登录
1.某超市1月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为y万元，如果平均每月增长率为x，那么y与x之间的函数解析式是(
A.$y=200(1+x)^2$
B.$y=200+200×2x$
C.$y=200+200×3x$
D.$y=200[1+(1+x)+(1+x)^2]$
D
).A.$y=200(1+x)^2$
B.$y=200+200×2x$
C.$y=200+200×3x$
D.$y=200[1+(1+x)+(1+x)^2]$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月，总营业额为三个月营业额之和。已知1月营业额和月平均增长率，按照增长率的计算规律依次求出2月、3月的营业额，再将三个月营业额相加整理，即可得到y与x的函数解析式，最后匹配对应选项。
【解析】
首先计算各月的营业额：
1. 1月份营业额已知为200万元；
2. 因为平均每月增长率为x，所以2月份营业额是1月份的$(1+x)$倍，即$200(1+x)$万元；
3. 3月份营业额是2月份的$(1+x)$倍，即$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元。
第一季度总营业额y为三个月营业额之和：
$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$
提取公因式200整理得：
$y = 200[1 + (1+x) + (1+x)^2]$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题、根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的核心是不要混淆单月营业额和总营业额，注意第一季度是三个月的营业额总和，避免误将3月份的营业额当成第一季度总营业额。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确第一季度包含1月、2月、3月，总营业额为三个月营业额之和。已知1月营业额和月平均增长率，按照增长率的计算规律依次求出2月、3月的营业额，再将三个月营业额相加整理，即可得到y与x的函数解析式，最后匹配对应选项。
【解析】
首先计算各月的营业额：
1. 1月份营业额已知为200万元；
2. 因为平均每月增长率为x，所以2月份营业额是1月份的$(1+x)$倍，即$200(1+x)$万元；
3. 3月份营业额是2月份的$(1+x)$倍，即$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元。
第一季度总营业额y为三个月营业额之和：
$y = 200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2$
提取公因式200整理得：
$y = 200[1 + (1+x) + (1+x)^2]$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题、根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的核心是不要混淆单月营业额和总营业额，注意第一季度是三个月的营业额总和，避免误将3月份的营业额当成第一季度总营业额。
【难度系数】
0.7
2.某商品的原价为100元，经过两次降价，设两次降价后的价格为y元，平均每次降价的百分率为x，则y与x之间的函数解析式为(
A.$y=100(1+x)^2$
B.$y=100(1-x)^2$
C.$y=200(1-x)^2$
D.$y=200(1+x)^2$
B
).A.$y=100(1+x)^2$
B.$y=100(1-x)^2$
C.$y=200(1-x)^2$
D.$y=200(1+x)^2$
答案
2.B
解析
【分析】
这是平均变化率类的实际问题，解题思路如下：第一步先明确降价的计算规则，每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)；第二步先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数，计算第二次降价后的价格，最终就能得到y与x的函数关系式，再匹配选项即可。
【解析】
已知商品原价为100元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，商品的价格为：$100(1-x)$ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为：
$y = 100(1-x) × (1-x) = 100(1-x)^2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
百分率问题，二次函数实际应用
【点评】
本题是百分率变化的基础应用题，解题核心是明确每次价格变化的基数是上一次变化后的价格，同时注意降价时用(1-x)，涨价时用(1+x)，避免符号混淆。
【难度系数】
0.9
这是平均变化率类的实际问题，解题思路如下：第一步先明确降价的计算规则，每次降价后的价格=降价前的价格×(1-降价百分率)；第二步先计算第一次降价后的价格，再以第一次降价后的价格为基数，计算第二次降价后的价格，最终就能得到y与x的函数关系式，再匹配选项即可。
【解析】
已知商品原价为100元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，商品的价格为：$100(1-x)$ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为：
$y = 100(1-x) × (1-x) = 100(1-x)^2$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
百分率问题，二次函数实际应用
【点评】
本题是百分率变化的基础应用题，解题核心是明确每次价格变化的基数是上一次变化后的价格，同时注意降价时用(1-x)，涨价时用(1+x)，避免符号混淆。
【难度系数】
0.9
3.某商品现在的售价为每件50元,每星期可卖出90件.市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖出15件.已知商品的进价为每件30元,设每件降价x元,每星期售出商品的利润为y元,则y与x之间的函数解析式为(
A.$y=(50-x)(90+15x)-30x$
B.$y=(50-30-x)(90+15x)$
C.$y=(50-30-x)(90-15x)$
D.$y=(50-x)(90-15x)-30x$
B
).A.$y=(50-x)(90+15x)-30x$
B.$y=(50-30-x)(90+15x)$
C.$y=(50-30-x)(90-15x)$
D.$y=(50-x)(90-15x)-30x$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆销售问题中总利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们只需要分别求出降价x元后的单件利润和对应销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式，进而匹配正确选项。首先算单件利润：商品原售价50元，降价x元后售价为(50-x)元，扣除每件30元的进价，就能得到单件利润；再算销售量：原本每星期卖90件，每降价1元多卖15件，降价x元就会多卖15x件，即可得到总销售量。
【解析】
根据销售问题的等量关系：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销售数量}$
1. 计算降价x元后的单件利润：
单件利润 = 降价后的售价 - 进价 = $(50 - x) - 30 = (50 - 30 - x)$ 元
2. 计算降价x元后的总销售量：
总销售量 = 原销售量 + 降价增加的销售量 = $90 + 15x$ 件
3. 代入总利润公式得：
$y=(50-30-x)(90+15x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数解析式
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是牢牢掌握总利润的计算逻辑，准确梳理售价、进价、销量随降价的变化规律，避免将单件成本的扣除错算为总成本的单独扣除即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆销售问题中总利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们只需要分别求出降价x元后的单件利润和对应销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式，进而匹配正确选项。首先算单件利润：商品原售价50元，降价x元后售价为(50-x)元，扣除每件30元的进价，就能得到单件利润；再算销售量：原本每星期卖90件，每降价1元多卖15件，降价x元就会多卖15x件，即可得到总销售量。
【解析】
根据销售问题的等量关系：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销售数量}$
1. 计算降价x元后的单件利润：
单件利润 = 降价后的售价 - 进价 = $(50 - x) - 30 = (50 - 30 - x)$ 元
2. 计算降价x元后的总销售量：
总销售量 = 原销售量 + 降价增加的销售量 = $90 + 15x$ 件
3. 代入总利润公式得：
$y=(50-30-x)(90+15x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数解析式
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是牢牢掌握总利润的计算逻辑，准确梳理售价、进价、销量随降价的变化规律，避免将单件成本的扣除错算为总成本的单独扣除即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.公安部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量,该品牌头盔7月份销售1500个,9月份销售y个,设7月份到9月份销售量的月增长率为x,那么y关于x的函数解析式是
$y=1\ 500(1+x)^2$
.答案
4.$y=1\ 500(1+x)^2$
解析
【分析】
本题考查平均增长率相关的函数解析式求解，解题思路如下：首先明确初始销量是7月份的1500个，月增长率为x，从7月到9月共经历2次增长。第一步先计算8月份的销量，即7月销量乘以(1+月增长率)；第二步再以8月销量为基础，乘以(1+月增长率)得到9月的销量，最终整理得到y关于x的函数解析式。
【解析】
已知7月份头盔销量为1500个，7月到9月销售量的月增长率为x：
1. 计算8月份的销量：8月销量 = 7月销量×(1+月增长率) = $1500(1+x)$ 个；
2. 计算9月份的销量：9月销量 = 8月销量×(1+月增长率) = $1500(1+x) · (1+x) = 1500(1+x)^2$ 个；
因此y关于x的函数解析式为$y=1500(1+x)^2$。
【答案】
$y=1500(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；二次函数实际应用；列函数解析式
【点评】
本题是实际生活中常见的增长率类基础题型，解题核心是掌握连续增长的数量关系：经过n次增长后的总量=初始量×(1+增长率)ⁿ，本题中从7月到9月共经过2次增长，对应n=2，掌握该公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查平均增长率相关的函数解析式求解，解题思路如下：首先明确初始销量是7月份的1500个，月增长率为x，从7月到9月共经历2次增长。第一步先计算8月份的销量，即7月销量乘以(1+月增长率)；第二步再以8月销量为基础，乘以(1+月增长率)得到9月的销量，最终整理得到y关于x的函数解析式。
【解析】
已知7月份头盔销量为1500个，7月到9月销售量的月增长率为x：
1. 计算8月份的销量：8月销量 = 7月销量×(1+月增长率) = $1500(1+x)$ 个；
2. 计算9月份的销量：9月销量 = 8月销量×(1+月增长率) = $1500(1+x) · (1+x) = 1500(1+x)^2$ 个；
因此y关于x的函数解析式为$y=1500(1+x)^2$。
【答案】
$y=1500(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；二次函数实际应用；列函数解析式
【点评】
本题是实际生活中常见的增长率类基础题型，解题核心是掌握连续增长的数量关系：经过n次增长后的总量=初始量×(1+增长率)ⁿ，本题中从7月到9月共经过2次增长，对应n=2，掌握该公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5.某产品进货单价为每件90元，按每件100元出售时，能售出500件.若每件涨价1元，则销售量就减少10件.求该产品能获得的最大利润.
答案
5.设单价为 $x$ 元/件,总利润为 $W$ 元,
则可得销量为$[500-10(x-100)]$件,单件利润为$(x-90)$元,
由题意得 $W=(x-90)[500-10(x-100)]=-10(x-120)^2+9\ 000,$
故可得当 $x=120$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000$ 元.
则可得销量为$[500-10(x-100)]$件,单件利润为$(x-90)$元,
由题意得 $W=(x-90)[500-10(x-100)]=-10(x-120)^2+9\ 000,$
故可得当 $x=120$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000$ 元.
解析
【分析】
解决利润最大化问题的核心是利用“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系建立函数模型。首先可设售价为自变量，分别用含自变量的代数式表示出单件利润和销售总量，再列出总利润关于售价的函数关系式，本题得到的是开口向下的二次函数，顶点处即为函数的最大值点，最后计算顶点对应的函数值即可得到最大利润。
【解析】
设该产品的售价为$x$元/件，总利润为$W$元。
由题意得：单件利润为$(x-90)$元，
因为售价每涨1元销量减少10件，因此销量为$[500-10(x-100)]$件，
根据总利润公式列函数式：
$\begin{aligned}W&=(x-90)[500-10(x-100)]\\&=(x-90)(1500-10x)\\&=-10x^2+2400x-135000\\&=-10(x-120)^2+9000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数图像开口向下，
$\therefore$当$x=120$时，$W$取得最大值，最大值为$9000$元。
【答案】
该产品能获得的最大利润为$9000$元。
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的常规题型，解题关键是准确梳理单价、销量、利润之间的数量关系，正确建立二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
解决利润最大化问题的核心是利用“总利润=单件利润×销售总量”的等量关系建立函数模型。首先可设售价为自变量，分别用含自变量的代数式表示出单件利润和销售总量，再列出总利润关于售价的函数关系式，本题得到的是开口向下的二次函数，顶点处即为函数的最大值点，最后计算顶点对应的函数值即可得到最大利润。
【解析】
设该产品的售价为$x$元/件，总利润为$W$元。
由题意得：单件利润为$(x-90)$元，
因为售价每涨1元销量减少10件，因此销量为$[500-10(x-100)]$件，
根据总利润公式列函数式：
$\begin{aligned}W&=(x-90)[500-10(x-100)]\\&=(x-90)(1500-10x)\\&=-10x^2+2400x-135000\\&=-10(x-120)^2+9000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数图像开口向下，
$\therefore$当$x=120$时，$W$取得最大值，最大值为$9000$元。
【答案】
该产品能获得的最大利润为$9000$元。
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值问题的常规题型，解题关键是准确梳理单价、销量、利润之间的数量关系，正确建立二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
6.某种产品的成本为30元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售量$ y $（单位：kg）与销售价$ x $（单位：元/kg）有如下关系：$ y=-2x+80 $。设这种产品每天的销售利润为$ w $（单位：元），则$ w $与$ x $之间的函数解析式为(
A.$ w=(x-30)(-2x+80) $
B.$ w=x(-2x+80) $
C.$ w=30(-2x+80) $
D.$ w=x(-2x+50) $
A
).A.$ w=(x-30)(-2x+80) $
B.$ w=x(-2x+80) $
C.$ w=30(-2x+80) $
D.$ w=x(-2x+50) $
答案
6.A
解析
【分析】
要推导w与x的函数解析式，首先回忆销售总利润的计算逻辑：总利润等于每单位商品的利润乘以总销售量。第一步先计算每千克产品的利润，已知成本为30元/kg，销售价为x元/kg，所以每千克利润为（x-30）元；第二步明确总销售量，题目已给出销售量y与销售价x的关系为y=-2x+80；第三步将单位利润和销售量相乘，即可得到总利润w的表达式。
【解析】
根据销售利润的基本等量关系：$\mathrm{总利润}=\mathrm{每千克利润} × \mathrm{销售量}$
已知每千克成本为30元，销售价为x元，因此每千克利润为：$x-30$（元）
又已知销售量$y=-2x+80$（kg）
因此总利润$w = (x-30)y = (x-30)(-2x+80)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、列函数解析式
【点评】
本题属于销售类基础应用题，核心是牢记利润的基本等量关系，准确对应题目给出的售价、成本、销售量等数据代入即可求解。
【难度系数】
0.9
要推导w与x的函数解析式，首先回忆销售总利润的计算逻辑：总利润等于每单位商品的利润乘以总销售量。第一步先计算每千克产品的利润，已知成本为30元/kg，销售价为x元/kg，所以每千克利润为（x-30）元；第二步明确总销售量，题目已给出销售量y与销售价x的关系为y=-2x+80；第三步将单位利润和销售量相乘，即可得到总利润w的表达式。
【解析】
根据销售利润的基本等量关系：$\mathrm{总利润}=\mathrm{每千克利润} × \mathrm{销售量}$
已知每千克成本为30元，销售价为x元，因此每千克利润为：$x-30$（元）
又已知销售量$y=-2x+80$（kg）
因此总利润$w = (x-30)y = (x-30)(-2x+80)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、列函数解析式
【点评】
本题属于销售类基础应用题，核心是牢记利润的基本等量关系，准确对应题目给出的售价、成本、销售量等数据代入即可求解。
【难度系数】
0.9
7.某商店经销一种跳绳，已知跳绳的成本价为每个60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量$y$(单位:个)与销售单价$x$(单位:元)有如下关系：$y=-2x+220(60≤ x≤ 100)$，当该种跳绳销售单价定为
85
元时，每天的销售利润最大。答案
7.85
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的核心计算公式：总利润=单个商品的利润×销售量。首先用销售单价x减去成本价得到单个跳绳的利润，再结合给出的销售量y与x的关系式，即可列出总利润关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，结合x的取值范围，就能求出利润最大时对应的销售单价。
【解析】
设每天的销售利润为$w$元。
单个跳绳的利润为$(x-60)$元，已知销售量$y=-2x+220(60≤ x≤100)$，根据总利润公式可得：
$w=(x-60)y$
$=(x-60)(-2x+220)$
展开整理得：
$w=-2x^2+340x-13200$
该函数为二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$、$b=340$计算：
$x=-\frac{340}{2×(-2)}=85$
验证可知$85$在$60≤ x≤100$的取值范围内，因此当销售单价定为85元时，每天的销售利润最大。
【答案】
85
【知识点】
销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的常规应用，解题的关键是正确建立利润关于销售单价的函数关系式，再结合二次函数的性质求解，同时要注意验证自变量的取值范围是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的核心计算公式：总利润=单个商品的利润×销售量。首先用销售单价x减去成本价得到单个跳绳的利润，再结合给出的销售量y与x的关系式，即可列出总利润关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，结合x的取值范围，就能求出利润最大时对应的销售单价。
【解析】
设每天的销售利润为$w$元。
单个跳绳的利润为$(x-60)$元，已知销售量$y=-2x+220(60≤ x≤100)$，根据总利润公式可得：
$w=(x-60)y$
$=(x-60)(-2x+220)$
展开整理得：
$w=-2x^2+340x-13200$
该函数为二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$、$b=340$计算：
$x=-\frac{340}{2×(-2)}=85$
验证可知$85$在$60≤ x≤100$的取值范围内，因此当销售单价定为85元时，每天的销售利润最大。
【答案】
85
【知识点】
销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的常规应用，解题的关键是正确建立利润关于销售单价的函数关系式，再结合二次函数的性质求解，同时要注意验证自变量的取值范围是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
