登录
1. 如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 的三条角平分线的交点
C.△ABC 的三条高所在直线的交点
D.△ABC 三边的中垂线的交点
B
）A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 的三条角平分线的交点
C.△ABC 的三条高所在直线的交点
D.△ABC 三边的中垂线的交点
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先抓住核心条件“凉亭到草坪三条边的距离相等”，先联想相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此要到三角形三条边距离相等，该点需要同时在三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点。再逐一区分其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。若点到△ABC三条边的距离都相等，则该点为△ABC三条角平分线的交点。
对各选项逐一分析：
A. 三角形三条中线的交点是重心，性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，符合要求；
C. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
D. 三角形三边中垂线的交点是外心，性质为到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，只要牢记各类交点对应的特点，就能快速解题，注意不要混淆角平分线交点和中垂线交点的性质差异。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住核心条件“凉亭到草坪三条边的距离相等”，先联想相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此要到三角形三条边距离相等，该点需要同时在三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点。再逐一区分其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。若点到△ABC三条边的距离都相等，则该点为△ABC三条角平分线的交点。
对各选项逐一分析：
A. 三角形三条中线的交点是重心，性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，符合要求；
C. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
D. 三角形三边中垂线的交点是外心，性质为到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，只要牢记各类交点对应的特点，就能快速解题，注意不要混淆角平分线交点和中垂线交点的性质差异。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$，$BE=3$，$BC=7$，则$△ BDE$的周长为（
A.6
B.8
C.10
D.14
C
）A.6
B.8
C.10
D.14
答案
2.C
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，AD是∠BAC的角平分线，DC垂直AC（由∠C=90°可得），DE垂直AB，因此可推出DE=DC的等量关系。要求△BDE的周长，其周长公式为BD+DE+BE，将DE替换为DC后，BD+DC恰好是BC的长度，因此只需将已知的BC和BE的长度相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DE=DC。
△BDE的周长 = BD + DE + BE，
将DE=DC代入上式，可得：
周长 = BD + DC + BE = BC + BE，
已知BC=7，BE=3，
∴△BDE的周长 = 7 + 3 = 10。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，降低计算难度，是角平分线章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.75
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，AD是∠BAC的角平分线，DC垂直AC（由∠C=90°可得），DE垂直AB，因此可推出DE=DC的等量关系。要求△BDE的周长，其周长公式为BD+DE+BE，将DE替换为DC后，BD+DC恰好是BC的长度，因此只需将已知的BC和BE的长度相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DE=DC。
△BDE的周长 = BD + DE + BE，
将DE=DC代入上式，可得：
周长 = BD + DC + BE = BC + BE，
已知BC=7，BE=3，
∴△BDE的周长 = 7 + 3 = 10。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，降低计算难度，是角平分线章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.75
3. 如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，$BE$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$。若$S_{△ BCE}=40$，$BC=20$，则$DE=$（
A.$10$
B.$7$
C.$5$
D.$4$
D
）A.$10$
B.$7$
C.$5$
D.$4$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到BE是∠ABC的角平分线，且CD⊥AB，结合角平分线的性质，可知角平分线上的点E到角两边AB、BC的距离相等，也就是DE的长度等于点E到BC的垂线段长度。再结合已知的△BCE的面积和底BC的长度，利用三角形面积公式即可求出这个垂线段的长度，进而得到DE的长度。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵ BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：$DE=EF$。
已知$S_{△ BCE}=40$，$BC=20$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}× BC× EF=40$，
将$BC=20$代入得：$\frac{1}{2}×20× EF=40$，
解得$EF=4$，
∴ $DE=EF=4$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的基础题型，解题的关键是通过作辅助线得到点E到BC的垂线段，利用角平分线的性质将DE转化为△BCE中BC边上的高，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先看到BE是∠ABC的角平分线，且CD⊥AB，结合角平分线的性质，可知角平分线上的点E到角两边AB、BC的距离相等，也就是DE的长度等于点E到BC的垂线段长度。再结合已知的△BCE的面积和底BC的长度，利用三角形面积公式即可求出这个垂线段的长度，进而得到DE的长度。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵ BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：$DE=EF$。
已知$S_{△ BCE}=40$，$BC=20$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}× BC× EF=40$，
将$BC=20$代入得：$\frac{1}{2}×20× EF=40$，
解得$EF=4$，
∴ $DE=EF=4$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的基础题型，解题的关键是通过作辅助线得到点E到BC的垂线段，利用角平分线的性质将DE转化为△BCE中BC边上的高，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AD=3,若P是BC上的动点,则线段DP的最小值是 (
A.3
B.2.4
C.4
D.5
A
)A.3
B.2.4
C.4
D.5
答案
4.A
解析
【分析】
要解决线段DP的最小值问题，首先根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，可确定当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来结合已知条件分析：BD是∠ABC的角平分线，点D在角平分线上，∠A=90°说明AD是点D到AB边的距离，DP⊥BC时DP是点D到BC边的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可推出最短DP的长度等于AD的长度。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，线段DP的长度取得最小值。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），且DP⊥BC，
∴由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
已知AD=3，因此DP的最小值是3。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是先明确动点到直线距离最短的情况是垂线段，再结合角平分线的性质即可快速得出结果，考查对基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决线段DP的最小值问题，首先根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，可确定当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来结合已知条件分析：BD是∠ABC的角平分线，点D在角平分线上，∠A=90°说明AD是点D到AB边的距离，DP⊥BC时DP是点D到BC边的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可推出最短DP的长度等于AD的长度。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，线段DP的长度取得最小值。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即DA⊥AB），且DP⊥BC，
∴由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
已知AD=3，因此DP的最小值是3。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是先明确动点到直线距离最短的情况是垂线段，再结合角平分线的性质即可快速得出结果，考查对基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
5.如图，$AD// BC$，$∠ ABC$的平分线$BP$与$∠ BAD$的平分线$AP$相交于点$P$，作$PE⊥ AB$，垂足为$E$.若$PE=3$，则两平行线$AD$与$BC$间的距离为（$\quad$）
A.$3$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
A.$3$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求两平行线AD与BC间的距离，可过点P分别作AD、BC的垂线，结合AP是∠BAD的平分线、BP是∠ABC的平分线，可得两条垂线段的长度都等于PE的长度，又因为AD//BC，两条垂线段共线，相加即可得到两平行线间的距离。
【解析】
过点P作PF⊥AD于点F，PG⊥BC于点G。
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG=PE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵AD//BC，
∴点F、P、G在同一条直线上，
∴AD与BC间的距离为PF+PG=3+3=6。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条可求的垂线段长度之和，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求两平行线AD与BC间的距离，可过点P分别作AD、BC的垂线，结合AP是∠BAD的平分线、BP是∠ABC的平分线，可得两条垂线段的长度都等于PE的长度，又因为AD//BC，两条垂线段共线，相加即可得到两平行线间的距离。
【解析】
过点P作PF⊥AD于点F，PG⊥BC于点G。
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG=PE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵AD//BC，
∴点F、P、G在同一条直线上，
∴AD与BC间的距离为PF+PG=3+3=6。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条可求的垂线段长度之和，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
