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1. 若扇形的面积为 $12π$，它的弧所对的圆心角为 $25°$，则扇形的半径是().
A.$12\sqrt{2}$
B.$\dfrac{12}{5}\sqrt{30}$
C.$12$
D.$12\sqrt{6}$
A.$12\sqrt{2}$
B.$\dfrac{12}{5}\sqrt{30}$
C.$12$
D.$12\sqrt{6}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查扇形面积公式的应用，解题思路如下：首先回忆扇形面积与圆心角、半径的关系公式，已知扇形面积和圆心角度数，将已知量代入公式，通过解方程求出半径，最后化简二次根式得到结果即可。
【解析】
扇形的面积公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。
已知$S=12π$，$n=25°$，代入公式得：
$12π=\frac{25π r^2}{360}$
两边同时除以$π$，得：
$12=\frac{25r^2}{360}$
整理求解$r^2$：
$r^2=\frac{12×360}{25}=\frac{4320}{25}$
因为半径$r＞0$，所以对$r^2$开方并化简：
$r=\sqrt{\frac{4320}{25}}=\frac{\sqrt{144×30}}{5}=\frac{12\sqrt{30}}{5}=\frac{12}{5}\sqrt{30}$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算；二次根式化简；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练掌握扇形面积公式，计算过程中要注意二次根式的化简规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查扇形面积公式的应用，解题思路如下：首先回忆扇形面积与圆心角、半径的关系公式，已知扇形面积和圆心角度数，将已知量代入公式，通过解方程求出半径，最后化简二次根式得到结果即可。
【解析】
扇形的面积公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。
已知$S=12π$，$n=25°$，代入公式得：
$12π=\frac{25π r^2}{360}$
两边同时除以$π$，得：
$12=\frac{25r^2}{360}$
整理求解$r^2$：
$r^2=\frac{12×360}{25}=\frac{4320}{25}$
因为半径$r＞0$，所以对$r^2$开方并化简：
$r=\sqrt{\frac{4320}{25}}=\frac{\sqrt{144×30}}{5}=\frac{12\sqrt{30}}{5}=\frac{12}{5}\sqrt{30}$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算；二次根式化简；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是熟练掌握扇形面积公式，计算过程中要注意二次根式的化简规则，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
2. 若一条弧的长为$\frac{2}{5}π$，半径为2，则这条弧所对的圆心角的度数为().
A.$60°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$120°$
A.$60°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$120°$
答案
B
解析
【分析】
本题要求弧所对的圆心角度数，核心是运用弧长公式求解。首先回忆角度制下的弧长公式：$l=\frac{nπr}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径。题目已给出弧长$l$和半径$r$的数值，只需将已知量代入公式，解关于$n$的一元一次方程，即可求出圆心角度数。
【解析】
设这条弧所对的圆心角为$n°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，
将$l=\frac{2}{5}π$，$r=2$代入公式得：
$\frac{2}{5}π=\frac{nπ×2}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$\frac{2}{5}=\frac{2n}{180}$
化简后得：
$\frac{2}{5}=\frac{n}{90}$
解得：$n=\frac{2}{5}×90=36$，即圆心角度数为$36°$。
【答案】
B
【知识点】
1.弧长公式
2.一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查弧长公式的应用，只要熟记弧长公式各参数的含义，代入数值时对应准确，计算过程做好约分化简，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题要求弧所对的圆心角度数，核心是运用弧长公式求解。首先回忆角度制下的弧长公式：$l=\frac{nπr}{180}$，其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径。题目已给出弧长$l$和半径$r$的数值，只需将已知量代入公式，解关于$n$的一元一次方程，即可求出圆心角度数。
【解析】
设这条弧所对的圆心角为$n°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，
将$l=\frac{2}{5}π$，$r=2$代入公式得：
$\frac{2}{5}π=\frac{nπ×2}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$\frac{2}{5}=\frac{2n}{180}$
化简后得：
$\frac{2}{5}=\frac{n}{90}$
解得：$n=\frac{2}{5}×90=36$，即圆心角度数为$36°$。
【答案】
B
【知识点】
1.弧长公式
2.一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查弧长公式的应用，只要熟记弧长公式各参数的含义，代入数值时对应准确，计算过程做好约分化简，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$BC=\sqrt{3}$,作$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$,以点$A$为圆心、$AD$的长为半径作弧,交$AB$于点$E$,则阴影部分的面积为().
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{2π}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{2π}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先利用含30°角的直角三角形的性质求出Rt△ABC的各边长，再结合角平分线的定义求出CD的长度，进而得到扇形的半径AD的长度，最后利用扇形面积公式计算出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=60°$，$AB=2BC=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，
$\therefore CD=BC·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
$\therefore AD=AC-CD=3-1=2$。
由题意可知，阴影部分是圆心角为$∠ A=30°$、半径为$AD=2$的扇形，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，需要熟练掌握直角三角形的相关性质和扇形面积公式，解题时先理清各线段长度的求解逻辑，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先利用含30°角的直角三角形的性质求出Rt△ABC的各边长，再结合角平分线的定义求出CD的长度，进而得到扇形的半径AD的长度，最后利用扇形面积公式计算出阴影部分的面积即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=60°$，$AB=2BC=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
在$Rt△ BCD$中，$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BC}$，
$\therefore CD=BC·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
$\therefore AD=AC-CD=3-1=2$。
由题意可知，阴影部分是圆心角为$∠ A=30°$、半径为$AD=2$的扇形，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，需要熟练掌握直角三角形的相关性质和扇形面积公式，解题时先理清各线段长度的求解逻辑，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.65
4. 如图,四边形ABCD是半径为2的$\odot O$的内接四边形,连接OA,OC.若$∠ AOC:∠ ABC=4:3$,则$\overset{\frown}{ABC}$的长为.
答案
解：设$∠ AOC=4x$，$∠ ABC=3x$，
根据圆周角定理，劣弧$AC$所对的圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOC=2x$，
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + 2x = 180°$，
即$3x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ AOC=4×36°=144°$，
则$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 144°=216°$，
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$r=2$，
得$\overset{\frown}{ABC}$的长为$\frac{216×π×2}{180}=\frac{12π}{5}$。
$\boxed{\dfrac{12π}{5}}$
根据圆周角定理，劣弧$AC$所对的圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOC=2x$，
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + 2x = 180°$，
即$3x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ AOC=4×36°=144°$，
则$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 144°=216°$，
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$r=2$，
得$\overset{\frown}{ABC}$的长为$\frac{216×π×2}{180}=\frac{12π}{5}$。
$\boxed{\dfrac{12π}{5}}$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{ABC}$的长，已知圆半径为2，只需先求出$\overset{\frown}{ABC}$对应的圆心角度数即可。首先根据已知的∠AOC与∠ABC的比例关系设未知数，再结合圆周角定理得到劣弧AC对应的圆周角∠ADC与∠AOC的数量关系，然后利用圆内接四边形对角互补的性质建立方程，求解得到∠AOC的度数，进而求出$\overset{\frown}{ABC}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
设$∠ AOC=4x$，$∠ ABC=3x$，
根据圆周角定理，劣弧$AC$所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=2x$，
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
即$3x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ AOC=4×36°=144°$，
则$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 144°=216°$，
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径），已知$r=2$，
得$\overset{\frown}{ABC}$的长为$\frac{216×π×2}{180}=\frac{12π}{5}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{12π}{5}}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，结合了圆周角定理、圆内接四边形的性质和弧长公式三个核心考点，解题的关键是理清角度之间的数量关系，求出所求弧对应的圆心角度数，是常考的基础题型，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{ABC}$的长，已知圆半径为2，只需先求出$\overset{\frown}{ABC}$对应的圆心角度数即可。首先根据已知的∠AOC与∠ABC的比例关系设未知数，再结合圆周角定理得到劣弧AC对应的圆周角∠ADC与∠AOC的数量关系，然后利用圆内接四边形对角互补的性质建立方程，求解得到∠AOC的度数，进而求出$\overset{\frown}{ABC}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
设$∠ AOC=4x$，$∠ ABC=3x$，
根据圆周角定理，劣弧$AC$所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=2x$，
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
即$3x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ AOC=4×36°=144°$，
则$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为$360° - 144°=216°$，
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径），已知$r=2$，
得$\overset{\frown}{ABC}$的长为$\frac{216×π×2}{180}=\frac{12π}{5}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{12π}{5}}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆相关性质的基础综合题，结合了圆周角定理、圆内接四边形的性质和弧长公式三个核心考点，解题的关键是理清角度之间的数量关系，求出所求弧对应的圆心角度数，是常考的基础题型，需熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
5. 秋千拉绳长3 m，静止时踏板离地面0.5 m，一小朋友荡该秋千时，秋千踏板最高离地面2 m（左右对称），则该秋千所荡过的最大圆弧长为。
答案
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{m}}$
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的弧长计算应用题，解题思路可分为三步：首先将实际问题转化为几何模型，明确秋千拉绳长度就是圆弧的半径；其次通过最低点和最高点的高度差，结合直角三角形的三角函数求出拉绳与竖直方向的夹角，再根据左右对称得到秋千荡过的总圆心角；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 计算秋千固定点离地面的高度：拉绳长3m，静止时踏板离地面0.5m，因此固定点高度为 $ 3 + 0.5 = 3.5\,\mathrm{m} $。
2. 求拉绳与竖直方向的夹角：最高点踏板离地面2m，此时固定点到踏板的竖直距离为 $ 3.5 - 2 = 1.5\,\mathrm{m} $。设拉绳与竖直方向的夹角为$θ$，拉绳长（圆弧半径）$r=3\,\mathrm{m}$，在对应的直角三角形中：
$\cosθ = \frac{\mathrm{竖直距离}}{\mathrm{拉绳长}} = \frac{1.5}{3} = 0.5$，因此$θ=60°$。
3. 求总圆心角：因为秋千左右对称，所以荡过的总圆心角$n=2×60°=120°$。
4. 代入弧长公式计算：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=120$、$r=3$得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π\,\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{m}}$
【知识点】
弧长计算；解直角三角形；圆的基本性质
【点评】
本题将几何计算与生活场景结合，需要学生先把实际问题抽象为几何模型，通过解直角三角形求出圆心角是解题的核心，考查了学生的建模能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.65
这是一道结合生活场景的弧长计算应用题，解题思路可分为三步：首先将实际问题转化为几何模型，明确秋千拉绳长度就是圆弧的半径；其次通过最低点和最高点的高度差，结合直角三角形的三角函数求出拉绳与竖直方向的夹角，再根据左右对称得到秋千荡过的总圆心角；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 计算秋千固定点离地面的高度：拉绳长3m，静止时踏板离地面0.5m，因此固定点高度为 $ 3 + 0.5 = 3.5\,\mathrm{m} $。
2. 求拉绳与竖直方向的夹角：最高点踏板离地面2m，此时固定点到踏板的竖直距离为 $ 3.5 - 2 = 1.5\,\mathrm{m} $。设拉绳与竖直方向的夹角为$θ$，拉绳长（圆弧半径）$r=3\,\mathrm{m}$，在对应的直角三角形中：
$\cosθ = \frac{\mathrm{竖直距离}}{\mathrm{拉绳长}} = \frac{1.5}{3} = 0.5$，因此$θ=60°$。
3. 求总圆心角：因为秋千左右对称，所以荡过的总圆心角$n=2×60°=120°$。
4. 代入弧长公式计算：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=120$、$r=3$得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π\,\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{m}}$
【知识点】
弧长计算；解直角三角形；圆的基本性质
【点评】
本题将几何计算与生活场景结合，需要学生先把实际问题抽象为几何模型，通过解直角三角形求出圆心角是解题的核心，考查了学生的建模能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.65
6. 如图,直径AB为6的半圆,绕点A逆时针旋转$60°$,此时点B旋转到点$B'$,则半圆扫过（阴影部分）的面积是.
答案
$\boldsymbol{6π}$
解析
【分析】
本题可通过割补法求解不规则阴影部分的面积。首先根据旋转的性质可知，旋转前后半圆的大小不变，即以$AB'$为直径的半圆和以$AB$为直径的半圆面积相等。观察图形可得，阴影部分的面积=扇形$ABB'$的面积 + 以$AB'$为直径的半圆面积 - 以$AB$为直径的半圆面积，两个半圆面积抵消后，只需计算扇形$ABB'$的面积即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得$AB'=AB=6$，$∠ BAB'=60°$，且以$AB'$为直径的半圆与以$AB$为直径的半圆面积相等。
根据图形的面积和差关系：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}ABB'} + S_{\mathrm{半圆}AB'} - S_{\mathrm{半圆}AB}$
$\because S_{\mathrm{半圆}AB'} = S_{\mathrm{半圆}AB}$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}ABB'}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=60°$，$r=6$：
$S_{\mathrm{扇形}ABB'}=\frac{60π×6^2}{360}=\frac{60π×36}{360}=6π$
【答案】
$\boldsymbol{6π}$
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，割补法求面积
【点评】
本题解题关键是利用旋转的性质和割补法，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积进行计算，避免了对阴影部分进行复杂分割，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
本题可通过割补法求解不规则阴影部分的面积。首先根据旋转的性质可知，旋转前后半圆的大小不变，即以$AB'$为直径的半圆和以$AB$为直径的半圆面积相等。观察图形可得，阴影部分的面积=扇形$ABB'$的面积 + 以$AB'$为直径的半圆面积 - 以$AB$为直径的半圆面积，两个半圆面积抵消后，只需计算扇形$ABB'$的面积即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得$AB'=AB=6$，$∠ BAB'=60°$，且以$AB'$为直径的半圆与以$AB$为直径的半圆面积相等。
根据图形的面积和差关系：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}ABB'} + S_{\mathrm{半圆}AB'} - S_{\mathrm{半圆}AB}$
$\because S_{\mathrm{半圆}AB'} = S_{\mathrm{半圆}AB}$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}ABB'}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=60°$，$r=6$：
$S_{\mathrm{扇形}ABB'}=\frac{60π×6^2}{360}=\frac{60π×36}{360}=6π$
【答案】
$\boldsymbol{6π}$
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，割补法求面积
【点评】
本题解题关键是利用旋转的性质和割补法，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积进行计算，避免了对阴影部分进行复杂分割，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
