6.已知点$(-4,y_1),(-3,y_2),(1,y_3)$都在$y=ax^2+4ax+a(a＞0)$的图象上,则下列结论正确的是().

A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

6.D

【分析】
本题考查二次函数的性质应用，解题思路如下：首先由a＞0可知抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；第一步先根据二次函数解析式求出对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步根据距离大小即可比较三个y值的大小，得出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+4ax+a(a＞0)$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中一次项系数$b=4a$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
$\because a＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=-2$的距离越远，对应函数值越大。
计算各点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到$x=-2$的距离：$\vert -4 - (-2)\vert=2$
点$(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$\vert -3 - (-2)\vert=1$
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$\vert 1 - (-2)\vert=3$
$\because 1＜2＜3$，$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数增减性，二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题的核心是抓住开口方向、对称轴与函数值大小的关系，无需代入计算具体函数值，通过比较点到对称轴的距离即可快速得出结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7

7.若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2+5$的图象上，且$0＜x_1＜x_2$，则（）.

A.$5＜y_1＜y_2$
B.$5＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜5$
D.$y_1＜y_2＜5$

7.C

【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题思路如下：第一步先确定该二次函数的开口方向、对称轴及最值；第二步判断已知x的取值范围在对称轴的哪一侧，明确该区间内函数的增减性；第三步结合$x_1$、$x_2$的大小关系，比较对应y值的大小，再与函数最大值对比即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2+5$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,5)$，因此函数的最大值为5，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$0＜x_1＜x_2$，两个点均在对称轴右侧的递减区间内，因此x越大，对应的y值越小，且所有$x＞0$对应的y值均小于最大值5，可得$y_2＜y_1＜5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题核心是准确判断抛物线的开口方向、对称轴以及对应区间的增减性，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8

8.将抛物线$y=2x^2 -4x +3$向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为________（用顶点式表示）。

8.$y=2(x-4)^2-1$

【分析】
要解决二次函数平移求解析式的问题，首先回忆平移规律“左加右减，上加下减”。由于平移只改变二次函数的顶点位置，不改变开口方向和大小，因此先将原二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，确定原顶点坐标，再根据平移要求对顶点式进行对应变换，即可得到平移后的顶点式解析式。
【解析】
1. 将原抛物线解析式化为顶点式
对$y=2x^2-4x+3$进行配方：
先提取二次项系数：$y=2(x^2-2x)+3$
括号内配完全平方：$y=2(x^2-2x+1-1)+3=2[(x-1)^2-1]+3$
整理得原顶点式：$y=2(x-1)^2+1$
2. 根据平移规则变换解析式
向右平移3个单位长度：根据“左加右减”规则，将解析式中的$x$替换为$x-3$，得：
$y=2[(x-3)-1]^2+1=2(x-4)^2+1$
再向下平移2个单位长度：根据“上加下减”规则，在解析式整体末尾减2，得：
$y=2(x-4)^2+1-2=2(x-4)^2-1$
【答案】
$y=2(x-4)^2-1$
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数一般式化顶点式的配方方法，以及平移规律“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”，计算时注意避免混淆左右平移的加减方向。
【难度系数】
0.8

9.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的顶点为M,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=1,OB=OC=3,求CM的长.

9.$\because OA=1$,$OB=OC=3$,$\therefore A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.
把 $A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得$\begin{cases} 0=a-b+c,\\ 0=9a+3b+c,\\ -3=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$,
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore M(1,-4)$.
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴,则 $CD=1$,$MD=1$.$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{2}$.

【分析】
解题时首先根据OA、OB、OC的长度结合坐标轴上点的坐标特征，确定A、B、C三点的坐标；再将三点坐标代入二次函数一般式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，得到二次函数的解析式；接着将解析式配方为顶点式，得到顶点M的坐标；最后过M作y轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算CM的长度即可。
【解析】
$\because OA=1$，$OB=OC=3$，二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于点C（C在y轴负半轴），
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$。
把 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得
$\begin{cases} 0=a-b+c,\\ 0=9a+3b+c,\\ -3=c, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3$，
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\therefore$ 顶点$M$的坐标为$(1,-4)$。
过点 $M$ 作 $MD⊥ y$ 轴于点$D$，则$D(0,-4)$，
可得$CD=|-3-(-4)|=1$，$MD=|1-0|=1$，
在$Rt△ CDM$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数顶点坐标；勾股定理应用
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是先根据线段长度确定坐标轴上的交点坐标，再结合二次函数性质求出顶点坐标，最后用勾股定理计算线段长，考查了二次函数基础知识点的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.7

10.在平面直角坐标系中，点$(2,3)$在抛物线$E:y=ax^2+bx+3$上.
(1)求抛物线$E$的对称轴.
(2)若抛物线$E$经过点$(1,2)$，将抛物线$E$向右平移$m(m＞0)$个单位长度得到抛物线$F$.当$0≤ x≤ 3$时，抛物线$F$上对应最高点与最低点的高度差为4，求$m$的值.

10.(1)$\because$ 抛物线 $E$ 过点$(0,3)$,$(2,3)$,$\therefore$ 抛物线 $E$ 的对称轴为直线 $x=\dfrac{0+2}{2}=1$.
(2)抛物线 $E$ 过点$(1,2)$,$(2,3)$,将点的坐标代入解析式得$\begin{cases} a+b+3=2,\\ 4a+2b+3=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2, \end{cases}$
抛物线 $E$ 的解析式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
将抛物线 $E$ 向右平移 $m$ 个单位长度后得到的抛物线 $F$ 的解析式为 $y=(x-1-m)^2+2$.
当 $0≤ x≤ 3$ 时,抛物线 $F$ 上对应最高点与最低点的高度差为 4,
分情况讨论:
当 $m≥ 2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=3$ 时 $y$ 有最小值$(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$,$\therefore (-1-m)^2+2-(2-m)^2-2=4$,解得 $m=\dfrac{7}{6}$(舍去);
当 $0＜m＜2$ 时,$x=0$ 时 $y$ 有最大值$(0-1-m)^2+2=(-1-m)^2+2$,$x=1+m$ 时 $y$ 有最小值$(1+m-1-m)^2+2=2$,$\therefore (-1-m)^2+2-2=4$,解得 $m=1$ 或 $m=-3$(舍去).
综上所述,$m$ 的值为 1.

【分析】
(1) 求抛物线对称轴时，先观察抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，可得$x=0$时$y=3$，即抛物线过点$(0,3)$，结合已知点$(2,3)$，两点纵坐标相等，关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，即可直接求出对称轴。
(2) 先将已知点$(1,2)$、$(2,3)$代入抛物线E的解析式，解方程组求出$a$、$b$的值，得到E的顶点式；再根据“左加右减”的平移规律，写出平移后抛物线F的解析式；抛物线F开口向上，对称轴为$x=1+m$，在区间$0≤x≤3$内的最值由对称轴和区间的位置关系决定，因此分对称轴在区间右侧、对称轴在区间内两种情况讨论，分别求出对应区间内的最大值和最小值，根据高度差为4列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$E:y=ax^2+bx+3$，当$x=0$时，$y=3$，即抛物线过点$(0,3)$，
又已知抛物线E过点$(2,3)$，两点纵坐标相同，关于对称轴对称，
$\therefore$ 抛物线E的对称轴为直线$x=\dfrac{0+2}{2}=1$。
(2) $\because$ 抛物线E经过点$(1,2)$、$(2,3)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} a+b+3=2\\ 4a+2b+3=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线E的解析式为$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
将抛物线E向右平移$m(m＞0)$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，得到抛物线F的解析式为：
$y=(x-1-m)^2+2$，开口向上，对称轴为直线$x=1+m$，顶点坐标为$(1+m,2)$。
当$0≤x≤3$时，最高点与最低点高度差为4，分情况讨论：
① 当$1+m≥3$，即$m≥2$时：
在$0≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=0$时，$y$取最大值：$y_{\mathrm{max}}=(0-1-m)^2+2=(m+1)^2+2$，
当$x=3$时，$y$取最小值：$y_{\mathrm{min}}=(3-1-m)^2+2=(2-m)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 - [(2-m)^2+2] =4$，
化简得$6m-3=4$，解得$m=\dfrac{7}{6}$，
$\because \dfrac{7}{6}＜2$，不符合$m≥2$的前提，舍去；
② 当$0＜1+m＜3$，即$0＜m＜2$时：
在$0≤x≤3$范围内，顶点在区间内，此时$y$的最小值为顶点纵坐标2，
离对称轴更远的端点为$x=0$，因此当$x=0$时$y$取最大值：$y_{\mathrm{max}}=(0-1-m)^2+2=(m+1)^2+2$，
由高度差为4得：$(m+1)^2+2 - 2 =4$，
即$(m+1)^2=4$，解得$m=1$或$m=-3$，
$\because m＞0$且$0＜m＜2$，$\therefore m=-3$舍去，保留$m=1$。
综上，$m$的值为1。
【答案】
(1) 直线$x=1$；(2) $m=1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的平移；二次函数区间最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是利用对称性快速求对称轴，根据平移规律正确写出平移后的解析式，同时要结合对称轴与给定区间的位置关系分类讨论求解最值，求出解后要注意检验是否符合对应的取值范围，避免错解。
【难度系数】
0.6