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7.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE//AB,交BC于点E,PF//AC,交BC于点F.求证点D到PE,PF的距离相等.
答案
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF//AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在PD上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF//AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在PD上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等。
解析
【分析】要证明点D到PE、PF的距离相等，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明PD是∠EPF的角平分线。首先由AD是△ABC的角平分线可得∠BAD=∠CAD，再结合PE//AB、PF//AC的条件，根据平行线的内错角相等，可推出∠EPD=∠BAD、∠FPD=∠CAD，通过等量代换即可得到∠EPD=∠FPD，即PD平分∠EPF，最后应用角平分线的性质就能得出结论。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF//AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在PD上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等。
【答案】
点D到PE、PF的距离相等，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过平行线的性质完成角的等量转化，推导出PD为∠EPF的角平分线，再结合角平分线的性质即可得证，主要考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠EPD = ∠BAD。
∵ PF//AC，
∴ ∠FPD = ∠CAD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在PD上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等。
【答案】
点D到PE、PF的距离相等，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过平行线的性质完成角的等量转化，推导出PD为∠EPF的角平分线，再结合角平分线的性质即可得证，主要考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
8.如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$，垂足为$F$，且$DB=DC$，求证$AD$是$∠BAC$的平分线。
答案
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知的垂直关系，可得△BDE和△CDF都是直角三角形，再结合已知的BE=CF、DB=DC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【答案】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是结合已知条件先证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线的判定定理完成推导，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知的垂直关系，可得△BDE和△CDF都是直角三角形，再结合已知的BE=CF、DB=DC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【答案】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
∴ $△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}BE = CF \\DB = DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是结合已知条件先证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线的判定定理完成推导，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
9.如图，已知△ABC的面积为8 cm²，BP为∠ABC的平分线，AP⊥BP，则△PBC的面积为（
A.3.5 cm²
B.3.9 cm²
C.4 cm²
D.4.2 cm²
C
）A.3.5 cm²
B.3.9 cm²
C.4 cm²
D.4.2 cm²
答案
9.C
解析
【分析】
遇到角平分线+角边上的垂线的组合，通常采用延长垂线的方法构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，结合角平分线性质和垂直条件证明△ABP≌△DBP，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△PBC的面积为△ABC面积的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP\\ BP=BP\\ ∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ APC}=S_{△ DPC}$。
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DPC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破点是构造全等三角形的辅助线做法，结合全等性质和三角形面积关系快速求解，是角平分线相关应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线+角边上的垂线的组合，通常采用延长垂线的方法构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，结合角平分线性质和垂直条件证明△ABP≌△DBP，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，可推出△PBC的面积为△ABC面积的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP\\ BP=BP\\ ∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=PD，
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ APC}=S_{△ DPC}$。
∴$S_{△ PBC}=S_{△ DBP}+S_{△ DPC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破点是构造全等三角形的辅助线做法，结合全等性质和三角形面积关系快速求解，是角平分线相关应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=70°，∠ABC=48°，且∠BAD+∠CAD=180°，则∠BDC的度数为
$31°$
。答案
10.$31°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC求出∠DBC的度数；2. 结合∠BAD+∠CAD=180°可推导得AD是∠BAC的外角平分线，再根据角平分线的性质可知点D到AB、BC、AC三边的距离相等，由此可证CD是∠ACB的外角平分线，进而求出∠ACB外角一半的度数；3. 最后利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入数值即可算出∠BDC的度数。
【解析】
解：过点D分别作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，DG⊥AC于点G。
1.
∵BD平分∠ABC，∠ABC=48°
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=24°$，且$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
2.
∵$∠ BAD+∠ CAD=180°$，$∠ BAD+∠ EAD=180°$
∴$∠ EAD=∠ CAD$，即AD平分∠BAC的外角∠EAC
∴$DE=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴$DF=DG$
∴CD平分∠ACB的外角∠ACF（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
3.
∵$∠ ACB=70°$
∴$∠ ACF=180°-∠ ACB=110°$
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF=55°$
4.
∵∠DCF是△BCD的外角
∴$∠ DCF=∠ DBC+∠ BDC$
∴$∠ BDC=∠ DCF-∠ DBC=55°-24°=31°$
【答案】
$31°$
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的判定、性质以及三角形外角的性质，解题的关键是通过作辅助线构造垂线段，结合角平分线的相关性质推导出CD为∠ACB的外角平分线，再结合外角性质计算角度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC求出∠DBC的度数；2. 结合∠BAD+∠CAD=180°可推导得AD是∠BAC的外角平分线，再根据角平分线的性质可知点D到AB、BC、AC三边的距离相等，由此可证CD是∠ACB的外角平分线，进而求出∠ACB外角一半的度数；3. 最后利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入数值即可算出∠BDC的度数。
【解析】
解：过点D分别作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，DG⊥AC于点G。
1.
∵BD平分∠ABC，∠ABC=48°
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=24°$，且$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
2.
∵$∠ BAD+∠ CAD=180°$，$∠ BAD+∠ EAD=180°$
∴$∠ EAD=∠ CAD$，即AD平分∠BAC的外角∠EAC
∴$DE=DG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴$DF=DG$
∴CD平分∠ACB的外角∠ACF（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
3.
∵$∠ ACB=70°$
∴$∠ ACF=180°-∠ ACB=110°$
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF=55°$
4.
∵∠DCF是△BCD的外角
∴$∠ DCF=∠ DBC+∠ BDC$
∴$∠ BDC=∠ DCF-∠ DBC=55°-24°=31°$
【答案】
$31°$
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的判定、性质以及三角形外角的性质，解题的关键是通过作辅助线构造垂线段，结合角平分线的相关性质推导出CD为∠ACB的外角平分线，再结合外角性质计算角度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
