11.我们已经知道角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.如图1,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.将∠AOB沿OC对折,我们发现PD与PE完全重合.由此即有角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
定理证明:
(1)如图1,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上的任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证PD=PE;
定理应用:
(2)如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交CB于点D.若过点D作DF⊥AB,垂足为F,点E在AC上,且DE=BD,请你判断AE,AF,BF之间的数量关系,并说明理由.

11.(1)略 (2)$AE+BF=AF$,理由略

【分析】
(1) 要证明角平分线上的点到角两边的距离相等，可通过证明含PD、PE的两个直角三角形全等得到对应边相等。已知OC是角平分线可得一组角相等，PD、PE为垂线可得一组直角相等，再结合公共边OP，用AAS即可证三角形全等，推出PD=PE。
(2) 先根据角平分线的性质得到CD=DF，首先证明Rt△ACD≌Rt△AFD，可得AC=AF；再证明Rt△CDE≌Rt△FDB，可得CE=BF，结合线段和的关系AC=AE+CE，等量替换即可推导出AE、AF、BF的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵OC平分∠AOB，
∴$∠ EOP=∠ DOP$，
∵$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴$∠ PEO=∠ PDO=90°$，
在$△ PEO$和$△ PDO$中：
$\begin{cases}∠ PEO=∠ PDO \\∠ EOP=∠ DOP \\OP=OP\end{cases}$
∴$△ PEO≌△ PDO(\mathrm{AAS})$，
∴$PD=PE$。
(2) 数量关系为$AE+BF=AF$，理由如下：
∵AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
∴$CD=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中：
$\begin{cases}AD=AD \\CD=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL})$，
∴$AC=AF$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$和$\mathrm{Rt}△ FDB$中：
$\begin{cases}DE=BD \\CD=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CDE≌\mathrm{Rt}△ FDB(\mathrm{HL})$，
∴$CE=BF$，
∵$AC=AE+CE$，
∴$AF=AE+BF$，即$AE+BF=AF$。
【答案】
(1) 略；(2)$AE+BF=AF$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题围绕角平分线的性质设计，既考察了性质的推导过程，又考察了性质的应用，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定方法，借助角平分线性质得到相等线段，为全等证明创造条件，是角平分线模块的经典基础习题。
【难度系数】
0.7