登录
11.如图,四边形ABCD中,AB⊥BC,AB//CD,M为BC的中点,AM平分∠BAD.求证:(1)DM平分∠ADC;(2)AD=AB+CD. 
答案
证明：
(1) 过点M作ME⊥AD，垂足为E。
∵ AB⊥BC，ME⊥AD，AM平分∠BAD，
∴ BM = ME（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M为BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ CM = ME。
∵ AB//CD，AB⊥BC，
∴ ∠C = 180° - ∠B = 90°，即MC⊥CD。
又∵ ME⊥AD，CM=ME，
∴ 点M在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即DM平分∠ADC。
(2) 在Rt△ABM和Rt△AEM中，
$\{\begin{array}{l} AM=AM \\ BM=EM \end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△AEM（HL），
∴ AB = AE。
同理可证Rt△DCM ≌ Rt△DEM（HL），
∴ CD = DE。
∵ AD = AE + DE，
∴ AD = AB + CD。
(1) 过点M作ME⊥AD，垂足为E。
∵ AB⊥BC，ME⊥AD，AM平分∠BAD，
∴ BM = ME（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M为BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ CM = ME。
∵ AB//CD，AB⊥BC，
∴ ∠C = 180° - ∠B = 90°，即MC⊥CD。
又∵ ME⊥AD，CM=ME，
∴ 点M在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即DM平分∠ADC。
(2) 在Rt△ABM和Rt△AEM中，
$\{\begin{array}{l} AM=AM \\ BM=EM \end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△AEM（HL），
∴ AB = AE。
同理可证Rt△DCM ≌ Rt△DEM（HL），
∴ CD = DE。
∵ AD = AE + DE，
∴ AD = AB + CD。
解析
【分析】
要证明DM平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，需证明点M到∠ADC两边的距离相等，因此先过M作ME⊥AD于E；结合已知AM平分∠BAD，利用角平分线的性质可得BM=ME，再结合M是BC中点得到CM=ME，即可完成第一问的证明。第二问要证明AD=AB+CD，可通过证明Rt△ABM≌Rt△AEM、Rt△DCM≌Rt△DEM，将AB转化为AE，CD转化为DE，结合AD=AE+DE即可推导出结论。
【解析】
(1) 过点M作ME⊥AD，垂足为E。
∵ AB⊥BC，ME⊥AD，AM平分∠BAD，
∴ BM = ME（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M为BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ CM = ME。
∵ AB//CD，AB⊥BC，
∴ ∠C = 180° - ∠B = 90°，即MC⊥CD。
又
∵ ME⊥AD，CM=ME，
∴ 点M在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即DM平分∠ADC。
(2) 在Rt△ABM和Rt△AEM中，
$\{\begin{array}{l} AM=AM \\ BM=EM \end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△AEM（HL），
∴ AB = AE。
同理可证Rt△DCM ≌ Rt△DEM（HL），
∴ CD = DE。
∵ AD = AE + DE，
∴ AD = AB + CD。
【答案】
(1) DM平分∠ADC得证；(2) AD=AB+CD得证，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，核心是利用角平分线的性质和判定定理，通过作垂直于角两边的辅助线，构造全等三角形实现线段的转化，这种辅助线作法在角平分线类问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要证明DM平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，需证明点M到∠ADC两边的距离相等，因此先过M作ME⊥AD于E；结合已知AM平分∠BAD，利用角平分线的性质可得BM=ME，再结合M是BC中点得到CM=ME，即可完成第一问的证明。第二问要证明AD=AB+CD，可通过证明Rt△ABM≌Rt△AEM、Rt△DCM≌Rt△DEM，将AB转化为AE，CD转化为DE，结合AD=AE+DE即可推导出结论。
【解析】
(1) 过点M作ME⊥AD，垂足为E。
∵ AB⊥BC，ME⊥AD，AM平分∠BAD，
∴ BM = ME（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M为BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ CM = ME。
∵ AB//CD，AB⊥BC，
∴ ∠C = 180° - ∠B = 90°，即MC⊥CD。
又
∵ ME⊥AD，CM=ME，
∴ 点M在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即DM平分∠ADC。
(2) 在Rt△ABM和Rt△AEM中，
$\{\begin{array}{l} AM=AM \\ BM=EM \end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△AEM（HL），
∴ AB = AE。
同理可证Rt△DCM ≌ Rt△DEM（HL），
∴ CD = DE。
∵ AD = AE + DE，
∴ AD = AB + CD。
【答案】
(1) DM平分∠ADC得证；(2) AD=AB+CD得证，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是角平分线相关的典型证明题，核心是利用角平分线的性质和判定定理，通过作垂直于角两边的辅助线，构造全等三角形实现线段的转化，这种辅助线作法在角平分线类问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12.如图，$AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$AE=AB$，$AF=AC$。
(1)图中$EC$与$BF$有怎样的位置关系？试证明你的结论；
(2)连接$AM$，求证$MA$平分$∠ EMF$。
(1)图中$EC$与$BF$有怎样的位置关系？试证明你的结论；
(2)连接$AM$，求证$MA$平分$∠ EMF$。
答案
12.(1)$EC⊥BF$,证明略 (2)略
解析
【分析】
(1) 要判断EC与BF的位置关系，首先结合已知的垂直、等边条件，优先考虑证明三角形全等推导角的关系：先由两组垂直得到∠EAB=∠FAC=90°，加上公共角∠BAC可推出∠EAC=∠BAF，结合已知边相等证△EAC≌△BAF，得到对应角相等后，再通过对顶角转换推导两条线段的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2) 要证MA平分∠EMF，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到EC、BF两边的距离相等，可借助全等三角形面积相等、对应边相等，推导得到两条对应高相等，即可证明点A在角平分线上。
【解析】
(1) $EC ⊥ BF$，证明如下：
设$EC$交$AB$于点$G$，交$BF$于点$M$。
$\because AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB = ∠ FAC = 90°$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FAC + ∠ BAC$，即$∠ EAC = ∠ BAF$。
在$△ EAC$和$△ BAF$中：
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAF \\AC = AF\end{cases}$
$\therefore △ EAC ≌ △ BAF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABF$。
又$\because ∠ AGE = ∠ BGM$（对顶角相等），
在$△ AEG$中，$∠ AEG + ∠ AGE = 90°$，
$\therefore ∠ ABF + ∠ BGM = 90°$，
$\therefore ∠ EMB = 180° - 90° = 90°$，即$EC ⊥ BF$。
(2) 证明：过点$A$作$AP ⊥ EC$于点$P$，$AQ ⊥ BF$于点$Q$。
$\because △ EAC ≌ △ BAF$，
$\therefore S_{△ EAC} = S_{△ BAF}$，且$EC = BF$，
$\therefore \frac{1}{2} × EC × AP = \frac{1}{2} × BF × AQ$，
$\therefore AP = AQ$。
又$\because AP ⊥ EC$，$AQ ⊥ BF$，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点$A$在$∠ EMF$的平分线上，
即$MA$平分$∠ EMF$。
【答案】
(1) $EC ⊥ BF$；(2) 证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是三角形综合类的典型题型，解题核心是通过角的和差关系找到全等三角形的对应等角，再结合全等的性质和角平分线的判定推导结论，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断EC与BF的位置关系，首先结合已知的垂直、等边条件，优先考虑证明三角形全等推导角的关系：先由两组垂直得到∠EAB=∠FAC=90°，加上公共角∠BAC可推出∠EAC=∠BAF，结合已知边相等证△EAC≌△BAF，得到对应角相等后，再通过对顶角转换推导两条线段的夹角为90°，即可得到垂直关系。
(2) 要证MA平分∠EMF，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到EC、BF两边的距离相等，可借助全等三角形面积相等、对应边相等，推导得到两条对应高相等，即可证明点A在角平分线上。
【解析】
(1) $EC ⊥ BF$，证明如下：
设$EC$交$AB$于点$G$，交$BF$于点$M$。
$\because AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB = ∠ FAC = 90°$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FAC + ∠ BAC$，即$∠ EAC = ∠ BAF$。
在$△ EAC$和$△ BAF$中：
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAF \\AC = AF\end{cases}$
$\therefore △ EAC ≌ △ BAF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABF$。
又$\because ∠ AGE = ∠ BGM$（对顶角相等），
在$△ AEG$中，$∠ AEG + ∠ AGE = 90°$，
$\therefore ∠ ABF + ∠ BGM = 90°$，
$\therefore ∠ EMB = 180° - 90° = 90°$，即$EC ⊥ BF$。
(2) 证明：过点$A$作$AP ⊥ EC$于点$P$，$AQ ⊥ BF$于点$Q$。
$\because △ EAC ≌ △ BAF$，
$\therefore S_{△ EAC} = S_{△ BAF}$，且$EC = BF$，
$\therefore \frac{1}{2} × EC × AP = \frac{1}{2} × BF × AQ$，
$\therefore AP = AQ$。
又$\because AP ⊥ EC$，$AQ ⊥ BF$，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点$A$在$∠ EMF$的平分线上，
即$MA$平分$∠ EMF$。
【答案】
(1) $EC ⊥ BF$；(2) 证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是三角形综合类的典型题型，解题核心是通过角的和差关系找到全等三角形的对应等角，再结合全等的性质和角平分线的判定推导结论，能很好地考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13.如图，$∠ ABC$ 的平分线与 $∠ ACB$ 的外角平分线交于点 $D$，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$，垂足为 $E$.
(1)若 $∠ BAC=68°$，求 $∠ BDC$ 的度数；
(2)连接 $AD$，求证 $AD$ 平分 $∠ CAM$；
(3)若 $△ ABC$ 的周长为 $20$，求 $BE$ 的长.
(1)若 $∠ BAC=68°$，求 $∠ BDC$ 的度数；
(2)连接 $AD$，求证 $AD$ 平分 $∠ CAM$；
(3)若 $△ ABC$ 的周长为 $20$，求 $BE$ 的长.
答案
13.(1)$∠BDC=34°$ (2)略 (3)$BE=10$
解析
【分析】
(1) 求∠BDC的度数，可利用角平分线定义表示出相关角，再结合三角形外角的性质，找到∠BDC与∠BAC的数量关系代入计算即可；
(2) 要证AD平分∠CAM，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠CAM两边的距离相等，因此过D分别作BM、AC、BN的垂线，利用角平分线的性质证明三条垂线段相等即可推导；
(3) 求BE的长，可结合角平分线性质构造全等三角形，得到几组相等的线段，再将△ABC的周长转化为与BE相关的表达式，代入周长数值计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角∠ACN
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCN = \frac{1}{2}∠ ACN$
∵$∠ ACN$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ ACN = ∠ BAC + ∠ ABC$
∵$∠ DCN$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ DCN = ∠ BDC + ∠ DBC$
将$∠ ACN$代入$∠ DCN$的表达式得：
$∠ BDC + ∠ DBC = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ABC$
又
∵$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，两边消去$∠ DBC$得：
$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$
已知$∠ BAC=68°$，
∴$∠ BDC = \frac{1}{2}×68° = 34°$
(2) 证明：过点D作$DH⊥ BM$于点H，$DG⊥ AC$于点G，
∵BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ BC$，$DH⊥ BM$
∴$DH = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵CD平分$∠ ACN$，$DE⊥ BN$，$DG⊥ AC$
∴$DG = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴$DH = DG$
又
∵$DH⊥ BM$，$DG⊥ AC$
∴点D在$∠ CAM$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即AD平分$∠ CAM$
(3) 解：在$\mathrm{Rt}△ BHD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\DH=DE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BHD≌\mathrm{Rt}△ BED$（HL），
∴$BH = BE$
同理可证：$\mathrm{Rt}△ CDG≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL），
∴$CG = CE$
$\mathrm{Rt}△ AHD≌\mathrm{Rt}△ AGD$（HL），
∴$AH = AG$
∵$△ ABC$的周长为$AB + BC + AC = 20$
又
∵$AC = AG + CG$，$AG=AH$，$CG=CE$
∴$AC = AH + CE$
代入周长表达式得：
$AB + BC + AH + CE = 20$
整理得：$(AB + AH) + (BC + CE) = 20$
∵$AB + AH = BH = BE$，$BC + CE = BE$
∴$BE + BE = 20$，即$2BE=20$
解得$BE=10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BDC=34°}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{BE=10}$
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理、三角形外角性质及全等三角形的应用，解题的关键是合理作辅助线，利用角平分线的性质得到相等的垂线段和全等三角形，进而推导角和线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠BDC的度数，可利用角平分线定义表示出相关角，再结合三角形外角的性质，找到∠BDC与∠BAC的数量关系代入计算即可；
(2) 要证AD平分∠CAM，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠CAM两边的距离相等，因此过D分别作BM、AC、BN的垂线，利用角平分线的性质证明三条垂线段相等即可推导；
(3) 求BE的长，可结合角平分线性质构造全等三角形，得到几组相等的线段，再将△ABC的周长转化为与BE相关的表达式，代入周长数值计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角∠ACN
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCN = \frac{1}{2}∠ ACN$
∵$∠ ACN$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ ACN = ∠ BAC + ∠ ABC$
∵$∠ DCN$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ DCN = ∠ BDC + ∠ DBC$
将$∠ ACN$代入$∠ DCN$的表达式得：
$∠ BDC + ∠ DBC = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ABC$
又
∵$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，两边消去$∠ DBC$得：
$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$
已知$∠ BAC=68°$，
∴$∠ BDC = \frac{1}{2}×68° = 34°$
(2) 证明：过点D作$DH⊥ BM$于点H，$DG⊥ AC$于点G，
∵BD平分$∠ ABC$，$DE⊥ BC$，$DH⊥ BM$
∴$DH = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵CD平分$∠ ACN$，$DE⊥ BN$，$DG⊥ AC$
∴$DG = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴$DH = DG$
又
∵$DH⊥ BM$，$DG⊥ AC$
∴点D在$∠ CAM$的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
即AD平分$∠ CAM$
(3) 解：在$\mathrm{Rt}△ BHD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\DH=DE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BHD≌\mathrm{Rt}△ BED$（HL），
∴$BH = BE$
同理可证：$\mathrm{Rt}△ CDG≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL），
∴$CG = CE$
$\mathrm{Rt}△ AHD≌\mathrm{Rt}△ AGD$（HL），
∴$AH = AG$
∵$△ ABC$的周长为$AB + BC + AC = 20$
又
∵$AC = AG + CG$，$AG=AH$，$CG=CE$
∴$AC = AH + CE$
代入周长表达式得：
$AB + BC + AH + CE = 20$
整理得：$(AB + AH) + (BC + CE) = 20$
∵$AB + AH = BH = BE$，$BC + CE = BE$
∴$BE + BE = 20$，即$2BE=20$
解得$BE=10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BDC=34°}$；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{BE=10}$
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理、三角形外角性质及全等三角形的应用，解题的关键是合理作辅助线，利用角平分线的性质得到相等的垂线段和全等三角形，进而推导角和线段的数量关系。
【难度系数】
0.6
