1.抛物线$y=-3x^2 -x +4$与x轴的交点个数是（）。

A.3
B.2
C.1
D.0

1.B

【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是令y=0时对应一元二次方程的根，交点个数由一元二次方程根的判别式Δ的符号决定：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。解题时先写出y=0对应的一元二次方程，确定a、b、c的取值，再计算判别式的大小，最后根据判别式符号判断交点个数即可。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，得到一元二次方程：
$-3x^2 -x +4 = 0$
其中二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=4$，
代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49$
∵$49＞0$，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y=-3x^2 -x +4$与x轴有2个交点。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数的判断方法，解题关键是熟记判别式Δ的符号与交点个数的对应关系，计算难度低，掌握相关结论即可快速解答。
【难度系数】
0.85

2.抛物线 $ y = x^2 - 2x + m $（$ m $ 为常数）与 $ x $ 轴没有交点，则 $ m $ 的取值范围是。

2.$m＞1$

【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根个数：当方程无实数根时，抛物线与x轴无交点，此时一元二次方程的根的判别式Δ＜0。我们先确定对应一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列不等式，求解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y = x^2 - 2x + m$与x轴没有交点
∴ 当$y=0$时，方程$x^2 - 2x + m = 0$无实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=m$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m$
∵ 方程无实数根，
∴ $\Delta ＜ 0$
即$4 - 4m ＜ 0$
解不等式：
$-4m ＜ -4$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m＞1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考察数形结合的转化思想，只要掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练运用根的判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=x^2 -4x +m$与x轴有且只有一个交点，则m的值为.

3.$4$

【分析】
要解决本题，首先需要明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系：抛物线与x轴有且只有一个交点，等价于当y=0时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。我们只需确定对应方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列方程求解，即可得到m的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -4x +m$与x轴有且只有一个交点
∴ 一元二次方程$x^2 -4x +m = 0$有两个相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m$，可得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× m = 16 - 4m$
令$\Delta = 0$，即$16 - 4m = 0$
解得：$m = 4$
【答案】
4
【知识点】
1.二次函数与x轴交点的判定
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记三类交点情况对应的Δ的取值范围即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A(1,0),B(3,0)$两点,则关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为.
$\uparrow y \quad \vdots x=1$

4.$x_1=1,x_2=3$

【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。题目已经明确给出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标即为方程$ax^2+bx+c=0$的根。
已知该二次函数图象与$x$轴交于$A(1,0)$、$B(3,0)$两点，两个交点的横坐标分别为1和3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该结论即可直接得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9

5.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示.
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的根为.
(2)方程$ax^2+bx+c=-3$的根为.
(3)方程$ax^2+bx+c=-4$的根为.
(4)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为.

5.(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)$x＞3$ 或 $x＜-1$

【分析】
本题可利用二次函数图象与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系求解：①一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标；②一元二次不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集，就是二次函数图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围。解题时可结合抛物线的对称性，由已知点推出对称点的坐标，从而快速得到结果。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根是抛物线与x轴交点的横坐标，由图象可知抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此根为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$的根是$y=-3$时对应的x值，由图象可知抛物线过点$(0,-3)$，结合抛物线对称轴为$x=1$，可得点$(0,-3)$关于对称轴的对称点为$(2,-3)$，因此根为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=-4$的根是$y=-4$时对应的x值，由图象可知抛物线顶点为$(1,-4)$，即$y=-4$时仅对应一个x值，因此根为$x_1=x_2=1$。
(4) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围，由图象得该范围为$x＜-1$或$x＞3$。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)$x＞3$ 或 $x＜-1$
【知识点】
二次函数与方程的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的对称性
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是建立函数图象特征与方程解、不等式解集的对应关系，结合抛物线对称性可简化计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8

6.下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值.

关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的一个近似值可能是().

A.1.07
B.1.17
C.1.27
D.1.37

6.C

【分析】
解题时首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值，即二次函数图像与$x$轴交点的横坐标。接下来观察表格中$y$值的变化，当$y$值由负变为正时，因为二次函数图像是连续的曲线，所以两个对应的$x$值之间一定存在一个$x$使得$y=0$，由此确定根的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据二次函数与一元二次方程的对应关系，方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。
2. 观察表格数据可得：
当$x=1.2$时，$y=-0.29＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.14＞0$。
3. 由于二次函数的图像是连续曲线，因此在$1.2＜x＜1.3$的区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在1.2到1.3之间。
4. 对比四个选项，只有1.27落在$1.2∼1.3$的区间内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的关联应用，解题核心是抓住“方程的根对应函数$y=0$的$x$值”这一关系，结合函数值的正负变化确定根的范围即可快速解题，解题时注意不要混淆$y$的正负对应的区间。
【难度系数】
0.7

7.二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的图象与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，则关于x的方程$ax^2 -2ax +c=0$的根为.

7.$x_1=-1,x_2=3$

【分析】
解题思路：一元二次方程$ax^2 -2ax +c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2 -2ax +c$图象与x轴交点的横坐标。首先我们可以先计算该二次函数的对称轴，再利用二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点坐标，就能求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
1. 计算二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中一次项系数$b=-2a$，代入得对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(-1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{-1+x_2}{2}=1$。
3. 解方程得：$-1+x_2=2$，即$x_2=3$。
4. 因此方程$ax^2 -2ax +c=0$的根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
方法2：代入法求解
1. 将交点$(-1,0)$代入二次函数$y=ax^2 -2ax +c$得：$a×(-1)^2 -2a×(-1)+c=0$，化简得$3a+c=0$，即$c=-3a$。
2. 将$c=-3a$代入方程$ax^2 -2ax +c=0$，得$ax^2-2ax-3a=0$，因为是二次函数，所以$a≠0$，两边同时除以$a$得$x^2-2x-3=0$。
3. 因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数对称性、二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数的图像性质与一元二次方程的对应关系，利用对称性求解比代入运算更简便，熟练掌握二次函数的对称性可提升解题效率。
【难度系数】
0.8

8.二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象经过点$(-1,0)$和点$(5,0)$，则关于$x$的一元二次方程$a(x-h+1)^2 +k=0$的根为.

8.$x_1=-2,x_2=4$

【分析】
解题可从二次函数与一元二次方程的关系入手：首先，二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，据此可先得到方程$a(x-h)^2 +k=0$的两个根；再观察待求方程$a(x-h+1)^2 +k=0$的结构，可将其变形为$a[(x+1)-h]^2 +k=0$，把$x+1$看作整体代换，即可快速求出方程的根，无需计算参数a、h、k的具体值。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象经过点$(-1,0)$和$(5,0)$
∴ 一元二次方程$a(x-h)^2 +k=0$的两个根为$x_1=-1$，$x_2=5$
将待求方程$a(x-h+1)^2 +k=0$变形为：$a[(x+1)-h]^2 +k=0$
令$t=x+1$，则方程变为$a(t-h)^2 +k=0$，可得$t_1=-1$，$t_2=5$
分别求解x：
当$t=-1$时，$x+1=-1$，解得$x=-2$
当$t=5$时，$x+1=5$，解得$x=4$
∴ 方程$a(x-h+1)^2 +k=0$的根为$x_1=-2$，$x_2=4$
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 换元法解方程
【点评】
本题核心考查二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系，解题时无需计算未知参数，通过整体代换的思路即可快速求解，能有效考查学生对函数与方程关系的理解和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

9.已知二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的部分图象如图所示.
(1)直接写出关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c=5 $ 的解.
(2)当 $ ax^2+bx+c＞5 $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围.

9.(1)$x_1=0,x_2=4$.
(2)$0＜x＜4$.

【分析】
解决本题需要利用二次函数的对称性，结合图像分析函数值与自变量的对应关系：首先从图像中提取对称轴为直线x=2、x=0时y=5这两个关键信息；第(1)问中，方程$ax^2+bx+c=5$的解就是y=5时对应的x值，利用对称性找到y=5的另一个对应x即可；第(2)问中，$ax^2+bx+c＞5$对应函数图像在直线y=5上方的部分，结合开口方向即可得到x的取值范围。
【解析】
由图像可知：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，且当$x=0$时，$y=5$。
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解即函数$y=ax^2+bx+c$中$y=5$时对应的自变量$x$的值。
根据二次函数的对称性，点$(0,5)$关于对称轴$x=2$的对称点的横坐标为$2×2-0=4$，即当$x=4$时，$y=5$。
因此方程$ax^2+bx+c=5$的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
(2) 由于二次函数图像开口向下，因此当$y＞5$时，对应的$x$在两个解之间，即$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=4$；
(2)$0＜x＜4$。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图像性质，利用对称性找到对应点的坐标，结合图像即可快速得到方程的解和不等式的取值范围。
【难度系数】
0.8