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1. 两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，三角尺的一条直角边分别与$△ ABC$的边$AB$，$AC$重合，它们的顶点重合于点$M$，则点$M$一定在 （
A.$∠ A$的平分线上
B.$AC$边的高上
C.$BC$的中垂线上
D.$AB$的中线上
A
）A.$∠ A$的平分线上
B.$AC$边的高上
C.$BC$的中垂线上
D.$AB$的中线上
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先从题目条件入手，两个完全相同的三角尺，一条直角边分别与AB、AC重合，说明点M到AB的距离、到AC的距离分别等于三角尺的另一条直角边的长度，两个三角尺完全相同，因此这两个距离相等，结合角平分线判定定理即可判断点M的位置。
【解析】
解：由题意得，点M到AB边的距离等于三角尺的直角边长，点M到AC边的距离也等于该三角尺的直角边长，
∵两个三角尺完全一样，
∴点M到AB的距离 = 点M到AC的距离，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，
∴点M在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是从题目给出的三角尺摆放条件中，提炼出点M到∠A两边距离相等的结论，结合角平分线的判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先从题目条件入手，两个完全相同的三角尺，一条直角边分别与AB、AC重合，说明点M到AB的距离、到AC的距离分别等于三角尺的另一条直角边的长度，两个三角尺完全相同，因此这两个距离相等，结合角平分线判定定理即可判断点M的位置。
【解析】
解：由题意得，点M到AB边的距离等于三角尺的直角边长，点M到AC边的距离也等于该三角尺的直角边长，
∵两个三角尺完全一样，
∴点M到AB的距离 = 点M到AC的距离，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，
∴点M在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是从题目给出的三角尺摆放条件中，提炼出点M到∠A两边距离相等的结论，结合角平分线的判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.如图，$∠ AOB=70°$，点C是$∠ AOB$内一点，$CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，垂足分别为D，E，且$CD=CE$，则$∠ DOC$的度数是 （
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD垂直OA、CE垂直OB，说明CD、CE是点C到∠AOB两边的距离，又已知CD=CE，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，再结合角平分线的定义，∠DOC等于∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE
∴点C在∠AOB的角平分线上，即OC平分∠AOB
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
又
∵$∠ AOB=70°$
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}×70°=35°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的应用，熟记“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：CD垂直OA、CE垂直OB，说明CD、CE是点C到∠AOB两边的距离，又已知CD=CE，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，再结合角平分线的定义，∠DOC等于∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE
∴点C在∠AOB的角平分线上，即OC平分∠AOB
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
又
∵$∠ AOB=70°$
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}×70°=35°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的应用，熟记“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3.如图，点P是$∠ AOB$内一点，$PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，垂足分别为C，D，且$PC=PD$，点E在OA上，$∠ AOB=50°$，$∠ OPE=30°$，则$∠ PEC$的度数是 （
A.$50°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）A.$50°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：已知PC垂直OA、PD垂直OB且PC=PD，根据角平分线的判定定理可判断OP是∠AOB的角平分线，先求出∠AOP的度数；再观察∠PEC的位置，它是△OPE的外角，结合三角形外角的性质，即可求出∠PEC的度数。
【解析】
1. 判定OP为∠AOB的角平分线：
∵ $PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，且$PC=PD$，
∴ 点P在∠AOB的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OP平分∠AOB。
2. 计算∠AOP的度数：
∵ $∠ AOB=50°$，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 利用三角形外角性质计算∠PEC：
∵ ∠PEC是△OPE的外角，
∴ $∠ PEC=∠ AOP+∠ OPE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入$∠ AOP=25°$，$∠ OPE=30°$，得：
$∠ PEC=25°+30°=55°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先通过距离相等判断角平分线，再结合外角性质求解角度，是角平分线相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：已知PC垂直OA、PD垂直OB且PC=PD，根据角平分线的判定定理可判断OP是∠AOB的角平分线，先求出∠AOP的度数；再观察∠PEC的位置，它是△OPE的外角，结合三角形外角的性质，即可求出∠PEC的度数。
【解析】
1. 判定OP为∠AOB的角平分线：
∵ $PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，且$PC=PD$，
∴ 点P在∠AOB的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OP平分∠AOB。
2. 计算∠AOP的度数：
∵ $∠ AOB=50°$，
∴ $∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 利用三角形外角性质计算∠PEC：
∵ ∠PEC是△OPE的外角，
∴ $∠ PEC=∠ AOP+∠ OPE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入$∠ AOP=25°$，$∠ OPE=30°$，得：
$∠ PEC=25°+30°=55°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先通过距离相等判断角平分线，再结合外角性质求解角度，是角平分线相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
4.如图,在△ABC中,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D,则下列结论正确的是（
A.AD 平分 BC
B.AD 平分∠CAB
C.AD 平分∠CDB
D.AD⊥BC
B
）A.AD 平分 BC
B.AD 平分∠CAB
C.AD 平分∠CDB
D.AD⊥BC
答案
4.B
解析
【分析】
要判断AD的相关性质，可借助角平分线的性质与判定定理分析：角平分线上的点到角两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知D是△ABC两个外角的平分线交点，我们可以过D向△ABC三边所在直线作垂线段，先通过外角平分线的性质得到三组垂线段的等量关系，再证明D到∠CAB两边的距离相等，即可推导AD的性质，最后排除错误选项即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥AC$，交AC的延长线于点E，作$DF⊥BC$于点F，作$DG⊥AB$，交AB的延长线于点G。
∵CD是∠ACB的外角平分线，$DE⊥AC$，$DF⊥BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BD是∠ABC的外角平分线，$DF⊥BC$，$DG⊥AB$，
∴$DF=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$DE=DG$。
又
∵$DE⊥AC$，$DG⊥AB$，
∴点D在∠CAB的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），即AD平分∠CAB。
无已知条件可证明AD平分BC、AD平分∠CDB、AD⊥BC，故A、C、D错误。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题的核心解题思路是通过作垂线段的辅助线，串联角平分线的性质与判定定理推导结论，熟练掌握角平分线的相关定理是解决这类几何题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断AD的相关性质，可借助角平分线的性质与判定定理分析：角平分线上的点到角两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知D是△ABC两个外角的平分线交点，我们可以过D向△ABC三边所在直线作垂线段，先通过外角平分线的性质得到三组垂线段的等量关系，再证明D到∠CAB两边的距离相等，即可推导AD的性质，最后排除错误选项即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥AC$，交AC的延长线于点E，作$DF⊥BC$于点F，作$DG⊥AB$，交AB的延长线于点G。
∵CD是∠ACB的外角平分线，$DE⊥AC$，$DF⊥BC$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BD是∠ABC的外角平分线，$DF⊥BC$，$DG⊥AB$，
∴$DF=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$DE=DG$。
又
∵$DE⊥AC$，$DG⊥AB$，
∴点D在∠CAB的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），即AD平分∠CAB。
无已知条件可证明AD平分BC、AD平分∠CDB、AD⊥BC，故A、C、D错误。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题的核心解题思路是通过作垂线段的辅助线，串联角平分线的性质与判定定理推导结论，熟练掌握角平分线的相关定理是解决这类几何题的基础。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$D$在边$AB$上,$DE⊥ BC$,垂足为$E$,$AD=DE$,$∠ B=32°$,则$∠ BCD$的度数为
$29°$
。答案
5.$29°$
解析
【分析】
解题思路：首先观察已知条件，∠A=90°即CA⊥AB，DE⊥BC，且AD=DE，结合角平分线的判定定理，可推出CD平分∠ACB；再利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，最后根据角平分线的性质即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=32°$，
由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ACB=90°-∠ B=90°-32°=58°$。
$\because ∠ A=90°$，$\therefore CA⊥ AB$，
又$\because DE⊥ BC$，且$AD=DE$，
$\therefore$ 点D在$∠ ACB$的角平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即CD平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×58°=29°$。
【答案】
$29°$
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过已知的线段相等和垂直关系判断角平分线，再结合直角三角形角度关系计算，考查对基础定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察已知条件，∠A=90°即CA⊥AB，DE⊥BC，且AD=DE，结合角平分线的判定定理，可推出CD平分∠ACB；再利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，最后根据角平分线的性质即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=32°$，
由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ACB=90°-∠ B=90°-32°=58°$。
$\because ∠ A=90°$，$\therefore CA⊥ AB$，
又$\because DE⊥ BC$，且$AD=DE$，
$\therefore$ 点D在$∠ ACB$的角平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即CD平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×58°=29°$。
【答案】
$29°$
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过已知的线段相等和垂直关系判断角平分线，再结合直角三角形角度关系计算，考查对基础定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
6.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件：①∠AOC=∠BOC；②PD=PE；③OD=OE；④∠DPO=∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有
①②③④
（填序号）.答案
6.①②③④
解析
【分析】
要判定OC是∠AOB的平分线，核心是证明∠AOC=∠BOC，可结合角平分线的定义、角平分线的判定定理，或通过证明△ODP与△OEP全等得到等角来推导，逐个分析条件即可：
1. 条件①直接给出两个角相等，符合角平分线定义；
2. 条件②给出点P到角两边的距离相等，可直接用角平分线判定定理推导；
3. 条件③给出OD=OE，结合垂直条件和公共边OP，可通过HL证直角三角形全等得到等角；
4. 条件④给出∠DPO=∠EPO，结合垂直条件和公共边OP，可通过AAS证三角形全等得到等角。
【解析】
逐个分析各条件：
① 若∠AOC=∠BOC，根据角平分线的定义，可直接判定OC是∠AOB的平分线，故①符合要求；
② 若PD=PE，已知PD⊥OA，PE⊥OB，即点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知P在∠AOB的平分线上，即OC是∠AOB的平分线，故②符合要求；
③ 若OD=OE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，在Rt△ODP和Rt△OEP中：
$\{\begin{array}{l}OD=OE\\ OP=OP\end{array} $
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠AOC=∠BOC，可判定OC是∠AOB的平分线，故③符合要求；
④ 若∠DPO=∠EPO，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，在△ODP和△OEP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\ ∠ DPO=∠ EPO\\ OP=OP\end{array} $
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴∠AOC=∠BOC，可判定OC是∠AOB的平分线，故④符合要求。
综上，4个条件都可判定OC是∠AOB的平分线。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查角平分线的判定，既可直接用定义或判定定理判断，也可通过证明三角形全等推导角相等，解题时要结合已知的垂直条件灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
要判定OC是∠AOB的平分线，核心是证明∠AOC=∠BOC，可结合角平分线的定义、角平分线的判定定理，或通过证明△ODP与△OEP全等得到等角来推导，逐个分析条件即可：
1. 条件①直接给出两个角相等，符合角平分线定义；
2. 条件②给出点P到角两边的距离相等，可直接用角平分线判定定理推导；
3. 条件③给出OD=OE，结合垂直条件和公共边OP，可通过HL证直角三角形全等得到等角；
4. 条件④给出∠DPO=∠EPO，结合垂直条件和公共边OP，可通过AAS证三角形全等得到等角。
【解析】
逐个分析各条件：
① 若∠AOC=∠BOC，根据角平分线的定义，可直接判定OC是∠AOB的平分线，故①符合要求；
② 若PD=PE，已知PD⊥OA，PE⊥OB，即点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知P在∠AOB的平分线上，即OC是∠AOB的平分线，故②符合要求；
③ 若OD=OE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，在Rt△ODP和Rt△OEP中：
$\{\begin{array}{l}OD=OE\\ OP=OP\end{array} $
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠AOC=∠BOC，可判定OC是∠AOB的平分线，故③符合要求；
④ 若∠DPO=∠EPO，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，在△ODP和△OEP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\ ∠ DPO=∠ EPO\\ OP=OP\end{array} $
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴∠AOC=∠BOC，可判定OC是∠AOB的平分线，故④符合要求。
综上，4个条件都可判定OC是∠AOB的平分线。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查角平分线的判定，既可直接用定义或判定定理判断，也可通过证明三角形全等推导角相等，解题时要结合已知的垂直条件灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
