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6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=10,DE=4,则BD的长为
6
.答案
6.6
解析
【分析】
首先观察题目条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直于AC，DE垂直于AB，符合角平分线性质的使用条件。我们可以先利用角平分线的性质得到DC与DE长度相等，求出DC的长度，再结合BC的总长度，通过线段的和差关系计算BD的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = DE = 4，
又
∵BC = 10，
∴BD = BC - DC = 10 - 4 = 6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是识别角平分线、两个垂直的条件，快速得到相等的线段，再进行简单的线段计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直于AC，DE垂直于AB，符合角平分线性质的使用条件。我们可以先利用角平分线的性质得到DC与DE长度相等，求出DC的长度，再结合BC的总长度，通过线段的和差关系计算BD的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = DE = 4，
又
∵BC = 10，
∴BD = BC - DC = 10 - 4 = 6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是识别角平分线、两个垂直的条件，快速得到相等的线段，再进行简单的线段计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
7.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A，B为垂足，AB交OM于点N。
求证OA=OB。
求证OA=OB。
答案
证明：
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
解析
【分析】
要证明线段OA=OB，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。观察图形可知OA属于△OAM，OB属于△OBM，我们只需寻找条件证明这两个三角形全等即可：首先根据OM是角平分线可得一组对应角相等，再结合两条垂线得到一组直角相等，加上公共边OM，刚好满足AAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应边OA=OB。
【解析】
证明：
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
【答案】
证明：
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查利用三角形全等证明线段相等的思路，解题时需结合已知条件找准待证线段所属的三角形，再匹配对应的全等判定定理即可解决，有助于夯实几何推理的基础。
【难度系数】
0.8
要证明线段OA=OB，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。观察图形可知OA属于△OAM，OB属于△OBM，我们只需寻找条件证明这两个三角形全等即可：首先根据OM是角平分线可得一组对应角相等，再结合两条垂线得到一组直角相等，加上公共边OM，刚好满足AAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应边OA=OB。
【解析】
证明：
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
【答案】
证明：
∵ OM平分∠POQ，
∴ ∠AOM = ∠BOM。
∵ MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴ ∠OAM = ∠OBM = 90°。
在△OAM和△OBM中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM = ∠OBM \\∠AOM = ∠BOM \\OM = OM\end{array} $
∴ △OAM ≌ △OBM（AAS），
∴ OA = OB。
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查利用三角形全等证明线段相等的思路，解题时需结合已知条件找准待证线段所属的三角形，再匹配对应的全等判定定理即可解决，有助于夯实几何推理的基础。
【难度系数】
0.8
8. 如图，D为△BAC的外角平分线上一点，且满足BD=CD，过点D作DE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB交BA的延长线于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠ACD，其中正确的结论有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第8题图 第9题图
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第8题图 第9题图
答案
8.C
解析
【分析】解题时先利用角平分线的性质得到两条垂线段相等，再结合已知的等边，通过HL定理证明直角三角形全等，再结合全等三角形的边、角对应相等的性质，逐一验证4个结论是否成立：先证△CDE和△BDF全等验证①；再证△ADF和△ADE全等，结合前一步全等的边的关系推导②；利用全等的角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质推导③；最后分析角的对应关系判断④是否成立。
【解析】
1. 验证结论①：
∵AD是△BAC的外角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠F=∠DEC=90°。
在Rt△BDF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），故①正确。
2. 验证结论②：
由Rt△BDF≌Rt△CDE可得$CE=BF$。
在Rt△ADF和Rt△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得$AF=AE$。
∵$BF=AB+AF=AB+AE$，
∴$CE=AB+AE$，故②正确。
3. 验证结论③：
由Rt△BDF≌Rt△CDE可得$∠ BDF=∠ CDE$，
∴$∠ BDC=∠ BDF+∠ FDC=∠ CDE+∠ FDC=∠ EDF$。
在Rt△ADF中$∠ DAF+∠ ADF=90°$，在Rt△ADE中$∠ DAE+∠ ADE=90°$，
两式相加得$∠ DAF+∠ ADF+∠ DAE+∠ ADE=180°$，即$∠ FAE+∠ EDF=180°$。
又
∵$∠ BAC+∠ FAE=180°$（平角的定义），
∴$∠ BDC=∠ BAC$，故③正确。
4. 验证结论④：
由Rt△ADF≌Rt△ADE可得$∠ DAF=∠ DAE$，题中仅给出$BD=CD$，无法推出$∠ DAE=∠ ACD$，故$∠ DAF=∠ ACD$不恒成立，④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】本题属于全等三角形的综合题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，通过多次证明直角三角形全等推导边、角的等量关系，需要注意结论是否为普遍成立的恒成立结论。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 验证结论①：
∵AD是△BAC的外角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），且∠F=∠DEC=90°。
在Rt△BDF和Rt△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），故①正确。
2. 验证结论②：
由Rt△BDF≌Rt△CDE可得$CE=BF$。
在Rt△ADF和Rt△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得$AF=AE$。
∵$BF=AB+AF=AB+AE$，
∴$CE=AB+AE$，故②正确。
3. 验证结论③：
由Rt△BDF≌Rt△CDE可得$∠ BDF=∠ CDE$，
∴$∠ BDC=∠ BDF+∠ FDC=∠ CDE+∠ FDC=∠ EDF$。
在Rt△ADF中$∠ DAF+∠ ADF=90°$，在Rt△ADE中$∠ DAE+∠ ADE=90°$，
两式相加得$∠ DAF+∠ ADF+∠ DAE+∠ ADE=180°$，即$∠ FAE+∠ EDF=180°$。
又
∵$∠ BAC+∠ FAE=180°$（平角的定义），
∴$∠ BDC=∠ BAC$，故③正确。
4. 验证结论④：
由Rt△ADF≌Rt△ADE可得$∠ DAF=∠ DAE$，题中仅给出$BD=CD$，无法推出$∠ DAE=∠ ACD$，故$∠ DAF=∠ ACD$不恒成立，④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】本题属于全等三角形的综合题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，通过多次证明直角三角形全等推导边、角的等量关系，需要注意结论是否为普遍成立的恒成立结论。
【难度系数】0.6
9.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$△ ABC$的三条内角平分线交于点$O$,$OM⊥ AB$,垂足为$M$,若$OM=4$,$S_{△ ABC}=200$,则$△ ABC$的周长为
100
.答案
9.100
解析
【分析】
首先根据角平分线的性质可知，三角形三条内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离都等于OM的长度4。接下来我们可以用分割法，将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4，底分别对应△ABC的三条边，由此可以建立面积与△ABC周长的关系，进而求出周长。
【解析】
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F。
∵点O是△ABC三条内角平分线的交点，且OM⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OE=OF=OM=4。
∵$S_{△ABC}=S_{△AOC}+S_{△BOC}+S_{△AOB}$，
∴$200=\frac{1}{2}× AC× OE+\frac{1}{2}× BC× OF+\frac{1}{2}× AB× OM$，
将OE=OF=OM=4代入上式，得：
$200=\frac{1}{2}×4×(AC+BC+AB)$，
化简得$2×(AC+BC+AB)=200$，
∴$AC+BC+AB=100$。
【答案】
100
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，整体代入计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质得到交点到三边的距离相等，再通过分割法转化三角形面积，无需单独计算各边长度，通过整体运算即可求出周长，解题思路较为巧妙。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的性质可知，三角形三条内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离都等于OM的长度4。接下来我们可以用分割法，将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4，底分别对应△ABC的三条边，由此可以建立面积与△ABC周长的关系，进而求出周长。
【解析】
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F。
∵点O是△ABC三条内角平分线的交点，且OM⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OE=OF=OM=4。
∵$S_{△ABC}=S_{△AOC}+S_{△BOC}+S_{△AOB}$，
∴$200=\frac{1}{2}× AC× OE+\frac{1}{2}× BC× OF+\frac{1}{2}× AB× OM$，
将OE=OF=OM=4代入上式，得：
$200=\frac{1}{2}×4×(AC+BC+AB)$，
化简得$2×(AC+BC+AB)=200$，
∴$AC+BC+AB=100$。
【答案】
100
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，整体代入计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质得到交点到三边的距离相等，再通过分割法转化三角形面积，无需单独计算各边长度，通过整体运算即可求出周长，解题思路较为巧妙。
【难度系数】
0.7
10.△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC，垂足为N.
(1)当点M与点A重合时，如图1.
①若∠B=40°,∠C=80°,求∠EMN的度数；
②∠EMN与∠B,∠C之间有何关系？请证明你的结论；
(2)如图2，D是BC延长线上一点，若∠CAD=∠D，MC⊥AD，垂足为F，探究∠CMN与∠ACB的关系.
(1)当点M与点A重合时，如图1.
①若∠B=40°,∠C=80°,求∠EMN的度数；
②∠EMN与∠B,∠C之间有何关系？请证明你的结论；
(2)如图2，D是BC延长线上一点，若∠CAD=∠D，MC⊥AD，垂足为F，探究∠CMN与∠ACB的关系.
答案
10.(1)①$∠ EMN=20°$ ②$∠ EMN=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$,证明略 (2)$∠ CMN=\frac{1}{2}∠ ACB$
解析
【分析】
(1)① 先利用三角形内角和求出$∠ BAC$的度数，再根据角平分线的性质求出$∠ EAC$的度数，接着由$AN⊥ BC$求出$∠ NAC$的度数，$∠ EMN$即$∠ EAN$，等于$∠ EAC$减$∠ NAC$，代入数值计算即可。
② 将角度用$∠ B、∠ C$表示，沿用①的推导逻辑：先表示出$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，由角平分线得$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，再由高$AN$得$∠ NAC=90°-∠ C$，最后计算$∠ EAN=∠ EAC-∠ NAC$，化简即可得到$∠ EMN$和$∠ B、∠ C$的关系。
(2) 先利用三角形外角性质得$∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，结合$∠ CAD=∠ D$可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ ACB$；再由$MC⊥ AD$，在$\mathrm{Rt}△ CFD$中得$∠ FCD=90°-∠ D$；接着根据对顶角相等得$∠ MCN=∠ FCD$；最后在$\mathrm{Rt}△ MNC$中，$∠ CMN=90°-∠ MCN$，代入化简即可得到$∠ CMN$和$∠ ACB$的关系。
【解析】
(1)① 在$△ ABC$中，$∠ B=40°$，$∠ C=80°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-80°=60°$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
$\because AN⊥ BC$，
$\therefore ∠ ANC=90°$，
$\therefore ∠ NAC=90°-∠ C=90°-80°=10°$，
$\therefore ∠ EMN=∠ EAC-∠ NAC=30°-10°=20°$。
② 结论：$∠ EMN=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，证明如下：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$，
$\because AN⊥ BC$，
$\therefore ∠ ANC=90°$，
$\therefore ∠ NAC=90°-∠ C$，
$\therefore ∠ EMN=∠ EAC-∠ NAC=(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(2) $\because ∠ ACB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，
又$\because ∠ CAD=∠ D$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because MC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CFD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$∠ FCD+∠ D=90°$，
$\therefore ∠ FCD=90°-∠ D=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because ∠ MCN$与$∠ FCD$是对顶角，
$\therefore ∠ MCN=∠ FCD=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because MN⊥ BC$，
$\therefore ∠ MNC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ MNC$中，$∠ CMN+∠ MCN=90°$，
$\therefore ∠ CMN=90°-∠ MCN=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ ACB$。
【答案】
(1)①$\boxed{20°}$；②$\boxed{∠ EMN=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$；(2)$\boxed{∠ CMN=\frac{1}{2}∠ ACB}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查三角形角度的转化推导，解题核心是结合角平分线、高线、三角形外角等性质梳理角度间的数量关系，需要掌握从特殊值到一般规律的推导思路，熟练运用三角形基本角度性质求解。
【难度系数】
0.65
(1)① 先利用三角形内角和求出$∠ BAC$的度数，再根据角平分线的性质求出$∠ EAC$的度数，接着由$AN⊥ BC$求出$∠ NAC$的度数，$∠ EMN$即$∠ EAN$，等于$∠ EAC$减$∠ NAC$，代入数值计算即可。
② 将角度用$∠ B、∠ C$表示，沿用①的推导逻辑：先表示出$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，由角平分线得$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，再由高$AN$得$∠ NAC=90°-∠ C$，最后计算$∠ EAN=∠ EAC-∠ NAC$，化简即可得到$∠ EMN$和$∠ B、∠ C$的关系。
(2) 先利用三角形外角性质得$∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，结合$∠ CAD=∠ D$可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ ACB$；再由$MC⊥ AD$，在$\mathrm{Rt}△ CFD$中得$∠ FCD=90°-∠ D$；接着根据对顶角相等得$∠ MCN=∠ FCD$；最后在$\mathrm{Rt}△ MNC$中，$∠ CMN=90°-∠ MCN$，代入化简即可得到$∠ CMN$和$∠ ACB$的关系。
【解析】
(1)① 在$△ ABC$中，$∠ B=40°$，$∠ C=80°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-80°=60°$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
$\because AN⊥ BC$，
$\therefore ∠ ANC=90°$，
$\therefore ∠ NAC=90°-∠ C=90°-80°=10°$，
$\therefore ∠ EMN=∠ EAC-∠ NAC=30°-10°=20°$。
② 结论：$∠ EMN=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，证明如下：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$，
$\because AN⊥ BC$，
$\therefore ∠ ANC=90°$，
$\therefore ∠ NAC=90°-∠ C$，
$\therefore ∠ EMN=∠ EAC-∠ NAC=(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(2) $\because ∠ ACB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，
又$\because ∠ CAD=∠ D$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because MC⊥ AD$，
$\therefore ∠ CFD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$∠ FCD+∠ D=90°$，
$\therefore ∠ FCD=90°-∠ D=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because ∠ MCN$与$∠ FCD$是对顶角，
$\therefore ∠ MCN=∠ FCD=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\because MN⊥ BC$，
$\therefore ∠ MNC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ MNC$中，$∠ CMN+∠ MCN=90°$，
$\therefore ∠ CMN=90°-∠ MCN=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ ACB$。
【答案】
(1)①$\boxed{20°}$；②$\boxed{∠ EMN=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$；(2)$\boxed{∠ CMN=\frac{1}{2}∠ ACB}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考查三角形角度的转化推导，解题核心是结合角平分线、高线、三角形外角等性质梳理角度间的数量关系，需要掌握从特殊值到一般规律的推导思路，熟练运用三角形基本角度性质求解。
【难度系数】
0.65
