三、解答题
7. 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2和1，点A，B在大圆上，$∠ AOB = 120°$，求阴影部分的面积.

解：
阴影部分的面积为圆心角是$360° - 120° = 240°$的扇环的面积。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{240π × 2^2}{360} - \frac{240π × 1^2}{360}\\&=\frac{240π}{360}×(4 - 1)\\&=\frac{2}{3}× 3π\\&=2π\end{aligned}$
答：阴影部分的面积为$2π$。

【分析】
解题时首先观察阴影部分的构成：阴影是两个同心圆中，除圆心角为$120°$的空白扇环外的部分，因此阴影部分对应的圆心角为$360°-120°=240°$。我们可以通过“圆心角为240°的大扇形面积减去同圆心角的小扇形面积”求解，也可以先计算整个圆环的面积，再乘阴影部分圆心角占周角的比例得到结果。
【解析】
首先计算阴影部分对应的圆心角度数：$360°-120°=240°$
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{240π × 2^2}{360} - \frac{240π × 1^2}{360}\\&=\frac{240π}{360}×(4 - 1)\\&=\frac{2}{3}× 3π\\&=2π\end{aligned}$
【答案】
$2π$
【知识点】
扇形面积计算，圆环面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题是扇形面积的基础应用题，解题核心是准确判断阴影部分对应的圆心角度数，结合扇形面积公式即可求解，也可以用整体法简化运算步骤。
【难度系数】
0.8

8. 如图，$\odot O$ 的半径为 1 cm，正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$，求阴影部分的面积.

解：连接OB、OC。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为1 cm，
∴ ∠BOC = 360°÷6 = 60°，OB = OC = 1 cm。
由正六边形性质可知AB//OC，
∴ △ABC与△OBC同底等高，即$S_{△ ABC} = S_{△ OBC}$。
因此阴影部分的面积等于扇形OBC的面积。
由扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=60，r=1，得：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{60π × 1^2}{360} = \frac{π}{6} \ (\mathrm{cm}^2)$。
答：阴影部分的面积为$\frac{π}{6}$平方厘米。

【分析】
要求阴影部分的面积，直接拆分计算三角形和弓形面积较繁琐，可利用转化思想简化计算：首先连接OB、OC，结合正六边形内接于圆的性质，可推导出△ABC与△OBC同底等高，二者面积相等，因此阴影部分面积可等效为扇形OBC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$半径为1 cm，
∴ 中心角$∠ BOC = 360° ÷ 6 = 60°$，$OB = OC = 1\ \mathrm{cm}$。
由正六边形的性质可知$AB // OC$，
∴ $△ ABC$和$△ OBC$同底（底为BC）等高，即$S_{△ ABC} = S_{△ OBC}$，
因此阴影部分的面积等于扇形OBC的面积。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入$n=60$，$r=1$得：
$S_{\mathrm{阴影}} = \frac{60π × 1^2}{360} = \frac{π}{6}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\frac{π}{6}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正多边形与圆，同底等高三角形面积相等，扇形面积计算
【点评】
本题考查阴影面积的求解，核心是运用转化思想，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积进行计算，是求解圆内接多边形相关阴影面积题的常用思路。
【难度系数】
0.7

9. 如图，AB是$\odot O$的直径，P是$\odot O$外一点，PA与$\odot O$相切于点A，C为$\odot O$上的一点.连接PC，AC，OC，且$PC=PA$.
（1）求证：PC为$\odot O$的切线；
（2）延长PC，与AB的延长线交于点D，若$∠ CAB=30°$，$OD=8$，求阴影部分的面积.

（1）证明：
连接OP
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$△ OAP$和$△ OCP$中，
$\begin{cases}OA=OC \\PA=PC \\OP=OP\end{cases}$
∴ $△ OAP ≌ △ OCP$（SSS），
∴ $∠ OCP=∠ OAP=90°$，即$OC⊥ PC$。
又∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $PC$为$\odot O$的切线。
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（2）解：
∵ $OA=OC$，$∠ CAB=30°$，
∴ $∠ OCA=∠ CAB=30°$，
∴ $∠ COD=∠ CAB+∠ OCA=60°$。
由（1）知$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OD=8$，
∴ $OC=OD·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，
$CD=OD·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
∴ $S_{△ OCD}=\frac{1}{2}· OC· CD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
∵ 扇形$OCB$的圆心角$∠ COB=60°$，半径$r=4$，
∴ $S_{\mathrm{扇形}OCB}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积$=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OCB}=8\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$。
答：阴影部分的面积为$8\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$。

【分析】
（1）要证明PC是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线判定定理，只需证明$OC⊥ PC$即可。连接OP，结合已知$PA=PC$、$OA=OC$，加上公共边OP，可通过SSS证明$△ OAP≌△ OCP$，再利用PA是切线得$∠ OAP=90°$，即可推出$∠ OCP=90°$，完成证明。
（2）阴影部分为不规则图形，可通过割补法，用$△ OCD$的面积减去扇形$OCB$的面积求解。先由$OA=OC$、$∠ CAB=30°$求出圆心角$∠ COD=60°$，再在$Rt△ OCD$中利用三角函数求出OC、CD的长度，分别计算三角形和扇形的面积，二者相减即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）证明：
连接OP
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
在$△ OAP$和$△ OCP$中，
$\begin{cases}OA=OC \\PA=PC \\OP=OP\end{cases}$
∴ $△ OAP ≌ △ OCP$（SSS），
∴ $∠ OCP=∠ OAP=90°$，即$OC⊥ PC$。
又
∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $PC$为$\odot O$的切线。
（2）解：
∵ $OA=OC$，$∠ CAB=30°$，
∴ $∠ OCA=∠ CAB=30°$，
∴ $∠ COD=∠ CAB+∠ OCA=60°$。
由（1）知$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OD=8$，
∴ $OC=OD·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，
$CD=OD·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
∴ $S_{△ OCD}=\frac{1}{2}· OC· CD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
∵ 扇形$OCB$的圆心角$∠ COB=60°$，半径$r=4$，
∴ $S_{\mathrm{扇形}OCB}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积$=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OCB}=8\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$。
【答案】
（1）证明见上述过程，PC为$\odot O$的切线；
（2）$8\sqrt{3}-\frac{8π}{3}$
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题型，考查了切线判定、全等三角形证明、锐角三角函数应用以及不规则图形面积计算，解题关键是熟练掌握切线判定定理，灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差求解。
【难度系数】
0.6