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8.某商店经营一种水产品，成本为 40 元/kg，据市场分析，按 50 元/kg 销售，一个月能售出 500 kg；销售单价每涨 1 元/kg，月销售量就减少 10 kg.针对这种水产品的销售情况，求能获得的最大利润.
答案
8.设销售单位为 $x$ 元/kg,利润为 $W$ 元.
由题意得 $W=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1\ 400x-40\ 000=-10(x-70)^2+9\ 000.$
当 $x=70$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000.$
最大利润为 $9\ 000$ 元.
由题意得 $W=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1\ 400x-40\ 000=-10(x-70)^2+9\ 000.$
当 $x=70$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000.$
最大利润为 $9\ 000$ 元.
解析
【分析】
解决这类利润类实际问题，首先要牢记核心公式：总利润=（单位售价-单位成本）×销售总量。解题时第一步先设定变量，分别表示出单位利润和销售总量两个核心量：单位利润可直接用售价减成本得到；销售总量需要结合售价的涨幅计算，已知原售价50元时销量500kg，每涨1元销量减少10kg，售价为x元时相比原价涨了(x-50)元，即可得到对应销量。将两个量相乘得到利润关于售价的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处即为最大值，通过配方或顶点公式求出最值即可，同时注意自变量取值要符合实际意义，本题顶点横坐标在合理范围内，可直接计算。
【解析】
解：设销售单价为$x$元/kg，获得的月利润为$W$元。
由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\\&=-10(x-70)^2+9000\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=70$时，$W$取得最大值，最大值为9000元。
【答案】
能获得的最大利润为9000元。
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值求法
【点评】
本题是二次函数解决实际销售问题的典型题型，解题核心是找准数量关系正确列出函数解析式，再结合二次函数图象性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合现实销售的逻辑。
【难度系数】
0.7
解决这类利润类实际问题，首先要牢记核心公式：总利润=（单位售价-单位成本）×销售总量。解题时第一步先设定变量，分别表示出单位利润和销售总量两个核心量：单位利润可直接用售价减成本得到；销售总量需要结合售价的涨幅计算，已知原售价50元时销量500kg，每涨1元销量减少10kg，售价为x元时相比原价涨了(x-50)元，即可得到对应销量。将两个量相乘得到利润关于售价的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处即为最大值，通过配方或顶点公式求出最值即可，同时注意自变量取值要符合实际意义，本题顶点横坐标在合理范围内，可直接计算。
【解析】
解：设销售单价为$x$元/kg，获得的月利润为$W$元。
由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\\&=-10(x-70)^2+9000\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=70$时，$W$取得最大值，最大值为9000元。
【答案】
能获得的最大利润为9000元。
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值求法
【点评】
本题是二次函数解决实际销售问题的典型题型，解题核心是找准数量关系正确列出函数解析式，再结合二次函数图象性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合现实销售的逻辑。
【难度系数】
0.7
9.为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在$360\ \mathrm{m}^2$的绿化带上全部种植甲、乙两种花卉.经市场调查发现:甲种花卉种植费用$y$(单位:元/$\mathrm{m}^2$)与种植面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/$\mathrm{m}^2$.
(1)当$0＜x≤90$时,写出$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)若要求甲种花卉种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍.
①如何分配两种花卉的种植面积使种植的总费用$w$(单位:元)最低?最低费用是多少?
②受资金的限制,种植总费用不超过6 000元,求出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
(1)当$0＜x≤90$时,写出$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)若要求甲种花卉种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍.
①如何分配两种花卉的种植面积使种植的总费用$w$(单位:元)最低?最低费用是多少?
②受资金的限制,种植总费用不超过6 000元,求出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
答案
9.(1)当 $0＜x≤40$ 时 $y=30.$
当 $40＜x≤100$ 时,设函数关系式为 $y=kx+b.$
$\because$ 线段过点$(40,30),(100,15),$
$\therefore \begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40.\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=\begin{cases}30(0＜x≤40),\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90).\end{cases}$
(2)由题意得 $x≥30$ 且 $360-x≥3x,\therefore 30≤ x≤90.$
①当 $30≤ x≤40$ 时,由(1)知 $y=30,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x+5\ 400,$ 当 $x=30$ 时,$w_{\min}=5\ 850;$
当 $40＜x≤90$ 时,由(1)知 $y=-\dfrac{1}{4}x+40,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$ 当 $x=90$ 时,$w_{\min}=5\ 625.$
$\because 5\ 850＞5\ 625,\therefore$ 种植甲种花卉 $90\ \mathrm{m}^2$,乙种花卉 $270\ \mathrm{m}^2$ 时,种植的总费用最低,为 $5\ 625$ 元.
②当 $30≤ x≤40$ 时,由①知,$w=15x+5\ 400,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore 15x+5\ 400≤6\ 000,$
解得 $x≤40$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40;$
当 $40＜x≤90$ 时,由①知,$w=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore -\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025≤6\ 000,$
解得 $x≤40$(不符合题意,舍去)或 $x≥60$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $60≤ x≤90.$
综上所述,满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40$ 或 $60≤ x≤90.$
当 $40＜x≤100$ 时,设函数关系式为 $y=kx+b.$
$\because$ 线段过点$(40,30),(100,15),$
$\therefore \begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40.\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=\begin{cases}30(0＜x≤40),\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90).\end{cases}$
(2)由题意得 $x≥30$ 且 $360-x≥3x,\therefore 30≤ x≤90.$
①当 $30≤ x≤40$ 时,由(1)知 $y=30,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x+5\ 400,$ 当 $x=30$ 时,$w_{\min}=5\ 850;$
当 $40＜x≤90$ 时,由(1)知 $y=-\dfrac{1}{4}x+40,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$ 当 $x=90$ 时,$w_{\min}=5\ 625.$
$\because 5\ 850＞5\ 625,\therefore$ 种植甲种花卉 $90\ \mathrm{m}^2$,乙种花卉 $270\ \mathrm{m}^2$ 时,种植的总费用最低,为 $5\ 625$ 元.
②当 $30≤ x≤40$ 时,由①知,$w=15x+5\ 400,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore 15x+5\ 400≤6\ 000,$
解得 $x≤40$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40;$
当 $40＜x≤90$ 时,由①知,$w=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore -\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025≤6\ 000,$
解得 $x≤40$(不符合题意,舍去)或 $x≥60$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $60≤ x≤90.$
综上所述,满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40$ 或 $60≤ x≤90.$
解析
【分析】
本题考查函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求解第一问的函数解析式：观察图像可知函数为分段函数，$0＜x≤40$时$y$恒为30；$40＜x≤100$时为一次函数，代入端点坐标$(40,30)$和$(100,15)$求出解析式，结合题目要求的$x≤90$调整定义域即可。
2. 先确定自变量$x$的取值范围：根据“甲种植面积不少于30$\mathrm{m}^2$”得$x≥30$，根据“乙种植面积不低于甲的3倍”得$360-x≥3x$，联立得$30≤x≤90$。
3. 求最低总费用：分$30≤x≤40$和$40＜x≤90$两个区间，分别写出总费用$w$的表达式，前者是递增一次函数，取$x$最小值得最小$w$；后者是开口向下的二次函数，在区间内取离对称轴最远的端点得最小$w$，比较两个最小值得到最终结果。
4. 求总费用不超过6000元时$x$的范围：同样分两个区间解$w≤6000$的不等式，结合各区间定义域取舍解，最后合并范围即可。
【解析】
(1) 分情况求解析式：
当$0＜x≤40$时，由图像可得$y=30$；
当$40＜x≤100$时，设函数关系式为$y=kx+b$，将$(40,30)$、$(100,15)$代入得：
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$，
结合题目$0＜x≤90$的要求，得函数解析式为：
$y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) 先确定$x$的取值范围：由题意得$\begin{cases}x≥30\\360-x≥3x\end{cases}$，解得$30≤ x≤90$。
① 分区间求总费用最小值：
当$30≤ x≤40$时，$y=30$，总费用$w=30x+15(360-x)=15x+5400$，
$\because 15＞0$，$w$随$x$增大而增大，$\therefore x=30$时，$w_{\mathrm{min}}=15×30+5400=5850$元；
当$40＜x≤90$时，$y=-\dfrac{1}{4}x+40$，总费用$w=(-\dfrac{1}{4}x+40)x+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025$，
$\because$ 抛物线开口向下，在$(40,90]$内$x$离对称轴$x=50$越远$w$越小，$\therefore x=90$时，$w_{\mathrm{min}}=5625$元；
$\because 5850＞5625$，因此甲种植$90\ \mathrm{m}^2$、乙种植$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低。
② 分区间解不等式$w≤6000$：
当$30≤ x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，即$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025≤6000$，解得$x≤40$（舍去）或$x≥60$，即$60≤x≤90$；
综上得$x$的取值范围。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) ① 种植甲种花卉$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低，最低费用为5625元；
② $30≤ x≤40$或$60≤ x≤90$
【知识点】
分段函数求解；函数最值计算；不等式实际应用
【点评】
本题结合民生实际场景考查函数性质的应用，解题核心是根据自变量范围分情况讨论，求解最值和不等式时要注意结合定义域取舍结果，避免忽略范围出现错解。
【难度系数】
0.6
本题考查函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求解第一问的函数解析式：观察图像可知函数为分段函数，$0＜x≤40$时$y$恒为30；$40＜x≤100$时为一次函数，代入端点坐标$(40,30)$和$(100,15)$求出解析式，结合题目要求的$x≤90$调整定义域即可。
2. 先确定自变量$x$的取值范围：根据“甲种植面积不少于30$\mathrm{m}^2$”得$x≥30$，根据“乙种植面积不低于甲的3倍”得$360-x≥3x$，联立得$30≤x≤90$。
3. 求最低总费用：分$30≤x≤40$和$40＜x≤90$两个区间，分别写出总费用$w$的表达式，前者是递增一次函数，取$x$最小值得最小$w$；后者是开口向下的二次函数，在区间内取离对称轴最远的端点得最小$w$，比较两个最小值得到最终结果。
4. 求总费用不超过6000元时$x$的范围：同样分两个区间解$w≤6000$的不等式，结合各区间定义域取舍解，最后合并范围即可。
【解析】
(1) 分情况求解析式：
当$0＜x≤40$时，由图像可得$y=30$；
当$40＜x≤100$时，设函数关系式为$y=kx+b$，将$(40,30)$、$(100,15)$代入得：
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$，
结合题目$0＜x≤90$的要求，得函数解析式为：
$y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) 先确定$x$的取值范围：由题意得$\begin{cases}x≥30\\360-x≥3x\end{cases}$，解得$30≤ x≤90$。
① 分区间求总费用最小值：
当$30≤ x≤40$时，$y=30$，总费用$w=30x+15(360-x)=15x+5400$，
$\because 15＞0$，$w$随$x$增大而增大，$\therefore x=30$时，$w_{\mathrm{min}}=15×30+5400=5850$元；
当$40＜x≤90$时，$y=-\dfrac{1}{4}x+40$，总费用$w=(-\dfrac{1}{4}x+40)x+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025$，
$\because$ 抛物线开口向下，在$(40,90]$内$x$离对称轴$x=50$越远$w$越小，$\therefore x=90$时，$w_{\mathrm{min}}=5625$元；
$\because 5850＞5625$，因此甲种植$90\ \mathrm{m}^2$、乙种植$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低。
② 分区间解不等式$w≤6000$：
当$30≤ x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，即$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025≤6000$，解得$x≤40$（舍去）或$x≥60$，即$60≤x≤90$；
综上得$x$的取值范围。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) ① 种植甲种花卉$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低，最低费用为5625元；
② $30≤ x≤40$或$60≤ x≤90$
【知识点】
分段函数求解；函数最值计算；不等式实际应用
【点评】
本题结合民生实际场景考查函数性质的应用，解题核心是根据自变量范围分情况讨论，求解最值和不等式时要注意结合定义域取舍结果，避免忽略范围出现错解。
【难度系数】
0.6
