11. 如图,在四边形ABCD中,连接BD,分别过点A,C作AF⊥BD,CE⊥BD,垂足分别为F,E,AD=CB,DE=BF.
(1)求证△AFD≌△CEB;
(2)若△AFB的面积为1,且DF=2BF,请直接写出四边形ABCD的面积.

11.(1)略 (2)6

【分析】
（1）要证明△AFD≌△CEB，首先观察两个三角形都是直角三角形，已知斜边AD=CB，只需再证明一组直角边相等即可：由已知DE=BF，两边同时减去公共线段EF，即可得到直角边DF=BE，利用HL定理即可证明全等。
（2）求四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABD和△BCD的面积之和。先根据DF=2BF和△AFB的面积求出△ABD的面积；再利用（1）中全等三角形的性质得到CE=AF，可知△BCD与△ABD同底等高，面积相等，两者相加即可得到四边形总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE=BF
∴ DE - EF = BF - EF，即 DF=BE
∵ AF⊥BD，CE⊥BD
∴ ∠AFD=∠CEB=90°
在Rt△AFD和Rt△CEB中：
$\{\begin{array}{l}AD=CB\\ DF=BE\end{array} $
∴ Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）
(2) 解：设BF的长度为$x$，则DF=2BF=2$x$，BD=BF+DF=3$x$
∵ $S_{△ AFB}=\frac{1}{2}· BF· AF=\frac{1}{2}x· AF=1$
∴ $x· AF=2$
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AF=\frac{1}{2}× 3x· AF=\frac{1}{2}× 3× 2=3$
由(1)中△AFD≌△CEB，得CE=AF
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· BD· CE=\frac{1}{2}× 3x· AF=3$
∴ 四边形ABCD的面积 = $S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=3+3=6$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 6
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意利用线段和差转化得到全等所需的边的关系，计算面积时巧用全等得到的高相等的结论可简化计算。
【难度系数】
0.7

12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$DE$是过点$A$的直线,$BD⊥ DE$,$CE⊥ DE$,垂足分别为$D$,$E$;
(1)若点$B$,$C$在$DE$的同侧(所示),且$AD=CE$.求证$AB⊥ AC$;
(2)若点$B$,$C$在$DE$的两侧(所示),且$AD=CE$,其他条件不变,$AB$与$AC$仍垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.

12.(1)略 (2)$AB⊥AC$

【分析】
要证明AB⊥AC，本质是证明∠BAC=90°，我们可以通过证明直角三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质推导角度和为90°即可。
(1)首先由BD、CE都垂直于DE可得两个直角，结合已知AB=AC、AD=CE，用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CAE，得到对应角相等，再通过角的代换证明∠BAD+∠CAE=90°，即可得到∠BAC=90°；
(2)解题思路和(1)一致，同样先证直角三角形全等，再通过角的代换推导∠BAC=90°，即可判断AB与AC仍垂直。
【解析】
(1)证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ AD=CE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠ABD=∠CAE，
∵在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=180°-90°=90°，
∴AB⊥AC。
(2)AB⊥AC，证明如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ AD=CE\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠BAD=∠ACE，
∵在Rt△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC。
【答案】
(1)AB⊥AC得证；(2)AB⊥AC
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形与垂直证明结合的典型习题，两种位置下的解题思路一致，核心是通过全等得到角的等量关系，再结合直角三角形的性质完成角度推导，解题时要注意准确识别对应角，避免倒角时出错。
【难度系数】
0.7