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6.如图,在$△ ABC$中,点D为边BC的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为E,F,且$DE=DF$.求证$△ BDE≌△ CDF$. 
第6题图
第6题图答案
证明：
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
解析
【分析】
要证明△BDE≌△CDF，首先观察两个三角形的特征：由DE⊥AB、DF⊥AC可知△BDE和△CDF都是直角三角形，可优先考虑直角三角形的全等判定方法。首先根据点D是BC中点的条件，可得到BD=CD（斜边对应相等），又已知DE=DF（直角边对应相等），满足直角三角形全等的HL判定条件，按步骤梳理条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
【答案】
证明：
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
【知识点】
线段中点的性质；垂直的定义；HL判定定理
【点评】
本题是基础的三角形全等证明题，重点考察直角三角形全等的HL判定方法的应用，解题时需先明确待证三角形为直角三角形，再结合已知条件找到对应相等的边即可，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明△BDE≌△CDF，首先观察两个三角形的特征：由DE⊥AB、DF⊥AC可知△BDE和△CDF都是直角三角形，可优先考虑直角三角形的全等判定方法。首先根据点D是BC中点的条件，可得到BD=CD（斜边对应相等），又已知DE=DF（直角边对应相等），满足直角三角形全等的HL判定条件，按步骤梳理条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
【答案】
证明：
∵ 点D为边BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
【知识点】
线段中点的性质；垂直的定义；HL判定定理
【点评】
本题是基础的三角形全等证明题，重点考察直角三角形全等的HL判定方法的应用，解题时需先明确待证三角形为直角三角形，再结合已知条件找到对应相等的边即可，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E,F在BC上,BE=CF,则图中共有全等三角形 (
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
D
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和等腰三角形的性质：首先由AB=AC、AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一可得到边相等、角相等的基础结论，先找出最直观的全等三角形，再根据已得到的全等结论推导更多边、角相等的关系，按顺序排查其余全等三角形，避免漏数或多数。
【解析】
我们逐对推导全等三角形：
1. △ABD≌△ACD：已知AB=AC，AD⊥BC得∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，根据HL（或SAS）可判定全等，由此可得BD=CD，∠B=∠C。
2. △ABE≌△ACF：已知AB=AC，∠B=∠C，BE=CF，根据SAS可判定全等，由此可得AE=AF。
3. △AED≌△AFD：由BD=CD、BE=CF，得BD-BE=CD-CF，即ED=FD；又AD⊥BC得∠ADE=∠ADF=90°，AD为公共边，根据SAS（或HL）可判定全等。
4. △ABF≌△ACE：由BE=CF得BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又AB=AC，AE=AF，根据SSS（或SAS：AB=AC，∠B=∠C，BF=CE）可判定全等。
综上共有4对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础综合题，解题时要按逻辑顺序排查全等三角形，可先从已知条件直接推导的基础全等入手，再用全等得到的边、角相等结论推导其余全等，避免漏数。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和等腰三角形的性质：首先由AB=AC、AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一可得到边相等、角相等的基础结论，先找出最直观的全等三角形，再根据已得到的全等结论推导更多边、角相等的关系，按顺序排查其余全等三角形，避免漏数或多数。
【解析】
我们逐对推导全等三角形：
1. △ABD≌△ACD：已知AB=AC，AD⊥BC得∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，根据HL（或SAS）可判定全等，由此可得BD=CD，∠B=∠C。
2. △ABE≌△ACF：已知AB=AC，∠B=∠C，BE=CF，根据SAS可判定全等，由此可得AE=AF。
3. △AED≌△AFD：由BD=CD、BE=CF，得BD-BE=CD-CF，即ED=FD；又AD⊥BC得∠ADE=∠ADF=90°，AD为公共边，根据SAS（或HL）可判定全等。
4. △ABF≌△ACE：由BE=CF得BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又AB=AC，AE=AF，根据SSS（或SAS：AB=AC，∠B=∠C，BF=CE）可判定全等。
综上共有4对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础综合题，解题时要按逻辑顺序排查全等三角形，可先从已知条件直接推导的基础全等入手，再用全等得到的边、角相等结论推导其余全等，避免漏数。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$,垂足为$D$,$BC=BD$,若$AC=8\ \mathrm{cm}$,则$AE+DE$的值为（
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
B
）A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
8.B
解析
【分析】
要计算AE+DE的长度，直接分别求解AE、DE的长度条件不足，因此考虑通过等量代换将两条线段拼接为已知长度的线段。观察图形可知∠C和∠BDE均为直角，已知BC=BD，且BE是两个直角三角形的公共边，可先证明△BCE和△BDE全等，得到DE与CE相等，即可将AE+DE转化为AE+CE，也就是AC的长度，进而得出结果。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l}BE=BE\quad (\mathrm{公共边})\\BC=BD\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC，
∵AC=8 cm，
∴AE+DE=8 cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 线段等量代换
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将所求线段和转化为已知长度的线段，考查了几何中的转化思想，难度不大。
【难度系数】
0.75
要计算AE+DE的长度，直接分别求解AE、DE的长度条件不足，因此考虑通过等量代换将两条线段拼接为已知长度的线段。观察图形可知∠C和∠BDE均为直角，已知BC=BD，且BE是两个直角三角形的公共边，可先证明△BCE和△BDE全等，得到DE与CE相等，即可将AE+DE转化为AE+CE，也就是AC的长度，进而得出结果。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
$\{\begin{array}{l}BE=BE\quad (\mathrm{公共边})\\BC=BD\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴CE=DE，
∴AE+DE=AE+CE=AC，
∵AC=8 cm，
∴AE+DE=8 cm。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 线段等量代换
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将所求线段和转化为已知长度的线段，考查了几何中的转化思想，难度不大。
【难度系数】
0.75
9.如图是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动.如果$∠ OCA=90°$，$∠ CAO=15°$，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
9.C
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确跷跷板转动的最大角度是当一端触地时横板AB转过的角度。解题思路如下：1. 由O是AB中点可得OA=OB，两端触地时形成的直角三角形全等；2. 利用直角三角形两锐角互余算出已知直角三角形的锐角角度；3. 结合全等三角形对应角相等、平角为180°的性质，即可算出转动的最大角度。
【解析】
解：
∵O是横板AB的中点，
∴$OA=OB$。
当跷跷板B端向下转动至接触水平地面时，此时O到地面的垂线垂足为$C'$，可得$∠OC'B=∠OCA=90°$，$∠OBC'=∠CAO=15°$。
在$△ OCA$和$△ OC'B$中：
$\begin{cases}∠OCA=∠OC'B \\∠CAO=∠C'BO \\OA=OB\end{cases}$
∴$△ OCA≌△ OC'B$（AAS），
∴$∠BOC'=∠AOC$。
在$Rt△ OCA$中，$∠CAO=15°$，$∠OCA=90°$，
∴$∠AOC=90°-15°=75°$，
∴$∠BOC'=75°$，
∴跷跷板转动的最大角度为$180°-∠AOC-∠BOC'=180°-75°-75°=30°$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平角的定义
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是理解转动最大角度的含义，灵活运用全等三角形的性质计算角度，题型贴近生活，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确跷跷板转动的最大角度是当一端触地时横板AB转过的角度。解题思路如下：1. 由O是AB中点可得OA=OB，两端触地时形成的直角三角形全等；2. 利用直角三角形两锐角互余算出已知直角三角形的锐角角度；3. 结合全等三角形对应角相等、平角为180°的性质，即可算出转动的最大角度。
【解析】
解：
∵O是横板AB的中点，
∴$OA=OB$。
当跷跷板B端向下转动至接触水平地面时，此时O到地面的垂线垂足为$C'$，可得$∠OC'B=∠OCA=90°$，$∠OBC'=∠CAO=15°$。
在$△ OCA$和$△ OC'B$中：
$\begin{cases}∠OCA=∠OC'B \\∠CAO=∠C'BO \\OA=OB\end{cases}$
∴$△ OCA≌△ OC'B$（AAS），
∴$∠BOC'=∠AOC$。
在$Rt△ OCA$中，$∠CAO=15°$，$∠OCA=90°$，
∴$∠AOC=90°-15°=75°$，
∴$∠BOC'=75°$，
∴跷跷板转动的最大角度为$180°-∠AOC-∠BOC'=180°-75°-75°=30°$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平角的定义
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是理解转动最大角度的含义，灵活运用全等三角形的性质计算角度，题型贴近生活，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$∠ E = ∠ F = 90°$，$AB = AC$，$AE = AF$. 求证 $AM = AN$.
答案
证明：
在Rt△AEC和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AC = AB\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）
∴ ∠EAC = ∠FAB
∴ ∠EAC - ∠BAC = ∠FAB - ∠BAC
即 ∠EAM = ∠FAN
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠F \\AE = AF \\∠EAM = ∠FAN\end{array} $
∴ △AEM ≌ △AFN（ASA）
∴ AM = AN
在Rt△AEC和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AC = AB\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）
∴ ∠EAC = ∠FAB
∴ ∠EAC - ∠BAC = ∠FAB - ∠BAC
即 ∠EAM = ∠FAN
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠F \\AE = AF \\∠EAM = ∠FAN\end{array} $
∴ △AEM ≌ △AFN（ASA）
∴ AM = AN
解析
【分析】
要证明线段AM=AN，可通过证明二者所在的△AEM和△AFN全等来推导。已知△AEM和△AFN中已有∠E=∠F=90°、AE=AF两个条件，还缺一组对应角相等。我们可以先利用已知的AE=AF、AB=AC，结合直角条件，用HL定理证明Rt△AEC≌Rt△AFB，得到∠EAC=∠FAB，再将这两个角同时减去公共角∠BAC，即可得到∠EAM=∠FAN，满足△AEM和△AFN全等的ASA判定条件，进而推出对应边相等。
【解析】
证明：
在Rt△AEC和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AC = AB\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）
∴ ∠EAC = ∠FAB
∴ ∠EAC - ∠BAC = ∠FAB - ∠BAC
即 ∠EAM = ∠FAN
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠F \\AE = AF \\∠EAM = ∠FAN\end{array} $
∴ △AEM ≌ △AFN（ASA）
∴ AM = AN
【答案】
AM=AN
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）、全等三角形的性质、三角形全等判定（ASA）
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是通过证明两次全等得到线段相等的结论，需要准确找到角之间的和差关系，理清证明逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明线段AM=AN，可通过证明二者所在的△AEM和△AFN全等来推导。已知△AEM和△AFN中已有∠E=∠F=90°、AE=AF两个条件，还缺一组对应角相等。我们可以先利用已知的AE=AF、AB=AC，结合直角条件，用HL定理证明Rt△AEC≌Rt△AFB，得到∠EAC=∠FAB，再将这两个角同时减去公共角∠BAC，即可得到∠EAM=∠FAN，满足△AEM和△AFN全等的ASA判定条件，进而推出对应边相等。
【解析】
证明：
在Rt△AEC和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\AC = AB\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）
∴ ∠EAC = ∠FAB
∴ ∠EAC - ∠BAC = ∠FAB - ∠BAC
即 ∠EAM = ∠FAN
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠F \\AE = AF \\∠EAM = ∠FAN\end{array} $
∴ △AEM ≌ △AFN（ASA）
∴ AM = AN
【答案】
AM=AN
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）、全等三角形的性质、三角形全等判定（ASA）
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是通过证明两次全等得到线段相等的结论，需要准确找到角之间的和差关系，理清证明逻辑。
【难度系数】
0.7
