c=0$，即$c=-3a$。
将$c=-3a$代入方程$ax^2 -2ax +c=0$得：$ax^2 -2ax -3a=0$，由二次函数定义可知$a≠0$，两边同时除以a得：$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的关联，既可以通过代入系数解方程求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到结果，灵活运用对称性可以大幅简化计算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

8.二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象经过点$(-1,0)$和点$(5,0)$，则关于$x$的一元二次方程$a(x-h+1)^2 +k=0$的根为.

8.$x_1=-2,x_2=4$

【分析】
解题的核心是利用二次函数与对应一元二次方程的关系，结合整体代换的思路求解。首先，二次函数$y=a(x-h)^2 +k$与x轴交点的横坐标就是方程$a(x-h)^2 +k=0$的根，已知函数过$(-1,0)$、$(5,0)$，因此该方程的根为$x=-1$和$x=5$。待求方程$a(x-h+1)^2 +k=0$可变形为$a[(x+1)-h]^2 +k=0$，将$x+1$看作整体，即可利用已知方程的根求出x的值，也可通过二次函数图象平移的规律，判断交点平移后的横坐标得到方程的根。
【解析】
∵ 二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象经过点$(-1,0)$和$(5,0)$
∴ 一元二次方程$a(x-h)^2 +k=0$的两个根为$x_1=-1$，$x_2=5$
将待求方程$a(x-h+1)^2 +k=0$变形为：$a[(x+1)-h]^2 +k=0$
令$t=x+1$，则方程转化为$a(t-h)^2 +k=0$，因此$t$的解为$t_1=-1$，$t_2=5$
分别代入$t=x+1$求解：
当$t=-1$时，$x+1=-1$，解得$x=-2$
当$t=5$时，$x+1=5$，解得$x=4$
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；换元法解方程；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，不需要求解参数$a、h、k$的具体值，通过整体代换的思想即可快速求解，能有效考查对函数与方程关系的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

9.已知二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的部分图象如图所示.
(1)直接写出关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=5 $ 的解.
(2)当 $ ax^2+bx+c＞5 $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围.

9.(1)$x_1=0,x_2=4$.
(2)$0＜x＜4$.

【分析】
解题思路：首先从图像提取关键信息：二次函数对称轴为直线$x=2$，且图像过点$(0,5)$。
第(1)问：一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$函数值为5时的自变量$x$的值，利用二次函数的对称性找到点$(0,5)$关于对称轴的对称点，即可得到方程的两个解。
第(2)问：$ax^2+bx+c＞5$对应二次函数图像在直线$y=5$上方的部分，结合抛物线开口向下的特征，即可确定$x$的取值范围。
【解析】
解：(1) 由图像可得，二次函数的对称轴为直线$x=2$，且$x=0$时$y=5$。
根据二次函数的对称性，点$(0,5)$关于对称轴$x=2$的对称点横坐标为$2×2-0=4$，即$x=4$时$y=5$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解为$x_1=0,x_2=4$。
(2) 已知抛物线开口向下，当$y＞5$时，对应图像位于直线$y=5$上方的部分，此时$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=4$
(2)$0＜x＜4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数图像与方程、不等式的对应关系，解题核心是利用二次函数对称性找到对应点，要求学生掌握数形结合分析问题的方法。
【难度系数】
0.7