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6.已知点$(-4,y_1),(-3,y_2),(1,y_3)$都在$y=ax^2+4ax+a(a＞0)$的图象上,则下列结论正确的是(
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
).A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
6.D
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的图象特征：先根据函数解析式求出对称轴，结合a＞0可知抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可通过距离大小判断函数值的大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在函数$y=ax^2+4ax+a(a＞0)$中，$b=4a$，代入公式得对称轴为：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=-2$的距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到$x=-2$的距离：$\left|-4 - (-2)\right|=2$
点$(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$\left|-3 - (-2)\right|=1$
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$\left|1 - (-2)\right|=3$
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用，核心技巧是利用对称轴和开口方向比较函数值大小，相比逐个代入计算函数值的方法更简便，解题时要注意距离是横坐标差的绝对值，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的图象特征：先根据函数解析式求出对称轴，结合a＞0可知抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可通过距离大小判断函数值的大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在函数$y=ax^2+4ax+a(a＞0)$中，$b=4a$，代入公式得对称轴为：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=-2$的距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到$x=-2$的距离：$\left|-4 - (-2)\right|=2$
点$(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$\left|-3 - (-2)\right|=1$
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$\left|1 - (-2)\right|=3$
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的常规应用，核心技巧是利用对称轴和开口方向比较函数值大小，相比逐个代入计算函数值的方法更简便，解题时要注意距离是横坐标差的绝对值，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
7.若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2+5$的图象上，且$0＜x_1＜x_2$，则（
A.$5＜y_1＜y_2$
B.$5＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜5$
D.$y_1＜y_2＜5$
C
）.A.$5＜y_1＜y_2$
B.$5＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜5$
D.$y_1＜y_2＜5$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先要从二次函数的解析式入手，先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再确定对称轴和顶点的函数值，明确x＞0区间内函数的增减规律，最后结合已知的x₁、x₂的大小关系，就能依次比较出y₁、y₂和5的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2+5$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数无一次项，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,5)$，即$x=0$时$y$取得最大值5，当$x＞0$时，所有对应的函数值都小于5；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而减小。
已知$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，根据增减性可得$y_2＜y_1$，结合$x＞0$时$y＜5$，最终得$y_2＜y_1＜5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握开口方向、对称轴对二次函数增减性的影响，只要理清对应区间的增减规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要从二次函数的解析式入手，先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再确定对称轴和顶点的函数值，明确x＞0区间内函数的增减规律，最后结合已知的x₁、x₂的大小关系，就能依次比较出y₁、y₂和5的大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2+5$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数无一次项，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,5)$，即$x=0$时$y$取得最大值5，当$x＞0$时，所有对应的函数值都小于5；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而减小。
已知$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，根据增减性可得$y_2＜y_1$，结合$x＞0$时$y＜5$，最终得$y_2＜y_1＜5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握开口方向、对称轴对二次函数增减性的影响，只要理清对应区间的增减规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8.将抛物线$y=2x^2 -4x +3$向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为________（用顶点式表示）。
答案
8.$y=2(x-4)^2-1$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆二次函数平移的核心性质：平移仅改变图象位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数$a$和原函数一致；其次要得到平移后的顶点式，需要先确定平移后的顶点坐标，因此先把原函数的一般式配方转化为顶点式，得到原顶点坐标；再根据“向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少”的规律计算新顶点坐标；最后将$a$和新顶点坐标代入顶点式标准形式$y=a(x-h)^2+k$即可得到结果。
【解析】
步骤1：将原抛物线解析式化为顶点式，确定原顶点坐标
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+3\\&=2(x^2-2x)+3\\&=2(x^2-2x+1-1)+3\\&=2[(x-1)^2-1]+3\\&=2(x-1)^2-2+3\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(1,1)$。
步骤2：计算平移后的新顶点坐标
向右平移3个单位，横坐标变为：$1+3=4$
向下平移2个单位，纵坐标变为：$1-2=-1$
即新抛物线的顶点坐标为$(4,-1)$。
步骤3：写出新抛物线的顶点式
平移后二次项系数$a=2$不变，代入顶点式得$y=2(x-4)^2-1$。
【答案】
$y=2(x-4)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数一般式化顶点式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础常规题，解题关键是牢记平移前后二次项系数不变的特点，两种常用解法：顶点坐标平移法、直接对解析式用“左加右减、上加下减”变形，解题时需注意区分对自变量的平移和对函数整体的平移，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先回忆二次函数平移的核心性质：平移仅改变图象位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数$a$和原函数一致；其次要得到平移后的顶点式，需要先确定平移后的顶点坐标，因此先把原函数的一般式配方转化为顶点式，得到原顶点坐标；再根据“向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少”的规律计算新顶点坐标；最后将$a$和新顶点坐标代入顶点式标准形式$y=a(x-h)^2+k$即可得到结果。
【解析】
步骤1：将原抛物线解析式化为顶点式，确定原顶点坐标
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+3\\&=2(x^2-2x)+3\\&=2(x^2-2x+1-1)+3\\&=2[(x-1)^2-1]+3\\&=2(x-1)^2-2+3\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(1,1)$。
步骤2：计算平移后的新顶点坐标
向右平移3个单位，横坐标变为：$1+3=4$
向下平移2个单位，纵坐标变为：$1-2=-1$
即新抛物线的顶点坐标为$(4,-1)$。
步骤3：写出新抛物线的顶点式
平移后二次项系数$a=2$不变，代入顶点式得$y=2(x-4)^2-1$。
【答案】
$y=2(x-4)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数一般式化顶点式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础常规题，解题关键是牢记平移前后二次项系数不变的特点，两种常用解法：顶点坐标平移法、直接对解析式用“左加右减、上加下减”变形，解题时需注意区分对自变量的平移和对函数整体的平移，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
9.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的顶点为M,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=1,OB=OC=3,求CM的长.
答案
9.$\because OA=1$,$OB=OC=3$,$\therefore A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.
把 $A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得$\begin{cases} 0=a-b+c,\\ 0=9a+3b+c,\\ -3=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$,
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore M(1,-4)$.
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴,则 $CD=1$,$MD=1$.$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{2}$.
把 $A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得$\begin{cases} 0=a-b+c,\\ 0=9a+3b+c,\\ -3=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$,
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore M(1,-4)$.
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴,则 $CD=1$,$MD=1$.$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据OA、OB、OC的长度结合坐标轴上点的坐标特征确定A、B、C三点的坐标；再将三点坐标代入二次函数一般式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，得到二次函数解析式；接着将解析式配方为顶点式，求出顶点M的坐标；最后过M作y轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出CM的长度。
【解析】
$\because OA=1$，$OB=OC=3$，结合点在坐标轴上的位置可得：$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$。
把 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得：
$\begin{cases} 0=a-b+c\\ 0=9a+3b+c\\ -3=c \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2\\ c=-3 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$。
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore$ 顶点$M$的坐标为$(1,-4)$。
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴于点$D$，则$D$点坐标为$(0,-4)$，可得$CD=|-3-(-4)|=1$，$MD=|1-0|=1$。
在$Rt△ CDM$中，由勾股定理得：$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数顶点式；勾股定理
【点评】
本题是二次函数的基础题型，将坐标与线段长度的转化、二次函数解析式的求解、勾股定理的应用结合考查，解题的核心是先求出二次函数解析式得到顶点坐标，再构造直角三角形计算线段长度，是常考的基础类型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据OA、OB、OC的长度结合坐标轴上点的坐标特征确定A、B、C三点的坐标；再将三点坐标代入二次函数一般式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，得到二次函数解析式；接着将解析式配方为顶点式，求出顶点M的坐标；最后过M作y轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出CM的长度。
【解析】
$\because OA=1$，$OB=OC=3$，结合点在坐标轴上的位置可得：$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$。
把 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得：
$\begin{cases} 0=a-b+c\\ 0=9a+3b+c\\ -3=c \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2\\ c=-3 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$。
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore$ 顶点$M$的坐标为$(1,-4)$。
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴于点$D$，则$D$点坐标为$(0,-4)$，可得$CD=|-3-(-4)|=1$，$MD=|1-0|=1$。
在$Rt△ CDM$中，由勾股定理得：$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数顶点式；勾股定理
【点评】
本题是二次函数的基础题型，将坐标与线段长度的转化、二次函数解析式的求解、勾股定理的应用结合考查，解题的核心是先求出二次函数解析式得到顶点坐标，再构造直角三角形计算线段长度，是常考的基础类型题。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系中，点$(2,3)$在抛物线$E:y=ax^2+bx+3$上.
(1)求抛物线$E$的对称轴.
(2)若抛物线$E$经过点$(1,2)$，将抛物线$E$向右平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$F$.当$0≤ x≤ 3$时，抛物线$F$上对应最高点与最低点的高度差为4，求$m$的值.
(1)求抛物线$E$的对称轴.
(2)若抛物线$E$经过点$(1,2)$，将抛物线$E$向右平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$F$.当$0≤ x≤ 3$时，抛物线$F$上对应最高点与最低点的高度差为4，求$m$的值.
答案
10.(1)$\because$ 抛物线 $E$ 过点$(0,3)$,$(2,3)$,$\therefore$ 抛物线 $E$ 的对称轴为直线 $x=\dfrac{0+2}{2}=1$.
(2)抛物线 $E$ 过点$(1,2)$,$(2,3)$,将点的坐标代入解析式得$\begin{cases} a+b+3=2,\\ 4a+2b+3=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2, \end{cases}$
抛物线 $E$ 的解析式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
将抛物线 $E$ 向右平移 $m$ 个单位长度后得到的抛物线 $F$ 的解析式为 $y=(x-1-m)^2+2$.
当 $0≤ x≤ 3$ 时,抛物线 $F$ 上对应最高点与最低点的高度差为 4,
分情况讨论:
当 $m≥ 2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=3$ 时 $y$ 有最小值$(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$,$\therefore (-1-m)^2+2-(2-m)^2-2=4$,解得 $m=\dfrac{7}{6}$(舍去);
当 $0＜m＜2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=1+m$ 时 $y$ 有最小值$(1+m-1-m)^2+2=2$,$\therefore (-1-m)^2+2-2=4$,解得 $m=1$ 或 $m=-3$(舍去).
综上所述,$m$ 的值为 1.
(2)抛物线 $E$ 过点$(1,2)$,$(2,3)$,将点的坐标代入解析式得$\begin{cases} a+b+3=2,\\ 4a+2b+3=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2, \end{cases}$
抛物线 $E$ 的解析式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
将抛物线 $E$ 向右平移 $m$ 个单位长度后得到的抛物线 $F$ 的解析式为 $y=(x-1-m)^2+2$.
当 $0≤ x≤ 3$ 时,抛物线 $F$ 上对应最高点与最低点的高度差为 4,
分情况讨论:
当 $m≥ 2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=3$ 时 $y$ 有最小值$(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$,$\therefore (-1-m)^2+2-(2-m)^2-2=4$,解得 $m=\dfrac{7}{6}$(舍去);
当 $0＜m＜2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=1+m$ 时 $y$ 有最小值$(1+m-1-m)^2+2=2$,$\therefore (-1-m)^2+2-2=4$,解得 $m=1$ 或 $m=-3$(舍去).
综上所述,$m$ 的值为 1.
解析
【分析】
(1) 先观察抛物线E的解析式，常数项为3，可知x=0时y=3，即抛物线过点(0,3)，结合已知过点(2,3)，两个点纵坐标相同，是抛物线上的对称点，对称轴为两点横坐标的平均值，直接计算即可得到对称轴。
(2) 先将点(1,2)、(2,3)代入抛物线E的解析式，列方程组求出a、b的值，将解析式化为顶点式；再根据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后抛物线F的解析式；抛物线F开口向上，区间0≤x≤3内的最值由对称轴和区间的位置关系决定，分两种情况讨论：对称轴在区间右侧、对称轴在区间内，分别求出最高点和最低点的纵坐标，根据高度差为4列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$E:y=ax^2+bx+3$，当$x=0$时，$y=3$，即抛物线过点$(0,3)$，
又已知抛物线过点$(2,3)$，两点纵坐标相等，为抛物线上的对称点，
$\therefore$ 抛物线$E$的对称轴为直线$x=\dfrac{0+2}{2}=1$。
(2) $\because$ 抛物线$E$经过点$(1,2)$，将$(1,2)$、$(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases} a+b+3=2\\ 4a+2b+3=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线$E$的解析式为$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
将抛物线$E$向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线$F$的解析式为$y=(x-1-m)^2+2$，其开口向上，对称轴为直线$x=1+m$，顶点纵坐标为2。
当$0≤ x≤ 3$时，分情况讨论最值：
① 当$1+m≥3$即$m≥2$时，区间$[0,3]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore x=0$时$y$取最大值：$(0-1-m)^2+2=(m+1)^2+2$，
$x=3$时$y$取最小值：$(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 - [(2-m)^2+2] =4$，
化简解得$m=\dfrac{7}{6}$，$\because \dfrac{7}{6}＜2$，不符合$m≥2$的前提，舍去；
② 当$0＜1+m＜3$即$0＜m＜2$时，对称轴在区间$[0,3]$内，
$\therefore x=1+m$时$y$取最小值2，
比较区间端点到对称轴的距离可知$x=0$时$y$取最大值：$(m+1)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 -2 =4$，
即$(m+1)^2=4$，解得$m=1$或$m=-3$，
$\because m＞0$且$0＜1＜2$，符合条件，故$m=1$。
【答案】
(1) 直线$\boldsymbol{x=1}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的平移；二次函数区间最值
【点评】
本题侧重考查二次函数性质的综合应用，第一问利用对称点求对称轴可简化计算；第二问核心是结合平移规律得到新抛物线解析式，再根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论最值，解题时要注意验证解是否符合前提条件，舍去无效解。
【难度系数】
0.6
(1) 先观察抛物线E的解析式，常数项为3，可知x=0时y=3，即抛物线过点(0,3)，结合已知过点(2,3)，两个点纵坐标相同，是抛物线上的对称点，对称轴为两点横坐标的平均值，直接计算即可得到对称轴。
(2) 先将点(1,2)、(2,3)代入抛物线E的解析式，列方程组求出a、b的值，将解析式化为顶点式；再根据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后抛物线F的解析式；抛物线F开口向上，区间0≤x≤3内的最值由对称轴和区间的位置关系决定，分两种情况讨论：对称轴在区间右侧、对称轴在区间内，分别求出最高点和最低点的纵坐标，根据高度差为4列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$E:y=ax^2+bx+3$，当$x=0$时，$y=3$，即抛物线过点$(0,3)$，
又已知抛物线过点$(2,3)$，两点纵坐标相等，为抛物线上的对称点，
$\therefore$ 抛物线$E$的对称轴为直线$x=\dfrac{0+2}{2}=1$。
(2) $\because$ 抛物线$E$经过点$(1,2)$，将$(1,2)$、$(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases} a+b+3=2\\ 4a+2b+3=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线$E$的解析式为$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
将抛物线$E$向右平移$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线$F$的解析式为$y=(x-1-m)^2+2$，其开口向上，对称轴为直线$x=1+m$，顶点纵坐标为2。
当$0≤ x≤ 3$时，分情况讨论最值：
① 当$1+m≥3$即$m≥2$时，区间$[0,3]$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore x=0$时$y$取最大值：$(0-1-m)^2+2=(m+1)^2+2$，
$x=3$时$y$取最小值：$(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 - [(2-m)^2+2] =4$，
化简解得$m=\dfrac{7}{6}$，$\because \dfrac{7}{6}＜2$，不符合$m≥2$的前提，舍去；
② 当$0＜1+m＜3$即$0＜m＜2$时，对称轴在区间$[0,3]$内，
$\therefore x=1+m$时$y$取最小值2，
比较区间端点到对称轴的距离可知$x=0$时$y$取最大值：$(m+1)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 -2 =4$，
即$(m+1)^2=4$，解得$m=1$或$m=-3$，
$\because m＞0$且$0＜1＜2$，符合条件，故$m=1$。
【答案】
(1) 直线$\boldsymbol{x=1}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的平移；二次函数区间最值
【点评】
本题侧重考查二次函数性质的综合应用，第一问利用对称点求对称轴可简化计算；第二问核心是结合平移规律得到新抛物线解析式，再根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论最值，解题时要注意验证解是否符合前提条件，舍去无效解。
【难度系数】
0.6
