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8.某商店经营一种水产品，成本为 40 元/kg，据市场分析，按 50 元/kg 销售，一个月能售出 500 kg；销售单价每涨 1 元/kg，月销售量就减少 10 kg.针对这种水产品的销售情况，求能获得的最大利润.
答案
8.设销售单位为 $x$ 元/kg,利润为 $W$ 元.
由题意得 $W=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1\ 400x-40\ 000=-10(x-70)^2+9\ 000.$
当 $x=70$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000.$
最大利润为 $9\ 000$ 元.
由题意得 $W=(x-40)[500-10(x-50)]=-10x^2+1\ 400x-40\ 000=-10(x-70)^2+9\ 000.$
当 $x=70$ 时,$W$ 取得最大,为 $9\ 000.$
最大利润为 $9\ 000$ 元.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决销售利润的实际问题，解题思路如下：1. 牢记利润问题核心等量关系：总利润=每千克利润×销售量；2. 设销售单价为自变量x，总利润为因变量W，先表示单利：单利=售价-成本，即$(x-40)$元/kg；3. 再表示销售量：售价从50元涨到x元时，涨幅为$(x-50)$元，每涨1元销量减少10kg，因此总减少销量为$10(x-50)$kg，实际销量为原有500kg减去减少的销量；4. 将单利和销量代入总利润公式得到二次函数解析式，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方法即可求出最大利润。
【解析】
设销售单价为$x$元/kg，月利润为$W$元。
由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\\&=-10(x-70)^2+9000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore W$存在最大值，当$x=70$时，$W$的最大值为9000元。
【答案】
能获得的最大利润为9000元。
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，二次函数的最值
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题目，解题核心是结合题意找准数量关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决销售利润的实际问题，解题思路如下：1. 牢记利润问题核心等量关系：总利润=每千克利润×销售量；2. 设销售单价为自变量x，总利润为因变量W，先表示单利：单利=售价-成本，即$(x-40)$元/kg；3. 再表示销售量：售价从50元涨到x元时，涨幅为$(x-50)$元，每涨1元销量减少10kg，因此总减少销量为$10(x-50)$kg，实际销量为原有500kg减去减少的销量；4. 将单利和销量代入总利润公式得到二次函数解析式，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方法即可求出最大利润。
【解析】
设销售单价为$x$元/kg，月利润为$W$元。
由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)[500-10(x-50)]\\&=(x-40)(1000-10x)\\&=-10x^2+1400x-40000\\&=-10(x-70)^2+9000\end{aligned}$
$\because -10＜0$，$\therefore W$存在最大值，当$x=70$时，$W$的最大值为9000元。
【答案】
能获得的最大利润为9000元。
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，二次函数的最值
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题目，解题核心是结合题意找准数量关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9.为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在$360\ \mathrm{m}^2$的绿化带上全部种植甲、乙两种花卉.经市场调查发现:甲种花卉种植费用$y$(单位:元/$\mathrm{m}^2$)与种植面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/$\mathrm{m}^2$.
(1)当$0＜x≤90$时,写出$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)若要求甲种花卉种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍.
①如何分配两种花卉的种植面积使种植的总费用$w$(单位:元)最低?最低费用是多少?
②受资金的限制,种植总费用不超过6 000元,求出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
(1)当$0＜x≤90$时,写出$y$与$x$之间的函数解析式.
(2)若要求甲种花卉种植面积不少于$30\ \mathrm{m}^2$,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍.
①如何分配两种花卉的种植面积使种植的总费用$w$(单位:元)最低?最低费用是多少?
②受资金的限制,种植总费用不超过6 000元,求出甲种花卉种植面积$x$的取值范围.
答案
9.(1)当 $0＜x≤40$ 时 $y=30.$
当 $40＜x≤100$ 时,设函数关系式为 $y=kx+b.$
$\because$ 线段过点$(40,30),(100,15),$
$\therefore \begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40.\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=\begin{cases}30(0＜x≤40),\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90).\end{cases}$
(2)由题意得 $x≥30$ 且 $360-x≥3x,\therefore 30≤ x≤90.$
①当 $30≤ x≤40$ 时,由(1)知 $y=30,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x+5\ 400,$ 当 $x=30$ 时,$w_{\min}=5\ 850;$
当 $40＜x≤90$ 时,由(1)知 $y=-\dfrac{1}{4}x+40,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$ 当 $x=90$ 时,$w_{\min}=5\ 625.$
$\because 5\ 850＞5\ 625,\therefore$ 种植甲种花卉 $90\ \mathrm{m}^2$,乙种花卉 $270\ \mathrm{m}^2$ 时,种植的总费用最低,为 $5\ 625$ 元.
②当 $30≤ x≤40$ 时,由①知,$w=15x+5\ 400,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore 15x+5\ 400≤6\ 000,$
解得 $x≤40$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40;$
当 $40＜x≤90$ 时,由①知,$w=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore -\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025≤6\ 000,$
解得 $x≤40$(不符合题意,舍去)或 $x≥60$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $60≤ x≤90.$
综上所述,满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40$ 或 $60≤ x≤90.$
当 $40＜x≤100$ 时,设函数关系式为 $y=kx+b.$
$\because$ 线段过点$(40,30),(100,15),$
$\therefore \begin{cases}40k+b=30,\\100k+b=15,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=40.\end{cases}$
$\therefore$ 函数解析式为 $y=\begin{cases}30(0＜x≤40),\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90).\end{cases}$
(2)由题意得 $x≥30$ 且 $360-x≥3x,\therefore 30≤ x≤90.$
①当 $30≤ x≤40$ 时,由(1)知 $y=30,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x+5\ 400,$ 当 $x=30$ 时,$w_{\min}=5\ 850;$
当 $40＜x≤90$ 时,由(1)知 $y=-\dfrac{1}{4}x+40,$
$\therefore w=yx+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$ 当 $x=90$ 时,$w_{\min}=5\ 625.$
$\because 5\ 850＞5\ 625,\therefore$ 种植甲种花卉 $90\ \mathrm{m}^2$,乙种花卉 $270\ \mathrm{m}^2$ 时,种植的总费用最低,为 $5\ 625$ 元.
②当 $30≤ x≤40$ 时,由①知,$w=15x+5\ 400,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore 15x+5\ 400≤6\ 000,$
解得 $x≤40$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40;$
当 $40＜x≤90$ 时,由①知,$w=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025,$
$\because$ 种植总费用不超过 $6\ 000$ 元,$\therefore -\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6\ 025≤6\ 000,$
解得 $x≤40$(不符合题意,舍去)或 $x≥60$,即满足条件的 $x$ 的范围为 $60≤ x≤90.$
综上所述,满足条件的 $x$ 的范围为 $30≤ x≤40$ 或 $60≤ x≤90.$
解析
【分析】
本题为函数与不等式结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 观察图像可知y为分段函数：0＜x≤40时y为定值30；40＜x≤90时为一次函数，代入已知两点坐标即可求出解析式，分情况写出即可。
(2) 先根据限制条件求x的取值范围：由甲种植面积不少于30m²得x≥30，乙种植面积不低于甲的3倍得360-x≥3x，解得x≤90，即x范围为30≤x≤90。
① 分30≤x≤40和40＜x≤90两段分别写出总费用w关于x的函数解析式，根据函数增减性分别求两段的最小值，比较后即可得到最低费用和对应的种植面积分配。
② 同样分两段，令总费用w≤6000，解不等式后结合对应x的取值范围取有效解，合并后得到符合要求的x的取值范围。
【解析】
(1) 分情况讨论：
当$0＜x≤40$时，由图像可得$y=30$；
当$40＜x≤90$时，设函数解析式为$y=kx+b$，
∵图像过点$(40,30)$、$(100,15)$，代入得：
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$
即此时$y=-\dfrac{1}{4}x+40$。
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$。
(2) 根据题意列不等式：
$x≥30$且$360-x≥3x$，解得$30≤x≤90$。
① 分两段求总费用最小值：
当$30≤x≤40$时，$w=30x+15(360-x)=15x+5400$，
∵$15＞0$，w随x增大而增大，
∴当$x=30$时，$w_{\mathrm{min}}=15×30+5400=5850$元；
当$40＜x≤90$时，$w=(-\dfrac{1}{4}x+40)x+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025$，
∵抛物线开口向下，在$x≥50$时w随x增大而减小，
∴当$x=90$时，$w_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6025=5625$元。
∵$5850＞5625$，故甲种花卉种植$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉种植$360-90=270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低。
② 分两段解不等式$w≤6000$：
当$30≤x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，即$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025≤6000$，解得$x≤40$（舍去）或$x≥60$，即$60≤x≤90$。
综上可得x的取值范围。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) ① 种植甲种花卉$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低，最低费用为5625元；
② $30≤x≤40$或$60≤x≤90$
【知识点】
分段函数求解析式，二次函数最值，不等式实际应用
【点评】
本题结合民生工程的实际场景，考查分段函数、函数最值与不等式的综合应用，解题时需注意分类讨论自变量的不同区间，结合函数性质和不等式求解，能有效锻炼分类讨论思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为函数与不等式结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 观察图像可知y为分段函数：0＜x≤40时y为定值30；40＜x≤90时为一次函数，代入已知两点坐标即可求出解析式，分情况写出即可。
(2) 先根据限制条件求x的取值范围：由甲种植面积不少于30m²得x≥30，乙种植面积不低于甲的3倍得360-x≥3x，解得x≤90，即x范围为30≤x≤90。
① 分30≤x≤40和40＜x≤90两段分别写出总费用w关于x的函数解析式，根据函数增减性分别求两段的最小值，比较后即可得到最低费用和对应的种植面积分配。
② 同样分两段，令总费用w≤6000，解不等式后结合对应x的取值范围取有效解，合并后得到符合要求的x的取值范围。
【解析】
(1) 分情况讨论：
当$0＜x≤40$时，由图像可得$y=30$；
当$40＜x≤90$时，设函数解析式为$y=kx+b$，
∵图像过点$(40,30)$、$(100,15)$，代入得：
$\begin{cases}40k+b=30\\100k+b=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=40\end{cases}$
即此时$y=-\dfrac{1}{4}x+40$。
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$。
(2) 根据题意列不等式：
$x≥30$且$360-x≥3x$，解得$30≤x≤90$。
① 分两段求总费用最小值：
当$30≤x≤40$时，$w=30x+15(360-x)=15x+5400$，
∵$15＞0$，w随x增大而增大，
∴当$x=30$时，$w_{\mathrm{min}}=15×30+5400=5850$元；
当$40＜x≤90$时，$w=(-\dfrac{1}{4}x+40)x+15(360-x)=-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025$，
∵抛物线开口向下，在$x≥50$时w随x增大而减小，
∴当$x=90$时，$w_{\mathrm{min}}=-\dfrac{1}{4}×(90-50)^2+6025=5625$元。
∵$5850＞5625$，故甲种花卉种植$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉种植$360-90=270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低。
② 分两段解不等式$w≤6000$：
当$30≤x≤40$时，$15x+5400≤6000$，解得$x≤40$，即$30≤x≤40$；
当$40＜x≤90$时，$-\dfrac{1}{4}(x-50)^2+6025≤6000$，解得$x≤40$（舍去）或$x≥60$，即$60≤x≤90$。
综上可得x的取值范围。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30(0＜x≤40)\\-\dfrac{1}{4}x+40(40＜x≤90)\end{cases}$
(2) ① 种植甲种花卉$90\ \mathrm{m}^2$，乙种花卉$270\ \mathrm{m}^2$时总费用最低，最低费用为5625元；
② $30≤x≤40$或$60≤x≤90$
【知识点】
分段函数求解析式，二次函数最值，不等式实际应用
【点评】
本题结合民生工程的实际场景，考查分段函数、函数最值与不等式的综合应用，解题时需注意分类讨论自变量的不同区间，结合函数性质和不等式求解，能有效锻炼分类讨论思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
